基于改进的RS-TOPSIS模型的岩爆倾向性预测

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.080

基于改进的RS-TOPSIS模型的岩爆倾向性预测

王旷¹, 李夕兵¹, 马春德¹^,², 顾合龙¹

1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

2. 中南大学高等研究中心，湖南长沙 410083

Rock-burst Proneness Prediction Based on Improved RS-TOPSIS Model

WANG Kuang¹, LI Xibing¹, MA Chunde¹^,², GU Helong¹

1. School of Resource and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

2. Center for Advanced Study，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

收稿日期: 2017-12-31 修回日期: 2018-03-12 网络出版日期: 2019-03-11

基金资助:

国家重点研发计划项目“深部高应力诱导与能量调控理论”（编号：2016YFC0600706）资助

Received: 2017-12-31 Revised: 2018-03-12 Online: 2019-03-11

作者简介 About authors

王旷（1995-），男，江西抚州人，硕士研究生，从事岩石动力学及矿山深部灾害研究工作kuwang@csu.edu.cn 。

摘要

针对目前岩爆倾向性中预测模型权重确定存在不足导致模型精度不高的现状，为更准确地预测岩爆倾向性，提出综合运用粗糙集理论中的代数观和信息观，确定属性最优权重，并修正岩爆倾向性与评价指标之间的关系，建立岩爆等级理想点矩阵。根据岩爆发生条件，选取岩石脆性指数、切应力指标和弹性应变能指数3项指标作为岩爆判别指标，以国内外20组典型岩爆数据为样本，建立改进的粗糙集—理想点法（RS-TOPSIS）岩爆倾向性预测模型，并应用该模型对玲珑金矿等工程实际进行了岩爆倾向性预测。结果表明：改进后样本预测精度相比于改进前有了显著提高，所建立的模型对实际工程的岩爆倾向性预测效果良好，预测结果更准确。

关键词： 岩爆预测 ; 粗糙集理论 ; 代数观 ; 信息观 ; 理想点法 ; 最优权重

Abstract

In view of the present situation that the weight determination of the prediction model in rock-burst proneness is insufficient，which leads to the low accuracy of the model，it is not accurate to use the single rough set algebraic view or information view to determine the weight.In order to predict the rock-burst proneness more accurately，the optimal weight was determined according to the algebraic view and information view in the rough set theory.Because the ideal point range of no rock-burst and violent rock-burst is too large，the relationship between rock-burst proneness and evaluation index was corrected and the ideal point matrix of rock-burst grade was established.Half of the interval length of light rock-burst and medium rock-burst was taken as the corresponding interval length of no rock-burst and violent rock-burst，the upper limit and the lower limit were set respectively for the ideal point matrix.The “approximate ideal point” and “interval” indexes were used to optimize the ideal point.Brittleness coefficient，stress strength coefficient and elastic energy index were selected to construct attribute set according to the occurrence conditions of rock-burst.Taking 20 rock-burst cases as the training and testing samples，using the improved rough set method and the modified rock-burst intensity ideal point method to establish the improved RS-TOPSIS model of rock-burst proneness prediction.The model was applied to predict the rock-burst proneness of the Linglong gold mine et al.The results show that the prediction accuracy of the improved sample reaches 95 $%$ ，which is a certain improvement from the accuracy of 80 $%$ .The model can easily and quickly predict the rock-burst proneness，and the prediction accuracy is more accurate.The model has a good effect on predicting the rock-burst proneness of the actual project，provides a more accurate method for predicting the rock-burst proneness of the underground engineering，and the predicted results tallies with the actual situation.The prediction model of rock burst proneness has certain practical value and good application prospects.

Keywords： rock-burst prediction ; rough set theory ; algebraic attributes ; informational attributes ; TOPSIS method ; optimal weight

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本文引用格式

王旷, 李夕兵, 马春德, 顾合龙. 基于改进的RS-TOPSIS模型的岩爆倾向性预测[J]. 黄金科学技术, 2019, 27(1): 80-88 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.080

WANG Kuang, LI Xibing, MA Chunde, GU Helong. Rock-burst Proneness Prediction Based on Improved RS-TOPSIS Model[J]. Gold Science and Technology, 2019, 27(1): 80-88 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.080

岩爆的发生是极其复杂的，国内外研究者从不同角度对岩爆现象进行分析研究，并提出了一系列判据^[1,2,3,4,5]。早期研究主要集中于强度、能量、刚度或突变等单一因素对岩爆的影响，随着研究的深入，凭借单一的判据无法准确预测岩爆的发生，为此，系统工程理论的数学方法被引入，用于开展多指标的岩爆综合预测研究，如模糊数学法^[4]、AHP-TOPSIS法^[6,7]、BP人工神经网络法^[8,9]、距离判别法^[10,11]和未确知测度法^[12]等。上述方法对于预测岩爆的发生都有一定的效果，但在各指标权重的确定上具有较强的主观性，存在一定的不足。因此有学者将粗糙集理论^[13]引入岩爆预测研究中。

目前应用比较广泛的粗糙集理论中的属性重要性可划分为两类：信息观和代数观。基于代数观的属性重要性，其标准是过于“粗糙”的，基于信息观的属性重要性，其标准是过于“细致”的，在某些实际应用方面甚至会出现不同结果^[14]，因此仅使用某一种属性重要性确定权重存在一定的不足。鉴于此，提出基于粗糙集代数观与信息观属性重要性所确定的权重，将二者进行有机结合，得到各属性的最优权重，结合逼近理想解（TOPSIS）法，建立岩爆倾向性预测模型，并进一步运用于玲珑金矿等实际工程中。

1 粗糙集理论确定最优权重

1.1 基于代数观的属性权重

（1）粗糙集代数观的定义。定义1：称 $\{U, A, V, F\}$ 是一个决策信息系统，其中U= $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ 为论域， $x_{i} (i \leq n)$ 是U中的一个对象^[15]。 $A = C ⋃ D$ ，C为条件属性集，D为决策属性集。A中每个元素 $a_{j} (j \leq m)$ 称为A的一个属性。对于 $\forall a \in A$ ，定义一个二元不可分辨关系： $I N D (A) = \{(x, y) \in U \times U | \forall a \in A, a (x) = a (y)\}$ 。

定义2：给定知识库 $M = (U, R)$ ，对于 $\forall X \subseteq U, P O S_{R} (X)$ 称作X的R正域，将其定义为 $P O S_{R} (X) = ⋃ \{Y \in U / R ∶ Y \subseteq X\}$ 。

（2）代数观属性重要性。设决策信息系统 $S$ = $\{U, A, V, F\}, A = C ⋃ D, C ⋂ D = \emptyset$ 。定义C、D间的依赖度为

$I_{C} (D) = |P O S_{C} (D)| / |U|$

（1）

定义对于任意属性子集 $C^{'} \subseteq C$ 关于D的属性重要性为

$γ (C') = I_{C} (D) - I_{C - C'} (D)$

（2）

当 $C^{'} = \{a\}$ 时，此时 $a \in C$ 关于D的属性重要性为

$γ (a) = I_{C} (D) - I_{C - \{a\}} (D)$

（3）

当 $C$ = $\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}\}$ 时，属性 $a_{i}$ 的权重为

$ω_{i}^{1} = \frac{γ (a_{i})}{\overset{m}{\sum_{i = 1}} γ (a_{i})}$

（4）

1.2 基于信息观的属性权重

（1）粗糙集信息观的定义。

定义3：设决策信息系统 $S$ = $\{U, C ⋃ D, V, F\}$ 。C、D在U上导出的划分为X和Y。X $= \{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\}$ ，Y $= \{Y_{1}, Y_{2}, \dots, Y_{n}\}$ ，C、D在X和Y上定义的概率分布为

$[X : p] = [\begin{matrix} \begin{array}{l} X_{1} \\ p (X_{1}) \end{array} & \begin{array}{l} X_{2} \\ p (X_{2}) \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} X_{n} \\ p (X_{n}) \end{array} \end{matrix}]$

（5）

$[Y : p] = [\begin{matrix} \begin{array}{l} Y_{1} \\ p (Y_{1}) \end{array} & \begin{array}{l} Y_{2} \\ p (Y_{2}) \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} Y_{n} \\ p (Y_{n}) \end{array} \end{matrix}]$

（6）

式中： $p (X_{i}) = \frac{X_{i}}{|U|}$ ， $i = 1,2, \dots, n$ ； $p (Y_{j}) = \frac{Y_{j}}{|U|}$ ， $j = 1,2, \dots, m$ ；|E|是集合E的元素基数。

属性集C的信息熵H（C）和属性集D相对于属性集C的条件熵H（D|C）分别为

$H (C) = - p (X_{i}) l o g p (X_{i}$

（7）

$H (D | C) = - p (X_{i}) p (Y_{j} | X_{i}) l o g p (Y_{j} | X$

（8）

式中： $p (Y_{j} | X_{i}) = \frac{| Y_{j} ⋂ X_{i} |}{|U|}$ ， $i = 1,2, \dots, n$ ； $j = 1,2, \dots, m$ ；规定0 $\times l o g 0 = 0$ 。

（2）信息观属性重要性。

条件属性集C= $\{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}\}$ ；决策属性集D= $\{d\}$ ，且 $A \subset C$ ，那么对于 $\forall a \in C - A$ 的属性重要性 $S G F (a, A, D)$ 定义为： $S G F (a, A, D) = H (D | A) - H (D | A ⋃ \{a\})$ 。当 $A = \emptyset$ 时，有

$I (a, D) = S G F (a, A, D) = H (D | A) - H (D | \{a\})$

（9）

对于决策信息系统S， $I (a_{i}, D)$ 表示条件属性 $a_{i}$ 与决策属性D的互信息，那么属性 $a_{i}$ 基于信息观的权重为

$ω_{i}^{2} = \frac{I (a_{i}, D)}{\overset{m}{\sum_{i = 1}} I (a_{i}, D)}$

（10）

1.3 基于代数观和信息观的属性最优解

设决策信息系统中 $ω_{i}^{1}$ 和 $ω_{i}^{2}$ 分别是属性基于代数观和信息观的权重， $ω_{i}$ 为二者结合的最优权重。 $\overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i}^{1} = 1, \overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i}^{2} = 1, \overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i} = 1,0 \leq ω_{i}^{1} \leq 1,0 \leq ω_{i}^{2} \leq 1,0 \leq ω_{i} \leq 1$ ， $i = 1,2, \dots, m$ 。建立属性权重最优函数模型：

$m i n \{\overset{m}{\sum_{i = 1}} [(\frac{μ}{2} {(ω_{i} - ω_{i}^{1})}^{2} + \frac{1 - μ}{2} {(ω_{i} - ω_{i}^{2})}^{2})]\}$

（11）

式中: $ω_{i} \in Ω = \{ω_{i} | \overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i} = 1,0 \leq ω_{i} \leq 1 (i = 1,2, \dots, m)\}$ ， $0 \leq μ \leq 1$ 。

定理上述最优函数模型在可行域 $Ω$ 上存在唯一解：

$ω_{i} = μ ω_{i}^{1} + (1 - μ) ω_{i}^{2} i = 1,2, \dots, m$

（12）

证明：作拉格朗日函数

$\begin{array}{l} L (ω_{i}, λ) = λ (\overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i} - 1) + \overset{m}{\sum_{i = 1}} [(\frac{μ}{2} {(ω_{i} - ω_{i}^{1})}^{2} + \frac{1 - μ}{2} {(ω_{i} - ω_{i}^{2})}^{2})] \end{array}$

（13）

令 $\frac{\partial L}{\partial ω_{i}}$ =0， $\overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i} - 1 = 0$ ，i=1，2，…，m，可得：

$\{\begin{array}{l} (μ ω_{i} - ω_{i}^{1}) + (1 - μ) (ω_{i} - ω_{i}^{2}) = 0 \\ \overset{m}{\sum_{i = 1}} ω_{i} - 1 = 0 \end{array}$

$i = 1,2, \dots, m$

（14）

对上述方程组求解可得： $ω_{i} = μ ω_{i}^{1} + (1 - μ) ω_{i}^{2}$ ，i=1，2，…，m，即证。

2 改进的RS-TOPSIS综合评判模型

逼近理想解（TOPSIS）法的基本原理是检测有限个评价对象与正、负理想解的距离，并对该有限个评价对象进行排序^[16]。运算步骤为：（1）建立初始评价指标矩阵；（2）标准化决策矩阵；（3）加权标准化决策矩阵；（4）计算理想点贴近度。

2.1 初始评价矩阵

设P= $\{P_{1}, P_{2}, \dots, P_{m}\}$ 包含有m种方案集，每种方案有r= $\{r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}\}$ 项评判指标， $r_{i j}$ 表示第i个方案的第j个评判指标（i∈ $[1, m]$ ，j∈ $[1, n]$ ），其初始评判矩阵可表示为：

$P = {(r_{i j})}_{m \times n} = [\begin{matrix} r_{11} & r_{12} & \dots & r_{1 n} \\ r_{21} & r_{22} & \dots & r_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ r_{m 1} & r_{m 2} & \dots & r_{m n} \end{matrix}]$

（15）

2.2 标准化决策矩阵

评价指标按类型不同划分为“效益型”、“成本型”和“区间型”^[17]。各项评判指标间存在量纲差异，对其进行量纲归一化处理，进而得到标准化决策矩阵^[18]。标准化决策矩阵B= $(b_{i j})_{m \times n}$ ，计算公式如下：

对于“效益型”指标，有

$b_{i j} = \frac{r_{i j} - \underset{j}{m i n (r_{i j})}}{\underset{j}{m a x (r_{i j})} - \underset{j}{m i n (r_{i j})}}$

（16）

对于“成本型”指标，有

$b_{i j} = \frac{\underset{j}{m a x (r_{i j})} - r_{i j}}{\underset{j}{m a x (r_{i j})} - \underset{j}{m i n (r_{i j})}}$

（17）

对于“区间型”指标，有

$b_{i j} = (Z_{i}^{L} + Z_{i}^{U}) / 2$

（18）

式中： $Z_{i}^{L}$ 和 $Z_{i}^{U}$ 分别为理想区间的上下限值。

2.3 加权标准化决策矩阵

将B的列向量与改进的粗糙集算法所确定的最优权重 $W_{j}$ 相乘，得到加权标准化决策矩阵C^[6]：

$C = {(c_{i j})}_{m \times n} = [\begin{matrix} c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ c_{m 1} & c_{m 2} & \dots & c_{m n} \end{matrix}] = (w_{j} b_{i j})_{m \times n}$

（19）

2.4 计算理想点贴近度

加权标准化决策矩阵C的正、负理想解 $C^{+} 、 C^{-}$ 分别为

$\begin{matrix} C^{+} = (c_{1}^{+}, c_{2}^{+}, \dots, c_{n}^{+}) = \{m a x (c_{i j}) | j = 1,2, \dots, n\} \\ C^{-} = (c_{1}^{-}, c_{2}^{-}, \dots, c_{n}^{-}) = \{m i n (c_{i j}) | j = 1,2, \dots, n\} \end{matrix}$

（20）

评判对象与正理想解（ $S_{i +}$ ）和负理想解 $(S_{i -})$ 的距离分别为

$\begin{array}{l} S_{i +} = \sqrt[]{\overset{n}{\sum_{j = 1}} (c_{i j} - c_{J}^{+})^{2}} \\ S_{i -} = \sqrt[]{\overset{n}{\sum_{j = 1}} (c_{i j} - c_{J}^{-})^{2}} \end{array}\}$

（21）

式中： $C_{J}^{+}$ 和 $C_{J}^{-}$ 分别为 $C^{+}$ 和 $C^{-}$ 相应元素。

通过评判对象与理想解的距离 $S_{i +}$ 、 $S_{i -}$ ，计算各评判对象与正理想解的贴近度 $E_{i}^{+}$ ：

$E_{i}^{+} = \frac{S_{i -}}{S_{i +} + S_{i -}} (0 \leq E_{i}^{+} \leq 1)$

（22）

$E_{i}^{+} = 1 和 E_{i}^{+} = 0$ 分别对应正理想解和负理想解。 $E_{i}^{+}$ 反映贴近正理想解的程度，依照贴近度值进行排列，以此实现对评判对象的选择及评价^[19]。

2.5 改进的粗糙集—理想点法处理流程

综上所述，改进的粗糙集—理想点法处理流程如图1所示。以工程岩爆数据建立 TOPSIS 的目标属性矩阵与改进的粗糙集处理所需的信息表，并对数据分别进行处理：一方面基于改进的粗糙集方法，将数据离散化后进行属性约简，并分别计算基于代数观和信息观下的属性权重，进而得到属性最优权重；另一方面采用TOPSIS方法处理，将决策矩阵进行量纲归一化处理后，与确定的最优权重相乘，进而计算正、负理想解和它们之间的距离，最后计算得出相对贴近度，对其进行排序，即得到其岩爆倾向性预测结果。

图1

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图1 改进的粗糙集—理想点法处理流程图

Fig.1 Processing flow of improved RS-TOPSIS method

3 改进的RS-TOPSIS岩爆倾向性预测模型

3.1 岩爆评价指标的选取

岩爆的发生是极其复杂的，通常由内外部多种因素共同引起，一般归类为岩性条件、围岩应力和围岩储能状况，国内外学者基于此提出了岩爆发生的诸多判据。本文根据国内外岩爆研究成果，选取岩石单轴抗压强度与抗拉强度之比 $σ_{c} / σ_{t}$ 、围岩切向应力与岩石单轴抗压强度之比 $σ_{θ} / σ_{c}$ 和岩石的弹性应变能指数 $W_{e t}$ 这3项指标作为岩爆判别指标，参考周科平等^[20]工程岩爆实例建立学习样本，如表1所示。

表1 国内外若干工程岩爆数据

Table 1 A number of rock-burst data at home and abroad

编号	$σ_{c} / σ_{t}$	$σ_{θ} / σ_{c}$	$W_{e t}$	岩爆倾向性
1	13.2	0.58	6.3	强岩爆
2	17.5	0.45	5.1	中等岩爆
3	20.9	0.39	4.6	中等岩爆
4	41.0	0.20	1.7	无岩爆
5	13.2	0.66	6.8	强岩爆
6	17.5	0.38	4.5	弱岩爆
7	29.7	0.41	3.3	无岩爆
8	31.2	0.11	3.7	无岩爆
9	27.8	0.23	3.9	无岩爆
10	15.0	0.53	6.5	中等岩爆
11	21.7	0.42	4.5	中等岩爆
12	21.7	0.39	5.0	中等岩爆
13	23.0	0.10	4.7	无岩爆
14	26.9	0.44	5.5	中等岩爆
15	18.5	0.81	3.8	中等岩爆
16	29.4	0.41	7.3	弱岩爆
17	22.9	0.59	5.0	弱岩爆
18	17.5	0.54	6.6	弱岩爆
19	19.7	0.38	5.0	中等岩爆
20	28.4	0.38	5.0	弱岩爆

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参照王元汉等^[4]建立的岩爆倾向性预测各指标分级标准，将上述3项指标的值划分成无岩爆、弱岩爆、中等岩爆和强岩爆4个等级，岩爆倾向性分级标准见表2。

表2 岩爆倾向性分级标准

Table 2Classification standards of rock-burst proneness

分级标准	$σ_{c} / σ_{t}$	$σ_{θ} / σ_{c}$	$W_{e t}$
无岩爆	>40.0	<0.3	<2.0
弱岩爆	40~26.7	0.3~0.5	2.0~3.5
中等岩爆	26.7~14.5	0.5~0.7	3.5~5.0
强岩爆	<14.5	>0.7	>5.0

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3.2 各指标最优权重

基于表2的岩爆倾向性分级标准对表1中的20组岩爆数据进行离散化处理，建立决策信息系统，如表3所示。表3中：上述确定的3个评价指标构成条件属性C= $\{σ_{c} / σ_{t}, σ_{θ} / σ_{c}, W_{e t}\}$ ，将 $σ_{c} / σ_{t}$ 记为C₁， $σ_{θ} / σ_{c}$ 记为C₂， $W_{e t}$ 记为C₃。实际岩爆等级构成决策属性D，论域U= $\{1,2, 3, \dots, 20\}$ 。

表3 岩爆倾向性预测的知识表达系统

Table 3 Knowledge expression system of rock-burst proneness prediction

样本编号	单项指标确定的岩爆等级			D
样本编号	C₁	C₂	C₃	D
1	4	3	4	4
2	3	2	4	3
3	3	2	3	3
4	1	1	1	1
5	4	3	4	4
6	3	2	3	2
7	2	2	2	1
8	2	1	3	1
9	2	1	3	1
10	3	3	4	3
11	3	2	3	3
12	3	2	3	3
13	3	1	3	1
14	2	2	4	3
15	3	4	3	3
16	2	2	4	2
17	3	3	3	2
18	3	3	4	2
19	3	2	3	3
20	2	2	3	2

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（1）基于代数观的属性权重

条件属性集C及决策属性D对论域U的划分为

$\begin{array}{l} U / I N D (C) = \{(1,5), 2, (3,6, 11,12,19), 4,7, (8,9), \\ (10,18), 13, (14,16), 15,17,20\} \end{array}$

$\begin{array}{l} U / I N D (D) = \{(1,5), (2,3, 10,11,12,14,15,19), \\ (4,7, 8,9, 13), (6,16,17,18,20)\} \end{array}$

从条件属性集C中约减C₁、C₂、C₃得到新的划分：

$U / I N D (C - C_{1}) = \{(1,5, 10,18), (2,4, 14,16), (3,6, 11,12,19,20), 4,7, (8,9, 13), 15,17\}$

$U / I N D (C - C_{2}) = \{(1,5), (2,10,18), (3,6, 11,12,13,15,17,19), 4,7, (8,9, 20), (14,16)\}$

$U / I N D (C - C_{3}) = \{(1,5), (2,3, 6,11,12,19), 4, (7,14,16,20), (8,9), (10,17,18), 13,15\}$

由此可计算出C的D正域：

$P O S_{C} (D) = \{1,2, 4,5, 7,8, 9,13,15,17,20\}$

同理：

$P O S_{C - C_{1}} (D) = \{4,7, 8,9, 13,15,17\} \neq P O S_{C} (D)$

$P O S_{C - C_{2}} (D) = \{1,4, 5,7\} \neq P O S_{C} (D)$

$P O S_{C - C_{3}} (D) = \{1,4, 5,8, 9,13,15\} \neq P O S_{C} (D)$

由上述可知，C₁、C₂、C₃在C中相对于D是不可约减属性。由式（1）和式（3）可求得：

$I_{C} (D) = 0.55$ ，

$I_{C - C_{1}} (D) = 0.35$ ，

$I_{C - C_{2}} (D) = 0.2$ ，

$I_{C - C_{3}} (D) = 0.35$ ，

$γ_{C - C_{1}} = I_{C} (D) - I_{C - C_{1}} (D) = 0.2$ ，

$γ_{C - C_{2}} = I_{C} (D) - I_{C - C_{2}} (D) = 0.35$ ，

$γ_{C - C_{3}} = I_{C} (D) - I_{C - C_{3}} (D) = 0.2$

由式（4）求得C₁、C₂、C₃的属性权重 $ω_{C_{1}}^{1}$ 、 $ω_{C_{2}}^{1}$ 、 $ω_{C_{3}}^{1}$ ：

$ω_{C_{1}}^{1} = γ_{C - C_{1}} / (γ_{C - C_{1}} + γ_{C - C_{2}} + γ_{C - C_{3}}) = 0.2667$

$ω_{C_{2}}^{1} = γ_{C - C_{2}} / (γ_{C - C_{1}} + γ_{C - C_{2}} + γ_{C - C_{3}}) = 0.4667$

$ω_{C_{3}}^{1} = γ_{C - C_{3}} / (γ_{C - C_{1}} + γ_{C - C_{2}} + γ_{C - C_{3}}) = 0.2667$ （2）基于信息观的属性权重

条件属性C₁、C₂、C₃及决策属性D对论域U的划分为

$U / I N D (D) = \{(1,5), (2,3, 10,11,12,14,15,19), (4,7, 8,9, 13), (6,16,17,18,20)\}$

$U / I N D (C_{1}) = \{(1,5), (2,3, 6,10,11,12,13,15,17,18,19), 4, (7,8, 9,14,16,20)\}$

$U / I N D (C_{2}) = \{(1,5, 10,17,18), (2,3, 6,7, 11,12,14,16,19,20), (4,8, 9,13), 15\}$

$U / I N D (C_{3}) = \{(1,2, 5,10,14,16,18), (3,6, 8,9, 11,12,13,15,17,19,20), 4,7\}$

由式（7）、式（8）可求得：

$\begin{array}{l} H (D) = - (\frac{2}{20} l g \frac{2}{20} + \frac{8}{20} l g \frac{8}{20} + \frac{5}{20} l g \frac{5}{20} + \\ \frac{5}{20} l g \frac{5}{20}) = 0.56021 \end{array}$

$\begin{array}{l} H (D | \{C_{1}\}) = - \frac{11}{20} (\frac{7}{11} l g \frac{7}{11} + \frac{1}{11} l g \frac{1}{11} + \\ \frac{3}{11} l g \frac{3}{11}) - \frac{6}{20} (\frac{1}{6} l g \frac{1}{6} + \frac{3}{6} l g \frac{3}{6} + \frac{2}{6} l g \frac{2}{6}) = 0.33719 \end{array}$

$\begin{array}{l} H (D | \{C_{2}\}) = - \frac{5}{20} (\frac{2}{5} l g \frac{2}{5} + \frac{1}{5} l g \frac{1}{5} + \frac{2}{5} l g \frac{2}{5}) - \\ \frac{10}{20} (\frac{6}{10} l g \frac{6}{10} + \frac{1}{10} l g \frac{1}{10} + \frac{3}{10} l g \frac{3}{10}) = \\ 0.30952 \end{array}$

$\begin{array}{l} H (D | \{C_{3}\}) = - \frac{7}{20} (\frac{2}{7} l g \frac{2}{7} + \frac{3}{7} l g \frac{3}{7} + \frac{2}{7} l g \frac{2}{7}) - \\ \frac{11}{20} (\frac{5}{11} l g \frac{5}{11} + \frac{3}{11} l g \frac{3}{11} + \frac{3}{11} l g \frac{3}{11}) = \\ 0.4189 \end{array}$

由式（9）可求得：

$I (C_{1}, D) = H (D) - H (D | \{C_{1}\}) = 0.22303$

$I (C_{2}, D) = H (D) - H (D | \{C_{2}\}) = 0.25068$

$I (C_{3}, D) = H (D) - H (D | \{C_{3}\}) = 0.14131$

由式（10）进而求得基于信息观的属性权重 $ω_{C_{1}}^{2}, ω_{C_{2}}^{2}, ω_{C_{3}}^{2}$ 分别为

$ω_{C_{1}}^{2} = \frac{0.22302}{0.22302 + 0.25068 + 0.14131} = 0.362625$

$ω_{C_{2}}^{2} = \frac{0.25068}{0.22302 + 0.25068 + 0.14131} = 0.407608$

$ω_{C_{3}}^{2} = \frac{0.14131}{0.22302 + 0.25068 + 0.14131} = 0.229767$

由式（12）， $ω_{i} = μ ω_{i}^{1} + (1 - μ) ω_{i}^{2}, μ$ 取0.7，可得C₁、C₂、C₃属性的最优权重分别为

$ω_{C_{1}} = 0.2955, ω_{C_{2}} = 0.4489, ω_{C_{3}} = 0.2556$

综上，可得到基于代数观和信息观下的属性权重与最优权重，结果见表4。

表4 属性最优权重

Table 4 Optimal weights of attributes

属性	基于代数观属性权重	基于信息观属性权重	最优权重
C₁	0.2667	0.362625	0.2955
C₂	0.4667	0.407608	0.4489
C₃	0.2667	0.229767	0.2556

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3.3 理想点法求解

由表2可知，无岩爆和强岩爆对应的理想点区间范围过大，因此对表2进行修正。以弱岩爆和中等岩爆各自区间长度的一半作为无岩爆和强岩爆对应的区间长度，对其理想点区间分别设置上限值和下限值。修正的岩爆倾向性分级标准见表5。

表5 修正的岩爆倾向性分级标准

Table 5 Modified rock-burst proneness classification standard

分级标准	$σ_{c} / σ_{t}$	$σ_{θ} / σ_{c}$	$W_{e t}$
无岩爆	40.00~46.65	0.20~0.30	1.25~2.00
弱岩爆	26.70~40.00	0.30~0.50	2.00~3.50
中等岩爆	14.50~26.70	0.50~0.70	3.50~5.00
强岩爆	8.40~14.50	0.70~0.80	5.00~5.75

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根据修正的岩爆倾向性分级标准，对于无岩爆和强岩爆，采用“近似理想点”近似代替真实理想点以契合理想点法的求解，取其上下限值作为理想点，对于弱岩爆和中等岩爆，取其区间上下限平均值作为理想点，得到3项评判指标各岩爆等级理想点：

$T = [\begin{matrix} 46.65 & 0.2 & 1.25 \\ 33.35 & 0.4 & 2.75 \\ 20.6 & 0.6 & 4.25 \\ 8.4 & 0.8 & 5.75 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} Ⅰ \\ Ⅱ \\ Ⅲ \\ Ⅳ \end{matrix}$

根据图1的处理流程将表1中20组岩爆数据结合岩爆等级理想点构建初始评价矩阵R：

$R = [\begin{matrix} 46.65 & 0.2 & 1.25 \\ 33.35 & 0.4 & 2.75 \\ 20.6 & 0.6 & 4.25 \\ 8.4 & 0.8 & 5.75 \\ 13.2 & 0.58 & 6.3 \\ 17.5 & 0.45 & 5.1 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 19.7 & 0.38 & 5.00 \\ 28.4 & 0.38 & 5.00 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} Ⅰ \\ Ⅱ \\ Ⅲ \\ Ⅳ \\ 1 \\ 2 \\ ⋮ \\ 19 \\ 20 \end{matrix}$

通过式（16）、式（17）、式（18）构建标准化决策矩阵，并结合改进的粗糙集求得的最优权重，得到加权规范化矩阵Q：

$Q = [\begin{matrix} 0 & 0.0632 & 0 \\ 0.1027 & 0.1897 & 0.0634 \\ 0.2012 & 0.3161 & 0.1267 \\ 0.2955 & 0.4426 & 0.1901 \\ 0.2584 & 0.3035 & 0.2134 \\ 0.2252 & 0.2213 & 0.1627 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0.2082 & 0.1770 & 0.1584 \\ 0.1410 & 0.1770 & 0.1584 \end{matrix}]$

$\begin{matrix} Ⅰ \\ Ⅱ \\ Ⅲ \\ Ⅳ \\ 1 \\ 2 \\ ⋮ \\ 19 \\ 20 \end{matrix}$

由式（20）可以解得D的正、负理想解分别为 $C^{+}$ = $[0.2955,0.4489,0.2556]$ 和 $C^{-}$ = $[0,0, 0]$ 。

通过式（21）、式（22）可以求得样本与正、负理想解的距离 $S_{i +}$ 、 $S_{i -}$ ，与正理想解的贴近度 $E_{i}^{+}$ ，如表6所示。

表6 改进的RS-TOPSIS岩爆倾向性模型预测结果

Table 6 Prediction results of improved RS-TOPSIS rock-burst proneness model

样本编号	$S_{i +}$	$S_{i -}$	$E_{i}^{+}$	预测等级		实际等级
样本编号	$S_{i +}$	$S_{i -}$	$E_{i}^{+}$	改进的RS-TOPSIS	RS-TOPSIS	实际等级
1	0.155905	0.452106	0.743582	4	4	4
2	0.255711	0.355161	0.581400	3	3	3
3	0.304717	0.331268	0.520874	3	2*	3
4	0.517380	0.079146	0.132579	1	1	1
5	0.103998	0.497110	0.826990	4	2*	4
6	0.304711	0.321016	0.486971	2	3*	2
7	0.345825	0.167859	0.326794	1	1	1
8	0.500033	0.158115	0.240242	1	1	1
9	0.421390	0.201238	0.323208	1	1	1
10	0.187302	0.427662	0.695426	3	3	3
11	0.292151	0.311351	0.515908	3	3	3
12	0.300856	0.309631	0.507187	3	3	3
13	0.475709	0.233724	0.329452	1	1	1
14	0.284490	0.318952	0.528554	3	3	3
15	0.167192	0.510306	0.753221	4*	3	3
16	0.300465	0.290731	0.491768	2	4*	2
17	0.203318	0.182864	0.473518	2	2	2
18	0.186971	0.152908	0.449890	2	2	2
19	0.301622	0.315892	0.511555	3	3	3
20	0.327457	0.276257	0.457596	2	2	2
注：X^*表示第X组数据误判

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对修正的岩爆倾向性等级计算其贴近度，结果如表7所示。

表7 岩爆倾向性等级贴近度

Table 7 Closeness of rock-burst proneness level

岩爆倾向性等级	$E_{i}^{+}$	岩爆倾向性等级	$E_{i}^{+}$
无岩爆	0～0.370541	中等岩爆	0.506471～0.740015
弱岩爆	0.370541～0.506471	强岩爆	0.740015～1.000000

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对比表6和表7可知，改进的RS-TOPSIS岩爆倾向性预测模型对国内外20组典型矿山岩爆预测结果与实际情况基本相符，精度达到95%，较改进前的精度（80%）有了一定的提高。其中第15组岩爆数据通过该模型预测的岩爆等级比实际情况高一个等级，这对于矿山岩爆的预防有积极作用。该模型能够方便快捷地预测岩爆等级，且预测精度高，表明改进的粗糙集—理想点法岩爆倾向性预测模型用于矿山的岩爆预测研究具有较强的可行性。

4 工程应用

为验证模型在实际工程中应用的可行性，选取玲珑金矿、小秦岭金矿、冬瓜山铜矿和平煤集团的岩爆实测数据作为样本，运用改进的RS-TOPSIS岩爆预测模型对样本进行分析并预测其岩爆倾向性，预测结果见表8。

由表8可知，改进的粗糙集—理想点法岩爆倾向性预测模型对玲珑金矿、小秦岭金矿等的岩爆预测结果与实际情况相吻合，表明模型对岩爆倾向性的预测是可靠的。

表8 国内若干工程岩爆倾向性预测结果

Table 8Prediction results of rock-burst proneness of some projects in China

工程名称	岩性或位置	$σ_{c} / σ_{t}$	$σ_{θ} / σ_{c}$	$W_{e t}$	实际情况	预测结果
玲珑金矿	花岗岩	31.7	0.31	6.41	强岩爆	强岩爆
小秦岭金矿	888坑38号SM6200段	12.2	0.542	4.89	中等岩爆	中等岩爆
	888坑38号SM4740段	30.7	0.409	7.30	弱岩爆	弱岩爆
	888坑38号SM4320段	29.8	0.461	5.30	弱岩爆	弱岩爆
冬瓜山	矽卡岩	11.1	0.554	3.97	中等岩爆	中等岩爆
平煤集团	某矿三水平大巷岩爆位置	15.3	0.560	3.30	中等岩爆	中等岩爆

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5 结论

（1）通过有机结合粗糙集代数观和信息观确定的权重，在理想点法中采用“近似理想点”和“区间型”指标对理想点进行优化，克服了采用单一代数观或信息观确定权重的不足以及无岩爆和强岩爆对应的理想点区间范围过大的缺陷，建立了改进的RS-TOPSIS综合评判模型。

（2）以国内外20组典型岩爆为样本，结合改进的RS-TOPSIS综合评判模型，建立改进的RS-TOPSIS岩爆倾向性预测模型，其预测精度达95%，较改进前精度(80%)有了一定提高，证明该模型具有较高的准确度。

（3）基于玲珑金矿等工程实际，运用改进的RS-TOPSIS岩爆倾向性预测模型对其进行预测，预测结果与实际情况相吻合，表明该模型具有一定的实用价值和良好的应用前景。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

许迎年，徐文胜，王元汉，等.

岩爆模拟试验及岩爆机制研究

［J］.岩石力学与工程学报，2002，21（10）：1462-1466.