“多米诺骨牌”破坏现象下的矿柱群系统可靠度评价

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.729

“多米诺骨牌”破坏现象下的矿柱群系统可靠度评价

周子龙^,, 王亦凡^,^*, 柯昌涛

1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Reliability Evaluation of Pillars System Based on Domino Failure Effect

ZHOU Zilong^,, WANG Yifan^,^*, KE Changtao

1. School Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

通讯作者: 王亦凡（1992-），男，河南三门峡人，硕士研究生，从事矿山岩石力学方面的研究工作。351375557@qq.com

收稿日期: 2017-07-12 修回日期: 2017-11-08 网络出版日期: 2019-01-11

基金资助:

国家基础研究发展计划项目“复杂采空区大规模坍塌的灾害孕育机理研究”（编号：2015CB060200）和国家自然科学基金青年基金项目“硬岩矿床深部开采”（编号：51322403）联合资助

Received: 2017-07-12 Revised: 2017-11-08 Online: 2019-01-11

作者简介 About authors

周子龙（1979-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，从事采矿与岩土工程方面的教学与研究工作 , E-mail：zlzhou@csu.edu.cn

摘要

采矿作业后残留的采空区对地下作业和地表建筑安全造成极大威胁，开展采空区系统的稳定性评价，有助于指导正常生产并预防灾害的发生。从矿柱“多米诺骨牌”级联破坏现象出发，构建并联矿柱承载模型。对矿柱强度进行估算，建立矿柱群系统承载力的极限状态方程。以某铬铁矿为例，基于Monte-Carlo模拟方法评价不同安全系数标准下矿柱群系统的稳定性，结果表明矿柱群的失效概率远大于失效标准，与矿山实际坍塌相符。在此基础上，研究发现矿柱承载力和矿柱数量是影响矿柱群系统稳定的主要因素。

关键词： 矿柱群 ; 可靠度 ; 系统稳定性评价 ; 多米诺骨牌 ; 矿柱群承载力 ; 失效概率 ; 采空区

Abstract

The residual goafs after mining operations is a great threaten to underground work and surface building safe.Stability assessment on goafs system helps to guide normal production and prevent disasters.According to pillars’ domino effect，multiple pillars system was constructed，based on which plliars’ strength was calculated and the limitation state equation was proposed.The system’s stability under criteria with different safety factors was estimated by Monte-Carlo simulation method. In a chromite mine，failure probability of multiple pillars system was much higher than failure criteria，which corresponds to the realistic failure.The stability of pillars system was greatly influenced by both pillar bearing capacity and pillar number.

Keywords： pillar group ; reliability ; system stability assessment ; domino-type failure ; bearing capacity of pillars ; failure probability ; goaf

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本文引用格式

周子龙, 王亦凡, 柯昌涛. “多米诺骨牌”破坏现象下的矿柱群系统可靠度评价[J]. 黄金科学技术, 2018, 26(6): 729-735 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.729

ZHOU Zilong, WANG Yifan, KE Changtao. Reliability Evaluation of Pillars System Based on Domino Failure Effect[J]. Gold Science and Technology, 2018, 26(6): 729-735 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2018.06.729

采空区是地下矿山开采后遗留下的地下空间，这些空间依靠预先留设的矿柱支撑上部结构。矿柱起着支撑围岩、减小顶板跨度、防止岩层移动及控制地表下沉的重要作用，其稳定性是影响采空区稳定与否的关键因素^[1,2]。影响矿柱稳定性的因素主要包括开挖率、地应力场、自身强度、几何结构和空区埋深等^[3]，而这些因素具有随机性和不确定性，若忽略这些特性，分析过程将产生一定的偏差，导致分析结果不准确。以可靠度理论为主的随机性评价方法充分考虑因素的随机性，稳定性评价结果以可靠度指标或失效概率的形式体现，能够直观地体现地质工程结构的实际稳定情况^[4]。

在矿柱安全随机性评价中，国内外学者通常以矿柱安全系数（即矿柱强度与矿柱应力的比值）为基础建立极限状态方程，计算矿柱的可靠度指标或失效概率。Griffiths等^[5]运用随机场理论配合弹塑性有限元算法，并利用Monte-Carlo模拟方法分析地下矿柱的稳定性；刘沐宇等^[6]按岩石质量分类法估算矿柱强度，并计算了矿柱的点安全系数和可靠度指标；Deng等^[7]运用有限元模型、人工神经网络和可靠度理论3种方法综合考虑各影响因素来优化矿柱设计；Cauvin等^[8]采用概率方法评估了不确定性对矿柱稳定性分析的影响；Najafi等^[9]运用一次二阶矩和高次二阶矩可靠度分析方法对煤矿矿柱的稳定性进行了分析；Wattimena等^[10,11]根据收集的矿柱表现的观测数据，将矿柱划分为稳定和失效2种类型，利用二元逻辑回归模型计算煤矿矿柱稳定的概率，并将其划分为稳定、不稳定和失效3种类型，同时利用多元逻辑回归模型预测硬岩矿柱的稳定性；Idris等^[12]分别使用人工神经网络、FLAC模拟和Monte-Carlo抽样对Laisvall矿的矿柱稳定性进行了随机评估；张耀平等^[13]利用FLAC^3D数值软件对龙桥铁矿空区的形成过程及采空区稳定性进行了模拟计算和预测分析。以上研究充分考虑了单个矿柱的稳定性，优化了矿柱设计，完善了矿柱的稳定性评价方法。然而，采空区整体的稳定性是由多矿柱共同维护的，仅依靠单个矿柱无法真实地反映出其整体稳定性，因此有必要对多矿柱和矿柱群的相互作用进行研究。

采空区坍塌过程，首先是个别力学性质较弱且应力集中的矿柱发生破坏，为达到新的平衡，其原本承担的载荷转移到相邻矿柱，造成相邻矿柱承受的载荷增加，一旦未破坏矿柱承担的载荷超过其承载极限，就会继续发生破坏，如此循环诱发更多矿柱过载失稳，在某一临界点采空区会发生整体式的坍塌，这一现象称为“多米诺骨牌”式的采空区失稳效应^[14]。根据这种特殊的破坏现象，国内外学者对采空区整体的稳定性状况开展了相关研究。周子龙等^[15]运用重整化群方法对民窿空区群的系统稳定性进行了研究，得出空区群系统失稳的临界概率；Dehghan等^[14]结合修正的从属面积法和3D数值模型模拟，结果符合Fetr6矿体的“多米诺骨牌”连续倒塌现象；Cording等^[16]采用数值方法模拟了单个矿柱承载能力减弱引发矿柱群整体逐渐失稳的动态过程；Zhou等^[17]运用室内试验和PFC模拟方法研究了平行双矿柱失稳破坏过程，得到双矿柱组合体系承载能力的关系式。上述研究已经考虑了矿柱群系统的相互影响，但很少有学者从整体出发来评价矿柱群的稳定性。本文从“多米诺骨牌”破坏现象出发，建立矿柱群系统的评价模型，采用可靠度理论评价系统稳定性，计算结果真实地反映了矿柱群的实际破坏情况，并讨论了矿柱数量和矿柱承载力对系统稳定性的影响。

1 可靠度理论

可靠度的研究起源于20世纪30年代，而结构可靠度在工程中的应用于20世纪40年代取得发展，被广泛应用于各类工程，如铁路、公路、水利和水运等，我国还编制了《工程结构可靠度设计统一标准》（GB 50068-2001）^[18]。由于影响因素的不确定性与随机性，本文采用统计概率方法描述结构的可靠性。这种方法以结构可靠与失效的界限状态定义结构的极限状态，评价结果客观准确。假定采空区中矿柱群的整体承载能力为随机变量R，其承担的总载荷为S，且S、R相互独立，建立矿柱群系统的结构功能函数为

$Z = g (R, S) = R / S - F_{S}$

（1）

式中：F_S为矿柱设计规范中规定的安全系数值。若 $Z < 0$ ，表示矿柱群系统破坏；若 $Z = 0$ ，表示系统处于失稳与稳定的临界状态；若 $Z > 0$ ，表示系统稳定。

2 矿柱群系统稳定性评价模型

2.1 模型建立

由于矿柱群破坏中出现“多米诺骨牌”式的级联破坏现象，故在进行矿柱群稳定性评价时，需从这种特殊的破坏现象出发。然而，由于矿房和矿柱的形状与尺寸有一定的差异性，研究过程中对所有矿柱的力学参数进行逐一考察统计显然是不现实的，且统计的矿柱参数具有随机性误差。为了形象视图，采空区平面图和剖面图如图1和图2所示。以并联矿柱模型模拟矿柱群系统，如图3所示。构建矿柱群平行支撑采空区的物理模型，计算矿柱群系统失稳的临界概率，并评价系统的稳定性。

图1

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图1 采空区平面图

Fig.1 Plane graph of goaf

B-矿柱间距；w-矿柱长度；W-矿柱间距

当采空区内只有一根矿柱时，矿柱系统所能承担的最大载荷R即为该矿柱的极限承载能力F（矿柱强度与矿柱横截面积的有效乘积）。当采空区由2根矿柱共同支撑时，双矿柱组合体系承受整体压力，Zhou等^[17]研究发现，假设矿柱具有相同的弹性模量，若2个矿柱峰值强度相同，在承担相同的载荷压力时，一旦其中一个矿柱发生破坏，系统很快失稳破坏；若2个矿柱峰值强度不相同，低峰值强度的矿柱先破坏，则系统失稳破坏过程相对温和。第2种情况中，双矿柱组合体系的荷载—位移曲线上往往有2个峰值。当较弱矿柱破坏后原本的载荷转移并重新分布，系统中未破坏矿柱承担系统整体的载荷。若未破坏矿柱承载能力足够大，在系统的荷载—位移曲线上第2个峰值高于第1个峰值。假设矿柱的极限承载能力分别为F₁和F₂，且F₂≥F₁，研究发现双矿柱系统所能承担的载荷R^[17]为

$R = \{\begin{array}{l} F_{2} \begin{matrix} F_{2} \geq 2 F_{1} \end{matrix} \\ 2 F_{1} \begin{matrix} F_{2} < 2 F_{1} \end{matrix} \end{array}$

（2）

图2

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图2 采空区剖面图

Fig.2 Sectional graph of goaf

H-矿柱高度；h-采空区

图3

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图3 并联矿柱群系统示意图

Fig.3 Schematic diagram of parallel pillar group system

S为外部载荷

由n个矿柱组成的并联系统在外部载荷S作用下，如果一个弱矿柱发生破坏，该矿柱将失去承载能力，其所受载荷将在剩下的n-1个矿柱中重新分布并达到新的平衡，在此过程中若转移的外载荷很大，造成某剩余矿柱过载则破坏继续，“某一矿柱过载破坏—载荷重新分布—新矿柱过载继续破坏”过程不断重复，直至剩余矿柱完全可以承担施加的载荷，系统趋向稳定。反之外载荷过大，超过系统整体的极限承载能力，系统将整体破坏。假设空区n个矿柱的承载能力用F₁，F₂，…，F_n表示，X₁，X₂，…，X_n代表F₁，F₂，…，F_n从小到大依次排序，则矿柱群的整体承载能力R可用式（3）表示，即

$R (F_{1}, F_{2}, \dots, F_{n}) = m a x [n X_{1}, (n - 1) X_{2}, (n - 2) X_{3}, \dots, 2 {X_{(}}_{n - 1}_{)}, X_{n}]$

（3）

2.2 评价方法

矿柱承载能力与岩石力学特性、矿柱几何尺寸等因素有关，由于岩石力学参数的离散性和矿柱尺寸设计与实际之间的偏差，在估算每一根矿柱的承载能力时，要准确地获取这些参数是不现实的，因此实际计算时将矿柱承载力作为随机变量考虑，假设所有矿柱承载能力来自同一总体F，则F_i（i=1，2，…，n)是来自总体F的样本，X_i（i=1，2，…，n)是样本的顺序统计量。R的组成元素是随机变量，系统整体的稳定性用失效概率体现，采用Monte-Carlo法计算失效概率，计算流程如图4所示。

图4

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图4 计算系统失效概率的Monte-Carlo模拟流程图

Fig.4 Flow chart of system failure probability calculation by Monte-Carlo simulation

N为产生随机数向量的组数，M为满足判别式的随机数向量的组数

3 实际工程应用

以某铬铁矿塌陷灾害为工程背景，整个矿山有6个地表采场和3个地下矿床，露天开采已经结束，目前进入地下开采。该矿床规模最大，分3个阶段开采，第一阶段的开采布局如图5所示。因矿体品质的变化，采用不规则矿柱布局达到最优开采的目的，第一阶段开采完成后，开挖率达到56%，此时部分矿柱已经显现出不稳定的迹象。为维护采空区的稳定性，矿山增设人工混凝土柱子替代现存矿柱，但由于部分矿柱破坏引发其他矿柱逐渐失稳，最终数秒内4 000 m²的采空区发生“多米诺骨牌”式坍塌。

图5

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图5 某矿床矿柱布局^[14]

Fig.5 Pillars distribution in the mine^[14]

数字代表矿柱编号

在采空区稳定性研究过程中，矿柱强度是考虑的主要因素，通过矿柱强度折算出矿柱安全系数，以此来评价矿柱是否过载。多数学者提出的矿柱强度评估公式^[19]是依据经验构建的，Pytel^[20]总结了前人提出的矿柱强度经验公式，指出具体使用这些经验公式时要进行修正。本文采用符合此矿实际的Salamon-Munro公式^[14]，通过修正，矿柱强度公式可表示为

$σ = σ_{u c s} \times \frac{5^{0.5833}}{V^{0.0667}} \{\frac{0.5933}{25} [{(\frac{W}{5 H})}^{2.5} - 1] + 1\}$

（4）

式中： $σ, σ_{u c s}$ 分别为矿柱的强度和标准尺寸矿柱岩石的强度（MPa）；V，W，H分别为矿柱体积、宽度和高度。单矿柱承载能力F可表示为

$F = σ A_{0}$

（5）

式中：A₀为单个矿柱的横截面积，矿柱承载能力F的单位为10³kN。作用在矿柱群上的总载荷S可表示为

$S = ρ g h A$

（6）

式中： $ρ$ 为岩层密度；g为重力加速度，取值为9.81 m/s²；h为采空区埋深；A为采空区在水平面上的投影。经统计某矿体的各矿柱参数如表1所示，根据式（4）和式（5）分别计算各矿柱的强度和承载能力。

表1 某矿体矿柱基本参数 $^{[14]}$

Table 1 Basic parameters of pillars in the mine $^{[14]}$

矿柱编号	矿柱几何结构				矿柱岩石强度/MPa	矿柱强度/MPa	矿柱承载能力/( $\times$ 10³kN）
矿柱编号	面积/m²	宽度/m	高度/m	体积/m³	矿柱岩石强度/MPa	矿柱强度/MPa	矿柱承载能力/( $\times$ 10³kN）
2	63	7.9	12	756	14.98	19.1	1 203.3
3	36	6.5	12	432	14.98	19.8	712.8
4	36	6.3	12	432	14.98	19.8	712.8
5	19	4.5	12	228	14.98	20.7	393.3
6	42	7	12	504	14.98	19.6	823.2
8	18	4.2	12	216	14.98	20.8	374.4
10	166	9.2	12	1 992	14.98	17.9	2 971.4
12	108	10.8	12	1 296	14.98	18.5	1 998
13	50	7.7	12	600	14.98	19.4	970
14	213	11.7	12	2 556	14.98	17.7	3 770.1
15	30	6	12	360	14.98	20.1	603
17	10	3.3	12	120	14.98	21.6	216
18	40	6.7	12	480	14.98	19.7	788
19	15	4	12	180	14.98	21	315
20	35	6.4	12	420	14.98	19.9	696.5
21	100	8	12	1 200	14.98	18.5	1 850
22	86	9.6	12	1 032	14.98	18.7	1 608.2
23	130	11.8	12	1 560	14.98	18.3	2 379
24	170	10.5	12	2 040	14.98	17.9	3 043

22号矿柱为矿柱群系统的关键矿柱

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矿体参数如表2所示，根据式（3）和式（6）计算得到矿柱群的整体承载能力R=11 257.4×10³kN，顶板施加在矿柱上的载荷S=11 581.6×10³kN。由此可见，顶板施加在矿柱群上的载荷明显大于矿柱群的整体承载能力，说明采空区处于危险状态。矿柱群中承载能力较弱的矿柱先发生破坏，破坏顺序依次为17→19→8→5→15……。如式（7）所示，矿柱群系统的最大承载力是22号矿柱承载力的7倍，说明矿柱按以上次序发生破坏后，仅剩下7根矿柱支撑上部岩石，而22号矿柱是剩余矿柱中承载力最小的，若22号矿柱发生破坏，其承担的载荷将会转移到其他剩余矿柱上，剩余矿柱将依次破坏，出现类似的“多米诺骨牌”式破坏。那么，22号矿柱就是矿柱群系统的关键矿柱，系统的破坏形式由静态破坏转化为动态破坏。

$R (F_{1}, F_{2}, \dots, F_{n}) = m a x [n X_{1}, (n - 1) X_{2}, (n - 2) X_{3}, \dots, 2 {X_{(}}_{n - 1}_{)}, X_{n}]$ =

$7 F_{22}$

（7）

表2 矿体参数

Table 2 Basic parameters in the mine

参数	数值	参数	数值
岩石密度/（kg $\cdot$ m^-3）	3 800	矿柱数量	19
埋深/m	100	最小矿柱承载力/ $(\times$ 10³kPa)	216
采空区投影面积/m²	3 106	最大矿柱承载力/ $(\times$ 10³kPa)	3 770.1

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据统计，矿柱群承载力的分布规律如图6所示，满足对数正态分布，即In（x）满足正态分布。矿柱群的承载力大小分布在对数正态分布区间［216×10³，3 770.1×10³kPa］内，标准差为0.8040。采用Monte-Carlo模拟方法计算系统的失效概率，当安全系数标准分别取1.0，1.2，1.4时，矿柱群系统的失效概率PF依次为61.37%、89.56%和98.07%。传统标准规定失效概率达到15%，就会引发灾难性的后果。安全系数标准越严格，采空区失效概率越大，当安全系数标准为1.0时，矿柱群失效概率已远大于15%，说明矿柱群系统发生破坏的可能性很大，随时有坍塌的危险。计算结果与该铬铁矿的实际坍塌相符合，验证了模型的正确性。

继续以该矿体为例，矿柱承载力服从对数正态分布，改变承载力In（x）的标准差，系统失效概率如图7所示。当安全系数标准取值依次为1.0，1.2，1.4时，系统的失效概率变化呈现出相似规律：随着标准差的增加（矿柱大小越不一致，承载力离散性越大），采空区失效概率先增后减。在实际回采过程中，往往将矿体中的夹石和贫矿留下，使矿柱呈不规则分布，以维护采空区的稳定性，加上实际施工与设计并不完全相符，矿柱群不可能完全一模一样，矿柱群承载能力的标准差一般大于0.3，故可忽略图像前半部分。

图6

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图6 矿柱承载力的概率分布

Fig.6 Probability distribution of bearing capacity of pillars

图7

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图7 矿柱群承载力分布对系统失效概率的影响

Fig.7 Effect of bearing capacity distribution of pillars on system failure probability

保持其他因素不变，矿柱承载力分布服从对数正态分布，研究矿柱均值In（x）变化对系统失效概率的影响，结果如图8所示。不同安全系数标准下系统的失效概率变化呈现出相似规律，随矿柱群均值的增大而减小。矿柱数量对系统失效概率的影响如图9所示。随着矿柱数量的增加，系统失效概率减小，减小幅度先大后小。若要满足传统规定的失效概率标准(15%），则至少需要24根矿柱。对于采空区随机布置的矿柱，根据可靠度矿柱群评价系统的稳定性，其承载能力离散性对系统的稳定性影响不大，矿柱承载力均值和矿柱数量是影响系统稳定性的关键因素。

图8

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图8 矿柱群承载力均值对系统失效概率的影响

Fig.8 Effect of mean value of pillars bearing capacity on system failure probability

图9

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图9 矿柱群数量对系统失效概率的影响

Fig.9 Effect of pillars number on system failure probability

4 结论

从并联矿柱模型的“多米诺骨牌”式的级联破坏现象出发，建立不同安全系数标准的矿柱群系统极限状态方程，采用Monte-Carlo法计算矿柱群系统的失效概率，得到如下结论：

（1）抽样模拟不同安全系数标准下矿柱群失效概率大于结构失效标准，某矿体处于危险破坏的状态，与该矿山采空区发生整体坍塌的实际情况相符，验证了模型的正确性。

（2）影响矿柱群系统稳定性的主要因素包括矿柱的承载能力和矿柱数量，对于特定的工况，本文研究方法为矿山生产设计和采空区矿柱治理提供了一条新思路。

但文章没有考虑矿柱在空间上的分布状态对矿柱群系统稳定性的影响，今后应从这方面出发，建立采空区的时空稳定性评价体系。

参考文献

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被引期刊影响因子

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