基于随机响应面法的金鸡岭岩质边坡可靠度分析及抽样方法对比

图1 各抽样配点方法二维样本点分布

由样本点分布可知，均匀设计抽样减小了样本点的随机性，样本点分布呈现规律性，均匀分布于样本空间；而LHS抽样和改进LHS抽样的样本点主要集中于变量均值附近，改进LHS抽样产生的样本点较LHS抽样样本点更为集中；分层抽样样本点分布区域较广，样本点覆盖到了变量概率分布的尾部。

2 边坡可靠度非侵入式分析模型

2.1

2.1 边坡工程概况

金鸡岭岩质边坡最大坡高33.4m，分为三级，第一级边坡坡率约为1∶0.8，坡高8 m，宽度约为2 m；第二级边坡坡率约为1∶0.9，坡高9 m，宽度为1.5~2.0 m；第三级边坡坡率为约为1∶1.0，最大坡高为13 m。边坡地质条件单一，边坡由矽卡岩强风化岩体及其接触变质带构成，接触变质带节理裂隙发育，规律较差。岩体内发育2组节理剪节理，节理面平直光滑，基本不张开，无充填，延展性差，长度一般为3～5 m。上部覆盖0.5~2.5 m第四系残坡积层，局部地段有粉质粘土。边坡地表排水较好，勘察期间未见地下水。为简化计算不考虑结构面的影响，边坡简化几何模型如图2所示。

图2

图2 边坡简化几何模型

2.2

2.2 边坡有限元稳定性分析

不考虑边坡节理裂隙和降雨等因素的影响，选取岩质边坡7-7剖面进行有限元数值模拟分析。边坡上覆一层厚度为0.5~2.5 m的粉质粘土，下部为矽卡岩强风化层。由式（4）可知，Hermite随机多项式展开系数数目会随着随机变量数目的增大而增大，为减小计算量，将边坡稳定性影响程度较大的岩土参数 $c$ 、 $φ$ 和 $γ$ 作为随机变量，将 $E$ 和 $ν$ 视为常量。值得注意的是，岩土体力学参数并非总是服从独立正态分布，而是更偏向于服从其他分布类型（如对数正态分布）且参数之间具有相关性。对于相关非高斯分布随机变量，可借助Nataf变换将原始空间相关非正态随机变量表示为独立标准正态随机变量^[6]。假设所有随机变量均服从正态分布，且相互独立，随机变量变异系数COV参考Phoon等^[19,20]选取。岩土物理力学参数及统计特征见表1。采用GEOSTUDIO软件的SIGMA/W模块建立边坡有限元分析模型，见图3。

表1 岩土物理力学参数及统计特征

Table 1Physical and mechanical parameters and

力学参数	统计参数	粉质粘土	矽卡岩强风化岩层	分布类型
粘聚力c/kPa	均值μ	25.0	60.0	正态分布
粘聚力c/kPa	变异系数COV	0.25	0.22	正态分布
内摩擦角φ/（°）	均值μ	23.0	25.0	正态分布
内摩擦角φ/（°）	变异系数COV	0.16	0.15	正态分布
重度γ/（kN/·m^-3）	均值μ	18.8	21.5	正态分布
	变异系数COV	0.20	0.18	正态分布
弹性模量E/MPa		30.5	33 600.00	常量
泊松比（ν）		0.35	0.26	常量

图3

图3 边坡有限元分析模型

岩土材料为服从Mohr-Coulomb准则的弹塑性本构模型；模型左右边界施加水平位移约束，下边界为全约束；将模型划分为四边形和三角形网格，有限单元网格共4 152个，节点4 171个，对边坡表层存在滑坡危险的区域有限单元网格进行适当加密处理。将岩土力学参数均值输入有限元模型，计算所得的边坡安全系数为0.930，说明从确定性分析角度来看，该边坡稳定性很差，需立即采取加固措施。

2.3

2.3 边坡稳定可靠度分析模型

边坡可靠度分析过程中取随机变量 $X = (c_{1}, φ_{1}, γ_{1}, c_{2}, φ_{2}, γ_{2})$ ，随机变量数目 $N = 6$ 。由式（4）可知，二阶Hermite随机多项式展开系数 $N_{c} = 28$ ，因此每种抽样配点方法产生的配点数目 $N_{p}$ 应不小于 $N_{c}$ 。将上述4种抽样配点方法所得样本点输入边坡有限元滑面应力法分析模型，求解各试验方案对应的边坡安全系数。

本文涉及边坡稳定性分析次数较多，为避免重复多次进行有限元软件界面操作，可借助GEOSTUDIO生成的边坡稳定性分析计算源文件*.xml实现边坡稳定性快速分析^[18]。具体做法为采用文本编辑器打开并修改*.xml文件中对应的岩土材料赋值即可产生新的计算源文件。在获取边坡随机输入参数与输出响应量的基础上，采用最小二乘回归分析求解随机多项式展开系数得到响应面函数；然后对响应面函数的拟合度进行校验以确保响应面的精度；最后对经过校验的响应面函数采用10⁶次直接蒙特卡罗模拟（MCS）求解边坡失效概率并获取失效样本，进而对比分析边坡安全系数统计特征。图4给出了边坡可靠度分析计算流程图。

图4

图4 边坡可靠度分析流程图

采用随机响应面法对边坡进行可靠度分析，鸡岭岩质边坡未支护状态下的失效概率约为18.4%；根据表2给出的失效概率与岩土结构安全性能的对应关系^[15]可知，该边坡失稳风险较大，需立即采取支护加固措施，该结果与确定性分析结果一致。可见，同时对边坡进行确定性分析和随机分析，有利于全面把握和评价工程安全性，为后续设计施工和支护加固提供更完备的科学依据。

表2 失效概率与岩土结构安全性能的关系

Table 2Relationship between failure probability and safety performance of geotechnical structure

失效概率	可靠度指标	性能水平	处理措施
3.0×10^-7	5	高	正常维护
3.0×10^-5	4	较好	正常交通情况下维护
0.001	3	平均安全水平以上	关闭以修复
0.006	2.5	平均安全水平以下	频繁停用以修复
0.023	2	较差	频繁较长时间停用以修复
0.07	1.5	不容乐观	集中修复
0.16	1	灾难性的	紧急行动以减轻灾害

3 抽样配点方法研究

3.1

3.1 响应面精度验算结果对比分析

在边坡可靠度分析之前须对响应面函数拟合精度进行验算，以确保分析结果的准确性。采用相关指数 $R^{2}$ 描述非线性回归响应面函数在整个空间上对真实功能函数的拟合精度。相关指数 $R^{2} \in (0,1)$ ， $R^{2}$ 越接近于1表示响应面函数拟合精度越高。计算公式为

R^{2} = 1 - \frac{\overset{n}{\sum_{i = 1}} (y_{i} - y_{i}^{*})^{2}}{\overset{n}{\sum_{i = 1}} (y_{i} - {\bar{y}}_{i})^{2}}

（5）

式中： $n$ 为实测样本点数目， $y_{i}$ 、 $y_{i}^{*}$ 分别为第 $i$ 个样本点对应的实测响应值和预测响应值， ${\bar{y}}_{i}$ 为第 $i$ 个样本点的实测响应均值。

响应面拟合精度与响应面函数形式及概率抽样配点方法有关。为研究抽样配点方法对响应面在整个变量定义域空间拟合精度的影响，不仅要验算响应面函数在样本点处的拟合精度，还需随机抽取若干个（取 $n' = 20$ ）抽样样本点之外的数据点进行验算，此时相关指数 $R^{2}$ 则反映响应面函数在整个空间上对真实功能函数的拟合精度。

将4种抽样配点方法产生的样本点实测响应值及Hermite随机多项式计算所得的预测响应值代入式（5）计算得到相关指数 $R^{2} \geq 0.9996$ ，说明该响应面函数在样本点处的拟合精度较高，可满足要求（表2）。随机抽取 $n'$ 个（取 $n' = 20$ ）抽样样本点之外的其他验算点进行 $R^{2}$ 验算。表3给出了各抽样配点方法对应的验算结果。

表3 各抽样配点方法对应的R²验算结果

Table 3Calculation results <i>R</i><sup>2</sup> corresponding to each sampling collocation method

计算点	均匀设计抽样	LHS	改进LHS	分层抽样
样本点	1	0.9996	0.9999	0.9999
其他验算点	0.9877	0.9972	0.998	0.991

由表3可见，根据4种抽样配点方法建立的Hermite随机响应面在样本点处的拟合精度均很高，但在样本点之外随机选取的其他验算点处拟合精度却存在明显差异。由均匀设计抽样构造的响应面虽在样本点处的 $R^{2} = 1$ ，拟合精度最高，但在样本点之外验算点处的拟合精度低于其他抽样方法。通过对比发现，改进LHS构造的响应面精度在样本点和样本点之外的验算点处拟合精度均较高。总体来说，改进LHS和LHS的抽样精度优于分层抽样和均匀设计抽样。不同抽样方法导致响应面拟合精度产生差异的原因在于均匀设计抽样基于均匀设计试验弱化了样本的随机性，减少了最优区域内的样本数量，且使部分样本点线性相关，这些因素制约了系统响应的拟合精度。分层抽样分层界限选取存在主观性且各维度样本水平可能会因随机打乱而偏离最优区域，从而影响响应面精度。LHS样本点兼具“分层”和“均匀”的分布特点，且保证了样本点覆盖到概率分布的两端，而改进LHS不仅具有LHS的优点且保证了最优点小邻域内的抽样数量，能够得到更加精确的系统响应，因此使响应面具备更优的拟合效果。上述分析表明，无论选用何种抽样配点方法，对边坡进行非侵入式可靠度分析时都有必要在整个参数空间对响应面的拟合精度进行验证，尤其需要选取样本点之外的验算点进行验证。若响应面精度不符合要求，应返回上一步对响应面函数形式及多项式展开系数进行调整和再验算。

3.2

3.2 边坡可靠度分析结果对比

为进一步揭示抽样配点方法对可靠度分析的影响，对比4种抽样配点方法对应的边坡失效概率统计特征，并将结果与Monte-Carlo法可靠度分析结果进行对比分析。表4给出了各抽样配点方法所得边坡失效概率均值 $P_{f}$ 及其变异系数 $C O V_{P_{f}}$ 。

表4 各抽样配点方法所得失效概率及其变异系数

Table 4Failure probability and its variation coefficient of different sampling collocation methods

抽样方法	$P_{f}$	$C O V_{P_{f}}$
Monte-Carlo法	0.1843	-
均匀设计抽样	0.2461	2.387×10^-7
LHS	0.1840	1.174×10^-7
改进LHS	0.1841	1.652×10^-7
分层抽样	0.2127	1.985×10^-7

由表4可见，基于改进LHS抽样的随机响应面法对边坡失效概率的计算精度最高，LHS次之；分层抽样和均匀设计抽样计算所得边坡失效概率均值相比改进LHS和LHS误差明显较大。因此4种抽样配点方法中，改进LHS和LHS适用于随机响应面的概率配点，而分层抽样和均匀设计抽样所得响应面对整个参数空间的拟合精度低于改进LHS和LHS，配点效果不佳。

图5给出了边坡功能函数的累积分布函数（CDF）曲线。从图5可见，改进LHS与LHS抽样所得功能函数的CDF曲线几乎重合，分层抽样和均匀设计抽样的CDF曲线与改进LHS及LHS存在明显差异，这充分说明对于随机响应面分析过程改进LHS和LHS的抽样配点效果优于分层抽样和均匀设计抽样。

图5

图5 边坡功能函数的CDF曲线

4 结论

（1）结合有限元滑面应力法和Hermite随机响应面法，采用非侵入式随机分析方法对金鸡岭岩质边坡进行了可靠度分析。金鸡岭岩质边坡未支护状态下的失效概率约为18.4%，偏危险，需采取支护加固措施。

（2）对常见的4种抽样配点方法对响应面拟合精度和可靠度分析结果的影响进行了系统的对比分析。改进LHS和LHS均能够很好地保证所构造响应面的拟合精度、边坡失效概率及安全系数统计特征的准确性，由分层抽样和均匀设计抽样配点所得响应面对整个参数空间的拟合精度相对较低，可能使可靠度分析结果出现较大误差。在对实际工程的可靠度分析中，建议采用改进LHS和LHS抽样进行随机响应面的概率配点计算。另外边坡可靠度分析响应面法需在整个参数空间尤其是样本点以外的验算点对响应面拟合精度进行校验；若响应面精度不符合要求，应返回上一步对响应面函数形式及多项式展开系数进行调整和再验算。

SHENG Jianlong,ZHAI Mingyang.Reliability Analysis and Sampling Method Comparison of Jinjiling Rock Slope Based on Stochastic Response Surface Method[J].Gold Science and Technology,2018,26(3):297-304.盛建龙,翟明洋.基于随机响应面法的金鸡岭岩质边坡可靠度分析及抽样方法对比[J].黄金科学技术,2018,26(3):297-304.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

蒋水华.

水电工程边坡可靠度非侵入式随机分析方法

[D].武汉：武汉大学，2014.

Jiang

Shuihua

A Non-intrusive Stochastic Method for Slope Reliability in Hydroelectricity Engineering

[D]. Wuhan：Wuhan University，2014.

[2]

陈虬.

随机有限元法及其工程应用[M].成都：西南交通大学出版社，1993.

Chen

Qiu

Stochastic Finite Element Method and Its Application in Engineering[M].Chengdu：Southwest Jiaotong University Press，1993.

[3]

李典庆，蒋水华.

边坡可靠度非侵入式随机分析方法[M].北京：科学出版社，2016.

Dianqing

，Jiang

Shuihua

Non-intrusive Stochastic Analysis Method for Slope Reliability[M].Beijing：Science Press，2016.

[4]

Isulapalli

S S

，Roy

，Georgopoulous

P G

Stochastic response surface methods for uncertainty propagation：Application to environmental and biological systems

[J].Risk Analysis，1998，18（3）：351-363.

[5]

蒋水华，李典庆，黎学优，等.

锦屏一级水电站左岸坝肩边坡施工期高效三维可靠度分析

[J].岩石力学与工程学报，2015，34（2）：349-361.

Jiang

Shuihua

，Li

Dianqing

，Li

Xueyou

，et al.

Efficient three-dimensional reliability analysis of an abutment slope at the left bank of Jinping I hydropower station during construction

[J].Chinese Journal of Rock Mechanics & Engineering，2015，34（2）:349-361.

[6]

李典庆，蒋水华，周创兵.

基于非侵入式随机有限元法的地下洞室可靠度分析

[J].岩土工程学报，2012，34（1）：123-129.

Dianqing

，Jiang

Shuihua

，Zhou

Chuangbing

Reliability analysis of underground rock caverns using non-intrusive stochastic finite element method

[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2012，34（1）：123-129.

[7]

胡冉,陈益峰,李典庆,等.

心墙堆石坝渗透稳定可靠性分析的随机响应面法

[J].岩土力学,2012,33(4):1051-1060.

Ran

,Chen

Yifeng

,Li

Dianqing

, et al.

Reliability analysis of seepage stability of core-wall rockfill dam based on stochastic response surface method

[J].Rock and Soil Mechanics, 2012,33(4):1051-1060.

[8]

Zou

J Z

,Willians

D J

,Xiong

W L

Search for critical silp surface based on finite element method

[J].Canadian Geotechnical Journal,1995,32(2):233-246.

[9]

张璐璐.

岩土工程可靠度理论[M].上海：同济大学出版社，2011.

Zhang

Lulu

Geotechnical Engineering Reliability Theory[M].Shanghai：Tongji University Press，2011.

[10]

李典庆，周创兵，陈益峰，等.

边坡可靠度分析的随机响应面法及程序实现

[J].岩石力学与工程学报，2010，29（8）：1513-1523.

Dianqing

，Zhou

Chuangbing

，Chen

Yifeng

，et al.

Reliability analysis of slope using stochastic response surface method and code implementation

[J].Chinese Journal of Rock Mechanics & Engineering，2010，29（8）：1513-1523.

[11]

杨绿峰，杨显峰，余波，等.

基于逐步回归分析的随机响应面法

[J].计算力学学报，2013，30（1）：88-93.

Yang

Lufeng

，Yang

Xianfeng

，Yu

，et al.

Improved stochastic response surface method based on stepwise regression analysis

[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2013，30（1）：88-93.

[12]

胡冉，李典庆，周创兵，等.

基于随机响应面法的结构可靠度分析

[J].工程力学，2010，27（9）：192-200.

Ran

，Li

Dianqing

，Zhou

Chuangbing

，et al.

Structural reliability analysis using stochastic response surface me-thod

[J].Engineering mechanics，2010，27（9）：192-200.

[13]

蒋水华,李典庆,曹子君,等.

考虑参数空间变异性的边坡系统可靠度分析

[J].应用基础与工程科学学报, 2014(5):841-855.

Jiang

Shuihua

,Li

Dianqing

,Cao

Zijun

,et al.

System reliability analysis of slope considering spatial variability of soil properties

[J].Journal of Basic Science and Engineering,2014(5):841-855.

[14]

方开泰.

均匀设计与均匀设计表[M].北京：科学出版社，1994.

Fang

Kaitai

Homogeneous Design and Homogeneous Design Tables[M].Beijing：Science Press，1994.

[15]

张崎.

基于Kriging方法的结构可靠性分析及优化设计

[D].大连：大连理工大学，2005.

Zhang

Structural Reliability Analysis and Optimization Design based on Kriging Method

[D].Dalian：Dalian University of Technology，2005.

[16]

张巍峰，车延博，刘阳升.

电力系统可靠性评估中的改进拉丁超立方抽样方法

[J].电力系统自动化，2015，39（4）：52-57.

Zhang

Weifeng

，Che

Yanbo

，Liu

Yangsheng

Improved latin hypercube sampling method for reliability evaluation of power systems

[J].Automation of Electric Power Systems，2015，39（4）：52-57.

[17]

刘鹏.

基于改进拉丁超立方重要抽样方法的结构可靠性分析

[D].广州：暨南大学，2016.

Liu

Peng

Structural Reliability Analysis （SRA） Based on Improved Latin Hypercube Important Sampling

[D].Guangzhou:Jinan University，2016.

[18]

曹春野.

基于改进的拉丁超立方参数随机地下水数值模拟研究

[D].北京：中国地质大学（北京），2015.

Cao

Chunye

Study on Parameter Stochastic Groundwater Numerical Simulation Based on Improved Latin Hypercube Sampling

[D].Beijng：China University of Geosciences（Beijing），2015.

[19]

Phoon

K K

，Kulhawy

F H

Characterization of geotechnical variability

[J].Canadian Geotechnical Journal，1999，36（4）：612-624.

[20]

Phoon

K K

，Kulhawy

F H

Evaluation of geotechnical property variability

[J].Canadian Geotechnical Journal，1999，36（4）：625-639.