露天矿境界优化几何约束模型优化及其应用

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.795

露天矿境界优化几何约束模型优化及其应用

张炬^,¹^,², 王李管^,¹^,²^,^*, 宋华强¹^,², 任助理¹^,², 毕林¹^,²

1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

2. 中南大学数字矿山研究中心，湖南长沙 410083

Optimization and Application of Geometric Constraint Model for Boundary Optimization in Open Mine

ZHANG Ju^,¹^,², WANG Liguan^,¹^,²^,^*, SONG Huaqiang¹^,², REN Zhuli¹^,², BI Lin¹^,²

1. School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, Hunan，China

2. Digital Mine Research Center, Central South University, Changsha 410083, Hunan，China

通讯作者: 王李管（1964-），男，山西临汾人，教授，博士生导师，从事数字矿山研究工作。wangliguan@dimine.net

收稿日期: 2017-08-14 修回日期: 2018-01-25 网络出版日期: 2019-01-11

基金资助:

国家重点研发计划项目“深部金属矿集约化连续采矿理论与技术”（编号：2017YFC0602905）和国家自然科学基金项目“基于深度学习和距离场的复杂金属矿体三维建模技术研究”（编号：41572317）联合资助

Received: 2017-08-14 Revised: 2018-01-25 Online: 2019-01-11

作者简介 About authors

张炬（1993-），男，湖南长沙人，硕士研究生，从事采矿和数字矿山研究工作 , E-mail：zhangju@csu.edu.cn

摘要

几何约束模型的合理性和复杂程度直接影响到模型构建的效率，进而对境界优化的速度产生影响，保证精度和提高运算速度是几何约束模型优化的重点。在总结常用拟合方式的基础上，提出了边坡轮廓插值方法和快速构建开采锥的算法：基于角度反比插值拟合模型，提出了边坡角随方位角、高程变化情况下，快速构建开采锥的环形搜索块判别方式，提高了开采锥构建的合理性和效率；给出了开采锥去冗余的方法，精简了块的几何约束关系，提高了开采锥构建的速度。将以上算法应用于某露天矿中，在构建价值模型基础上，批量生成了一组嵌套坑，选出了经济效益最优的最终境界。

关键词： 露天矿境界优化 ; 块段模型 ; 边坡角 ; 几何约束 ; 反比插值法 ; 开采锥构建 ; 去冗余

Abstract

The rationality and complexity of geometric constraint model directly affect the efficiency of model building, and then affect the speed of boundary optimization.To ensure the accuracy and improve the operation speed is the key point of the optimization of geometric constraint model.On the basis of summarizing the common fitting methods, a method of slope contour interpolation and an algorithm for quickly constructing mining cone by simplifying the geometric constraint relation were proposed.Based on the angle inverse interpolation fitting model, the discriminant method was proposed to improve the rationality and efficiency of the mining cone construction of ring search block for constructing the mining cone quickly under the condition of slope angle changing with azimuth and elevation.It is mentioned that the method of redundancy of mining cone removal that simplified the optimization process and improved the operation speed of mining cone construction. On the basis of constructing the value model, a set of nested pits was produced in batches, and the ultimate pit of the mine was selected when applied to an open-pit mine.

Keywords： open pit optimization ; bock model ; slope angle ; geometric constraint ; inverse interpolation ; mining cone construction ; remove redundancy

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本文引用格式

张炬, 王李管, 宋华强, 任助理, 毕林. 露天矿境界优化几何约束模型优化及其应用[J]. 黄金科学技术, 2018, 26(6): 795-802 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.795

ZHANG Ju, WANG Liguan, SONG Huaqiang, REN Zhuli, BI Lin. Optimization and Application of Geometric Constraint Model for Boundary Optimization in Open Mine[J]. Gold Science and Technology, 2018, 26(6): 795-802 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.795

境界圈定是露天矿生产规划中最重要的部分，但是当块段模型的块数量较大时，传统境界优化算法的运算效率受到限制，特别是要对多套设计方案的成本、价格、边坡角和边界品位变化等进行参数敏感性分析时，需要更长的运算时间；在构建开采锥时，传统的边坡轮廓插值拟合方法无法满足露天矿边坡角随方位角、高程变化的条件。因此，构建合理的几何约束关系来拟合边坡角变化、精简约束关系对减少境界优化的时间、降低复杂度尤为重要。

许多学者对露天矿境界优化做了深入研究^[1,2,3,4,5]，其中L-G图论被证明能够严格产生最终境界坑，然而初始的L-G图论无法考虑变化的边坡角并且其求解和运算时间过长^[6]；张延凯等^[7]在L-G图论的初始有向图上考虑最大搜索层数与边坡拟合之间的联系，并在前驱块上进行了去冗余处理；最初的边坡角约束通常基于1∶5、1∶9或1∶5∶9的特定几何约束模型，但是当边坡角发生变化时，该方法难以建立优化的露天坑轮廓^[8]；Khalokakaie等^[9]将变化边坡角的观念应用到L-G图论中，在实际应用中，不能仅沿主要方向考虑不同边坡角，当块段模型的方向与4个主方向不匹配时，该理论与实际不符；黄俊歆等^[10]提出了一种改进的露天矿境界优化几何约束新模型，以圆弧进行露天矿边坡轮廓拟合，并提出了一种去冗余的方法，尽管在实现效率上对算法进行了改进，但其拟合效果与矿山实际不符；Gilani等^[11]实现了样条插值的方法，在块段模型的每一层定义开采锥的轮廓，该方法在数学上逻辑缜密，但在工程上具有局限性，当已知点数目较少时，会产生较大的偏差；Shishvan等^[12]提出了角度反比插值拟合，借鉴地质统计学原理中的距离幂次反比估值方法，插值得到任意方位角处的最大允许边坡角，拟合形成一个渐变的边坡角几何约束模型，该方法更多从工程实际考虑，拟合效果良好。

基于此，在原有非线性插值方法的基础上，考虑不同高程和不同方位角情况下边坡角的变动，确定了边坡角的开采锥轮廓和开采锥半径；考虑最大搜索层数的情况下，以一种定界方式，逐层判断基础块的前驱块，在运算速度与边坡角拟合的精确度之间找到了平衡；提出了一种上向去冗余的方法，去除前驱块中的冗余关系，精简了几何关系，提高了境界优化的运算速度。

1 几何空间关系

将矿床划分为有限个尺寸相等的长方体块体（包括开采的矿石和剥离的废石），每个块体形成的离散模型称为矿床块段模型。以块段模型中最小尺寸的块为基础块，在X、Y、Z方向上组合任意基础块作为价值模型的单元块。在块段模型中，对于开采块 $i$ ，为了满足边坡角要求，一系列块组成的集合 $B_{i}$ 必须优先开采，则称 $B_{i}$ 为块 $i$ 的前驱块。如图1所示，对于立方体块，在边坡角为45 $°$ 情况下，若要开采块1，则集合 $B_{i} = \{2,3, 4,5, 6\}$ 所包含的块必须优先开采，块1与集合 $B_{i}$ 所表示的关系则称为几何约束关系。

图1

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图1 几何约束

Fig.1 Geometric constraint

在优化模型中边坡角约束是最主要的约束，为了保持边坡的稳定性，边坡角约束决定了块的开采顺序。因此，在三维模型中，以块的中心点表示基础块，利用边坡角约束来确定空间的几何约束，从而构建开采锥，落在开采锥里面的块即为基础块的前驱块(图2）。如图3所示，其中 $i j k$ 坐标系为相对坐标系； $x y z$ 坐标系（东坐标、北坐标、高程）为笛卡尔坐标系。

图2

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图2 构建基础块的开采锥

Fig.2 Mining cone of base block construction

图3

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图3 矿床块段模型和坐标系

Fig.3 Block model and coordinate system

2 角度反比插值

距离幂次反比法中，任何指定的物理量Q与距离d的m次幂成反比^[13]，用式（1）表示

Q \propto \frac{1}{d^{m}}, m \geq 1

(1)

将式中距离替换为角度，即得角度反比插值公式。

如图4所示，已知起始线OP方位角和边坡角为 $α_{1}$ 、 $θ_{1}$ ，终止线OR的方位角和边坡角分别为 $α_{2}$ 、 $θ_{2}$ ，则 $\forall$ 方位角 $α \in$ ［ $α_{1}, α_{2}$ ］，其边坡角 $β$ ，对应图中ON，利用插值公式计算如下：

\begin{array}{l} \frac{1}{t a n β} = \frac{{(α - α_{1})}^{ω}}{{(α - α_{1})}^{ω} + {(α_{2} - α)}^{ω}} \times \frac{1}{t a n θ_{2}} + \\ \frac{{(α_{2} - α)}^{ω}}{{(α - α_{1})}^{ω} + {(α_{2} - α)}^{ω}} \times \frac{1}{t a n θ_{1}} \end{array}

(2)

式中: $ω$ 为权重，经过多次运算发现 $ω \in$ ［1,2］时将得到更精确的结果，为方便计算，提高运算速率，取 $ω$ =1。已知PQR为利用插值公式形成的曲线，直线PQ为OP的切线，RM为OM的切线。曲线PQ在OP的切线之外，这在工程实践中难以实现，故在插值过程中切线PQ为其上限，切线RM同理，得最终插值计算公式如下：

t a n β = m i n {(\frac{1}{α_{2} - α_{1}} (\frac{α_{2} - α}{t a n θ_{1}} + \frac{α - α_{1}}{t a n θ_{2}}), \frac{1}{t a n θ_{1} c o s (α - α_{1})}, \frac{1}{t a n θ_{2} c o s (α_{2} - α)})}^{- 1}

(3)

形成最终轮廓切线PQ，曲线QN、NR。

图4

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图4 插值示意图

Fig.4 Interpolation diagram

3 边坡角随高程变化拟合

3.1 开采锥构建

实际开采过程中岩性复杂多变，为保证边坡稳定，同一方位会出现不同高程边坡角变化的情况。定义d_i，d_j，d_k为块（i，j，k）在x、y、z方向的尺寸。

高程位于［L₁,L₂］之间的 $\forall$ 层数l，第n个方位角 $α$ 对应的开采锥半径 $r_{l, n}$ 如下:

r_{l, n} = \{\begin{array}{l} \frac{l \times d_{k}}{t a n β_{1}}, 0 \leq l \leq L_{1} \\ \frac{L_{1} \times d_{k}}{t a n β_{1}} + \frac{(l - L_{1}) \times d_{k}}{t a n β_{2}}, L_{1} \leq l \leq L_{2} \end{array}

(4)

若 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 代表倒圆锥的顶点， $(i, j, k)$ 表示当前块，则 $X_{i, j, k} = d_{i} \times (i - i_{0})$ ， $Y_{i, j, k} = d_{j} \times (j - j_{0})$ ，式中 $X_{i, j, k}$ 和 $Y_{i, j, k}$ 分别表示块 $(i, j, k)$ 相对于块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 在 $X$ 方向和 $Y$ 方向的距离。块 $(i, j, k)$ 相对于 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的方位角如下： $α = 0$ °( $X_{i, j, k} = 0$ ， $Y_{i, j, k} \geq 0$ )， $α = 180$ °( $X_{i, j, k} = 0$ ， $Y_{i, j, k} \leq 0$ )； $α = 90 ° - a r c t a n (Y_{i, j, k} / X_{i, j, k})$ ( $X_{i, j, k} > 0$ )， $α = 270 ° - a r c t a n (Y_{i, j, k} / X_{i, j, k})$ ( $X_{i, j, k} < 0$ )。

块 $(i, j, k)$ 与块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 中心点的水平距离 $R_{i, j, k} = \sqrt[]{{X_{i, j, k}}^{2} + {Y_{i, j, k}}^{2}}$ ，通过角度反比插值拟合出每一层锥轮廓线。对于块 $(i, j, k)$ 对应的方位角 $α$ ，可以求得其对应的圆锥半径 $r$ ，若 $R_{i, j, k} \leq r$ ，则块 $(i, j, k)$ 在块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 对应的倒锥范围内，属于块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的前驱块；否则不在开采锥内。以9×11×6的块段模型为例，如图5所示，为块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的开采锥A-A剖面图。确定基础块对应的开采锥后，如果依此方法每一层的块都要判断其是否在圆锥内，找前驱块的效率会很低。

图5

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图5 开采锥俯视图

Fig.5 Mining cone top view

在边坡角［ $θ_{1}$ , $θ_{1}$ ］中间插值，开采锥半径的极值点在端点处。对于 $\forall$ 层 $l$ ，已知 $n$ 个方位角和其对应的边坡角 $\{θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}\}$ ，可以求得 $m i n \{θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}\}$ 、 $m a x \{θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{n}\}$ ,对应的圆锥半径为 $r_{m i n}$ 、 $r_{m a x}$ ，在定义域内 $\forall i$ ，其对应的 $j \in [j_{0} - \sqrt[]{r_{1 m a x}^{2} - {((i - i_{0}) * d_{i})}^{2}}, j_{0} + \sqrt[]{r_{1 m a x}^{2} - {((i - i_{0}) * d_{i})}^{2}}]$ ，通过判断 $R_{i, j, k} = \sqrt[]{{X_{i, j, k}}^{2} + {Y_{i, j, k}}^{2}}$ 与该方位角上圆锥半径 $r$ 的大小关系，确定最大搜索范围内的块是否为块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的前驱块；若第一层中 $(i, j, k)$ 属于块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的前驱块，则第二层中 $(i, j, k + 1)$ 属于块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的前驱块。如图6（a）所示，当 $l = 1$ 时，以 $O'$ 为圆心， $r_{1 m a x}$ 为半径，确定最大搜索范围 $[(i - i_{0}) * d_{i}]^{2} + (j - j_{0}) * d_{j} \leq r_{1 m a x}^{2}$ ， $i$ 的取值范围为 $[i_{0} - \frac{r_{1 m a x}}{d_{i}}, i {}_{0}+ \frac{r_{1 m a x}}{d_{i}}]$ ， $j$ 的取值范围为 $[j_{0} - \frac{r_{1 m a x}}{d_{j}}, j_{0} + \frac{r_{1 m a x}}{d_{j}}]$ 。当 $l = 2$ 时，以最大的搜索范围 $[(i - i_{0}) * d_{i}]^{2} + (j - j_{0}) * d_{j} \leq r_{2 m a x}^{2}$ 搜索时，存在冗余；若以 $r_{1 m a x}$ 为搜索下界，会出现遗漏，那么以 $r_{1 m i n}$ 为搜索下界，则第二层的搜索范围为 $r_{1 m i n}^{2} \leq [(i - i_{0}) * d_{i}]^{2} + (j - j_{0}) * d_{j} \leq r_{2 m a x}^{2}$ ，所以搜索范围为 $r_{(l - 1) m i n}^{2} \leq [(i - i_{0}) * d_{i}]^{2} + (j - j_{0}) * d_{j} \leq r_{l m a x}^{2} (l \geq 2)$ 。以此方法判别块得到如图7所示结果，图6 $($ b)中黑色线为边坡轮廓线，蓝色线为以 $r_{1 m i n} 、 r_{1 m a x} 和 r_{2 m a x}$ 为半径确定的圆，阴影为每一层的搜索范围。依此类推，可以分别得到l=3,4,5,6层时的搜索范围，统计可得1~6层判别块数分别为9、16、12、24、40和40块，总计141块。

如果每一块是否在开采锥内都需要进行判断，上例每层需判断99次，6层共计594次，而运用此方法仅判断141次，因此极大地提高了运算效率。在三维价值模型中，块的数目以百万计，效率提高更为显著。

图6

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图6 搜索范围示意图

Fig.6 Schematic diagram of search range

3.2 冗余关系去除

图7为块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的开采锥剖面示意图，要采出块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 则其上部阴影部分的块必须优先开采，其集合称为 $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ ， $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 中节点 $(i_{0} + 1, j_{0}, k_{0} + 1)$ 的开采由 $B (i_{0} + 1, j_{0}, k_{0} + 1)$ 进行约束，依次类推，发现约束块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 的集合 $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 存在一定的冗余。所以，需要对 $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 中的块按上向搜索依次去冗余，从 $k_{0} + 1$ 层到最顶层N依次执行式（5）， $\forall (i, j, k) \in B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ ，每经过一次去冗余后更新集合 $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ ，继续遍历剩下的块集合 $B' (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ ，继续执行公式直至集合 $B (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 不再变动为止，则 $B^{n} (i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 为块 $(i_{0}, j_{0}, k_{0})$ 完全去除冗余之后的开采锥集合，如图8（a）~8（f）所示。对于按照上述搜索方法得到的开采锥经2次去冗余后，得到各层对应的开采锥如图8所示，去冗余前后开采锥块数见表1，对比可知在2次去除冗余后块数目大大减少，能够更进一步提高运算速率。

图7

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图7 开采锥A-A剖面示意图

Fig.7 A-A profile of mining cone

\begin{array}{l} B^{n} (i_{0}, j_{0}, k_{0}) = B^{n - 1} (i_{0}, j_{0}, k_{0}) - \\ B^{n - 1} (i_{0}, j_{0}, k_{0}) ⋂ B (i, j, k) (n \geq 1) \end{array}

(5)

图8

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图8 去冗余后的开采锥约束模型

Fig.8 Simplified mining cone constraint model

表1 去冗余前后开采锥块数统计

Table 1 Number of blocks in mining cone before and after remove redundancy

层数l	开采锥块数/块
层数l	去降冗余前	第一次去冗余	第二次去冗余
0	34	15	3
1	26	10	3
2	16	7	2
3	11	7	3
4	6	5	1
5	2	2	2
6	1	1	1

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4 实例应用

以露天矿山实际数据为研究对象，创建矿山的三维地表模型(DTM)、矿体模型和矿床块段模型，作为露天矿境界优化的基础^[15,16]。矿体走向呈SN，倾角50°～65°。矿体总体长1 000 m，埋深0～195 m(标高），矿体厚度10～50 m，平均品位约为26.5%。矿床价值模型创建中单元块尺寸大小为20 m×20 m×10 m，边坡角为45°。某铁矿品位分布情况如图9所示，其主要优化采矿参数见表2。

图9

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图9 Fe元素品位分布

Fig.9 Fe element grade distribution

表2 采矿参数

Table 2 Mining parameters

参数	数值	参数	数值
采矿回采率	0.95	矿石体重/（t $\cdot$ m $^{- 3}$ ）	3
贫化率	0.05	废石体重/（t $\cdot$ m $^{- 3}$ ）	2.7
采矿成本/（元 $\cdot$ t $^{- 1}$ ）	35	选矿回收率	0.9
废石开采成本/（元 $\cdot$ t $^{- 1}$ ）	15	Fe元素价格/（元 $\cdot$ t $^{- 1}$ ）	600
选矿成本/（元 $\cdot$ t $^{- 1}$ ）	20

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设置嵌套坑数目为10个，价格调节因子依次为1.2，1.1，1.0，0.9，0.8，0.7，0.6，0.5，0.4，0.3，统计矿岩量、剥采比、元素品位和价值等，结果见表3。

表3 结果统计

Table 3 Statistics of results

嵌套坑	矿岩总量			剥采比	元素金属量/t	元素品位/%	价值/亿元
嵌套坑	矿量/t	岩量/t	总计/t	剥采比	元素金属量/t	元素品位/%	价值/亿元
1	7 648 952	16 139 288.72	23 788 240.72	2.11	2 309 983.504	30.20	4.63
2	9 005 698	21 163 390.3	30 169 088.3	2.35	2 683 698.004	29.80	4.95
3	23 669 398	57 753 331.12	81 422 729.12	2.44	6 816 786.624	28.80	11.54
4	38 956 254	122 322 637.6	161 278 891.6	3.14	11 141 488.64	28.60	14.52
5	53 589 467	193 993 870.5	247 583 337.5	3.62	14 897 871.83	27.80	14.03
6	70 163 956	287 672 219.6	357 836 175.6	4.10	19 716 071.64	28.10	14.34
7	88 463 690	346 777 664.8	435 241 354.8	3.92	24 150 587.37	27.30	17.02
8	95 638 614	367 252 277.8	462 890 891.8	3.84	25 631 148.55	26.80	17.22
9	105 474 247	395 528 426.3	501 002 673.3	3.75	27 950 675.46	26.50	18.88
10	115 774 376	426 049 703.7	541 824 079.7	3.68	29 638 240.26	25.60	16.86

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图10

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图10 算法优化前后运算时间对比

Fig.10 Comparison of operation time before and after

optimization

将优化前后的算法分别应用于该铁矿境界优化过程中，对比各嵌套坑解算时间，结果如图10所示。由图可知，各嵌套坑解算效率都得到提升，且矿岩量越大，速度的提升率越大，算法优化前后10个嵌套坑的总运算时间由29.56 min缩短到5.29 min，即该矿境界优化的总效率提高了82%，优化效果显著。

通过与DIMINE数字矿山软件平台做境界优化时各分期的矿石量和岩石量统计数据对比，以验证算法的正确性和可行性，结果见表4，A1和B1分别表示优化算法统计的矿石量和岩石量，A2和B2分别表示DIMINE软件统计的矿石量和岩石量。通过对比优化算法与DIMINE软件统计的矿岩量可知，二者相差较小，优化算法计算准确可行。

表4 优化算法与DIMINE软件统计的矿岩量对比

Table 4 Comparison of ore and rock quantity

嵌套坑	矿量A1/t	矿量A2/t	岩量B1/t	岩量B2/t
1	7 648 900	7 648 972	16 139 288.72	16 139 100.5
2	9 005 698	9 005 581	21 163 390.3	21 163 125
3	23 669 398	23 669 526	57 753 331.12	57 753 029.25
4	38 956 254	38 955 819	122 322 637.6	122 322 068
5	53 589 467	53 589 301	193 993 870.5	193 993 029.2
6	70 163 956	70 163 329	287 672 219.6	287 671 605.3
7	88 463 690	88 463 059	346 777 664.8	346 777 011.8
8	95 638 614	95 638 153	367 252 277.8	367 251 420.7
9	105 474 247	105 473 805	395 528 426.3	395 526 512.1
10	115 774 376	115 774 008	426 049 703.7	426 047 066.4

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图11

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图11 净现值及剥采比变化图

Fig.11 Change chart of net present value and stripping ratio

随着坑的变大，坑内的矿石量和岩石量都在增加，其中岩石增量高于矿石增量，由图11和图12可知，每个坑的总价值随着坑的变大而增大，但增加的幅度越来越小。通过分析可知，选择pit7为最终境界为最优选择，这样既能保证较高开采价值，又能避免价格波动对企业经济的影响。

图12

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图12 矿岩量变化图

Fig.12 Change chart of ore and rock quantity

5 结论

（1）研究了几何约束模型，从参数方面改进了露天矿边坡轮廓角度反比插值计算方法；提出了边坡角随方位角、高程变化时的开采锥构建方法，即一种快速构建开采锥的环形搜索块判别方式，能够极大地减少初始开采锥构建的时间。

（2）提出了开采锥去除冗余的方法，精简了块几何约束关系，降低了利用网络最大流算法进行境界优化时构建初始网络的复杂度，提高了境界优化的运算效率。

（3）对开采锥构建算法加以实现，并将其应用到某露天矿境界优化，运算高效、计算准确，在构建价值模型基础上，批量生成了一组嵌套坑，选出了符合矿山实际的最终境界。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

李云，杨珊，钟福生 .

基于有限元与极限平衡分析的露天矿边坡角优化

[J].中国安全科学学报，2012，22(2)：145.

[本文引用: 2]

Yun

， Yang

Shan

， Zhong

Fusheng

Rock slope angle optimization based on finite element method and limit equilibrium theory

[J].China Safety Science Journal，2012，22(2)：145.

[本文引用: 2]

[2]

Picard

J C

， Smith

B T

Parametric maximum flows and the calculation of optimal intermediate contours in open pit mine design

[J].Infor，2004，42(2)：143-153.

[本文引用: 2]

[3]

王青，顾晓薇，胥孝川，等 .

露天矿生产规划要素整体优化方法及其应用

[J].东北大学学报(自然科学版)，2014，35(12)：1796-1800.