基于裂纹扩展模型的脆性岩石破裂特征及力学性能研究

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.041

基于裂纹扩展模型的脆性岩石破裂特征及力学性能研究

李响, 怀震, 李夕兵^,^*, 张倬瑶

1. 中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Study on Fracture Characteristics and Mechanical Properties of Brittle Rock Based on Crack Propagation Model

LI Xiang, HUAI Zhen, LI Xibing^,^*, ZHANG Zhuoyao

1. School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

收稿日期: 2018-01-08 修回日期: 2018-03-27 网络出版日期: 2019-03-11

基金资助:

国家重点研发计划“深部高应力诱导与能量调控理论”（编号：2016YFC0600706）和国家自然科学基金青年基金项目“岩石亚临界裂纹扩展的时间相关性研究”（编号：11402311）联合资助

Received: 2018-01-08 Revised: 2018-03-27 Online: 2019-03-11

作者简介 About authors

李响（1983-），男，河南郑州人，副教授，从事岩石力学与岩土工程方面的教学与研究工作lixiang2006lixiang@hotmail.com 。

李夕兵（1962-），男，湖南宁乡人，教授，博士生导师，从事采矿与岩土工程方面的教学与研究工作xbli@mail.csu.edu.cn , E-mail：xbli@mail.csu.edu.cn

摘要

为了探究初始微裂纹参数分布对岩石破裂特征及力学性能的影响，进一步系统地了解脆性岩石破裂演化过程，依据线弹性断裂力学理论，建立了非均质性二维细观弹性损伤模型，并运用FLAC^2D数值分析软件，数值模拟研究了单轴压缩条件下不同形态岩石试样的破裂过程。研究结果表明，当初始微裂纹长度和角度服从不同的随机分布时，岩石材料表现出不同的破裂特征，其中初始微裂纹长度和角度均服从正态分布时，岩石破裂区域较完整；初始微裂纹长度或角度服从均匀分布和指数分布时，岩石破裂区域较分散；初始微裂纹角度对于解释脆性岩石单轴抗压试验时岩石试样出现剪切破坏和劈裂破坏的原因具有一定的指导意义，且当初始微裂纹角度均值ɑ=45°时，模型具有最小的峰值强度和轴向最大应变。模型还模拟了脆性岩石单轴抗压试验、巴西劈裂试验和断裂韧度试验的演化过程，模拟结果与试验结果具有较高的一致性。

关键词： 脆性岩石 ; 初始微裂纹 ; 裂纹扩展 ; 破裂模式 ; 断裂韧度 ; 数值模拟

Abstract

In order to study the influence of initial microcrack parameter distribution on fracture characteristics and mechanical properties of brittle rocks and further understand systematically the fracture evolution of brittle rocks， a two-dimensional mesoscopic elastic damage model of heterogeneity was established based on the theory of elastic fracture mechanics.The proposed model scheme was implemented through the two dimentional finite difference program FLAC^2D.The zones in the model behave elastically before failure occurs, and lose tensile or shear load bearing capacity at corresponding mode of failure.Microcracks with different length and orientation distributions were defined in the zones of the model.The failure of the zone was controlled by the fracture propagation status of the microcrack inside.A failure criterion was adopted based on the stress intensity factor of the microcrack in each zone.The fracture process of rock specimens with different morphologies under distinct loading conditions was simulated using the proposed numerical model.The influence of the microcrack distributions on both the macroscopic fracture pattern and the mechanical response of the numerical model was analyzed.The results show that when the microcrack lengths and orientations are defined by different distributions，the different macroscopic fracture modes can be resulted.When the microcrack lengths and orientations are defined by normal distribution， failure band with clear shape can be formed.Failure zones are relatively dispersed if the microcrack lengths or orientations obey uniform or exponential distributions. For the reasons of shear failure and splitting failure of rock samples during the uniaxial compression test of brittle rock， the initial microcrack orientation was of guiding significance.When the mean initial microcrack orientation ɑ=45°， the minimum peak strength and axial maximum strain of model were obtained.The fracturing process of brittle rock uniaxial compression test， Brazilian splitting test and fracture toughness test were simulated.Good consistency was obtained with respect to both the mechanical response and fracture patterns.The model is valuable in rendering reliable results for rock mechanical tests which are difficult to realize in the laboratory. The inclusion of the influence of microcracks in simulating mechanical behavior of rock material also provide important insights into the failure process of rock under external load.

Keywords： brittle rock ; initial microcrack ; crack propagation ; failure mode ; fracture toughness ; numerical simulation

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本文引用格式

李响, 怀震, 李夕兵, 张倬瑶. 基于裂纹扩展模型的脆性岩石破裂特征及力学性能研究[J]. 黄金科学技术, 2019, 27(1): 41-51 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.041

LI Xiang, HUAI Zhen, LI Xibing, ZHANG Zhuoyao. Study on Fracture Characteristics and Mechanical Properties of Brittle Rock Based on Crack Propagation Model[J]. Gold Science and Technology, 2019, 27(1): 41-51 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2019.01.041

岩石是地下工程中承受荷载的主要材料，其变形与破坏机制研究对矿山、隧道和地铁等地下工程的开挖、结构稳定性分析都具有重要作用^[1]。从现场的工程失稳观测和室内岩石试验了解到，在复杂应力作用下岩石材料的断裂破坏是影响工程长期稳定性的主要因素。岩石是由多种矿物晶粒、胶结非晶体材料及各种孔隙缺陷等组成的非均匀混合体^[2]。在外荷载作用下，岩石、混凝土和陶瓷等准脆性材料的破裂与失稳过程，实质上是其内部微裂纹起裂、扩展、汇聚并形成宏观贯通破裂面的过程^[3]，形成的宏观破裂面降低了岩体的稳定性并最终导致岩石的破坏，因此，裂纹扩展研究对揭示岩体失稳及其破坏机理具有重要意义。

针对岩石内部结构和破裂过程的复杂性，学者们开展了大量的试验和数值模拟研究。杨圣奇等^[4]通过扫描电镜观测了预制孔洞岩石周边微裂纹萌生、扩展、演化及贯通的整个过程；王士民等^[5]通过对预制平行的双裂纹岩石试样模拟得到裂纹间距对破裂形式的影响；王卫华等^[6]研究了法向压缩作用下岩石节理表面形态的变化规律；Tang等^[7]、黄明利等^[8]和梁正召等^[9]对预制单一裂纹和多裂纹的岩石裂纹扩展和均质度的影响做了详细的试验和模拟研究；李地元等^[10]通过试验和数值模拟研究了预制孔洞板状花岗岩在单轴压缩状态下的破裂状态，揭示了板裂现象的破坏机理。然而对岩石破裂过程的研究中，大多数学者主要关注宏观预制裂纹和均质度，却忽略或简化了岩石内部初始微裂纹分布对其破裂过程的影响。事实上，岩石内部存在的初始微裂纹及其参数分布是裂纹扩展研究中的重要因素，尤其在数值模型中，初始微裂纹的影响更加不容忽视^[11]。

在岩石初始微裂纹的研究中，Golshani等^[12]通过建立含不同长度和密度的初始微裂纹模型，研究了岩石的脆性破裂过程； Kranz^[13]在对3种不同类型的花岗岩晶体内的微裂纹分布进行的研究中提出，初始微裂纹角度可能服从正态分布，长度可能服从指数或对数正态分布；潘别桐等^[14]通过系统梳理归纳学者们对微裂纹几何特征概率分布提出的假设和得出的结论，指出节理迹长可能服从均匀、对数正态分布，方位角服从正态分布；Lu等^[15]建立了一种双尺度概念模型分析岩石破裂的演化过程，模型中随机分布的微裂纹被导入单元；Konietzky等^[11]考虑到初始微裂纹参数分布对岩石破裂的影响，提出了一种与时间相关的岩石破裂数值模型；Li等^[16,17]将多种分布函数引入数值模型中，定义微裂纹长度和角度的分布，研究了初始微裂纹对岩石寿命的影响。本文应用美国ITSCA公司研发的连续介质力学分析软件——FLAC^2D[18]，建立二维细观力学数值模型来描述脆性岩石裂纹的形成、扩展、汇聚直到宏观破裂产生的过程。根据线弹性断裂力学理论，考虑岩石的非均匀性，导入模型不同分布形态的初始微裂纹，模拟脆性岩石材料的破坏过程及力学性能，并与试验结果进行对比。

1 数值模型的建立

1.1 非均质度模型

在数值模型中，将岩石试样划分为许多正方形有限差分网格（单元）。为了表示岩石材料的非均匀性，利用Weibull分布定义模型中每个单元的弹性模量和泊松比来表征模型均质度。Weibull分布的概率密度函数可表示为^[19]

f (x) = \frac{β}{ϕ} {(\frac{x}{ϕ})}^{β - 1} e^{- {(\frac{x}{ϕ})}^{β}}

（1）

式中：x为随机变量（文中指力学参数弹性模量或泊松比的值）； $ϕ$ 为尺度参数（文中指弹性模量或泊松比的平均值）；β为形状参数（β>0）。形状参数β用来表示材料的均质度，反映材料基元的力学性质的差别程度。当β越大，随机变量x的值相差越小，基元间的力学性质（弹性模量和泊松比）差别就越小，说明材料的均质度越高。当β越小，随机变量x的值越发散，基元间的力学性质（弹性模量和泊松比）差别越大，说明岩石试样内材料均质度越差。函数的变化趋势如图1所示。

图1

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图1 不同形状参数β时Weibull分布的概率密度函数变化图

Fig.1 Probability density functions change diagram of Weibull distribution with different shape parameters β

根据岩石的均质度特征，选择某一确定的形状参数β，通过FISH语言编程数值函数，建立非均质模型，同样通过FISH函数生成角度和长度服从不同分布函数的初始微裂纹，将初始微裂纹导入到非均质模型中。尽管整个模型初始裂纹角度或长度服从某种固定的分布，但是导入模型不同单元中的初始微裂纹长度和角度依然是不同的，因此，角度和长度服从不同分布函数的初始微裂纹也同样体现了模型的非均质性。图2表示均质度服从Weibull分布、初始微裂纹角度服从均匀分布及长度服从正态分布的圆柱形二维非均质模型示意图。

图2

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图2 圆柱形标准试样的二维非均质模型

Fig.2 Heterogeneous model of cylindrical sample

1.2 模型的本构关系

建立的数值模型为摩尔—库仑本构模型，以线弹性断裂力学断裂判据K=K_C作为裂纹扩展的临界条件。尽管模型的力学性质是非均匀的，但对于某个特定的单元是均质的、各向同性的，这一特征使每个单元内的初始微裂纹满足线弹性断裂力学理论^[20]，经典线弹性断裂力学理论表明当裂纹尖端应力强度因子K达到断裂韧度K_C时裂纹瞬间扩展至单元破坏，否则认为裂纹是稳定的或单元没有破坏。

该模型研究的是Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展问题，其应力场为Ⅰ、Ⅱ型应力场的叠加。复合型裂纹一般并不是按原裂纹线方向扩展，而是沿着与裂纹线呈某一角度的方向扩展^[21]。单元内初始微裂纹受力扩展示意图如图3所示。

图3

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图3 模型中某单元内初始微裂纹受力扩展图

Fig.3 Initial microcrack propagation in the zone of the model

Ⅰ型和Ⅱ型应力强度因子的表达式为^[21]

K_{I} = σ_{n} \sqrt[]{π a}

（2）

K_{I I} = σ_{e f f} \sqrt[]{π a}

（3）

式中：σ_n为作用在主裂纹上的正应力；σ_eff为作用在主裂纹上的有效剪切应力；初始裂纹长度为2a。正应力σ_n和有效剪切应力σ_eff的表达式为

σ_{n} = \frac{σ_{1} + σ_{2}}{2} + \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} c o s 2 α

（4）

σ_{e f f} = \{\begin{array}{l} τ & (σ_{n} \geq 0) \\ \frac{τ}{|τ|} (|τ| - μ |σ_{n}|) & (σ_{n} < 0) \\ 0 & |τ| - μ |σ_{n}| < 0 \end{array}

（5）

τ = \frac{σ_{1} - σ_{2}}{2} s i n 2 α

（6）

式中： $α$ 表示初始微裂纹与x轴正方向的夹角； $τ$ 表示作用在主裂纹上的剪切应力； $μ$ 表示摩擦系数。

模型应用最大周向拉应力理论作为复合型裂纹的断裂判据，该理论有2个基本假设：（1）裂纹沿最大周向拉应力 $σ_{θ}$ 作用面方向扩展；（2）当最大周向拉应力 $σ_{θ}$ 达到起裂临界值时，裂纹开始扩展。根据第1个假设，求得开裂角；根据第2个假设，求得起裂时临界应力值^[22]。

对于Ⅰ型裂纹，周向应力 $σ_{θ}^{Ι}$ 可表示为^[21]

σ_{θ}^{Ⅰ} = \frac{K_{Ⅰ}}{\sqrt[]{2 π r}} c o s^{3} \frac{θ}{2}

（7）

对于Ⅱ型裂纹，周向应力 $σ_{θ}^{Ι Ι}$ 可表示为^[21]

σ_{θ}^{Ⅱ} = \frac{- K_{Ⅱ}}{\sqrt[]{2 π r}} \cdot \frac{3}{2} c o s \frac{θ}{2} s i n θ

（8）

根据叠加原理，Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹尖端周向应力的表达式为

σ_{θ} = σ_{θ}^{Ⅰ} + σ_{θ}^{Ⅱ} = \frac{1}{\sqrt[]{2 π r}} c o s \frac{θ}{2} (K_{Ⅰ} c o s^{2} \frac{θ}{2} - \frac{3}{2} K_{Ⅱ} s i n θ)

（9）

式中：r为裂纹尖端起裂后的一小段长度； $θ$ 为沿初始裂纹面起裂角度。由于周向应力 $σ_{θ}$ 取得最大值的条件为： $\frac{\partial σ_{θ}}{\partial θ} = 0$ ，可求得开裂角 $θ_{1}$ 的表达式为

t a n (\frac{θ_{1}}{2}) = - \frac{2 K_{Ⅱ} / K_{Ⅰ}}{1 + \sqrt[]{1 + 8 (K_{Ⅱ} / K_{Ⅰ})^{2}}}

（10）

由K_I、K_II及 $θ_{1}$ 可求得Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹断裂尖端应力强度因子，其表达式为

\begin{array}{l} K (θ_{1}) = K_{Ⅰ} [\frac{3}{4} c o s (\frac{θ_{1}}{2}) + \frac{1}{4} c o s (\frac{3 θ_{1}}{2})] - \\ \frac{3}{4} K_{Ⅱ} [s i n (\frac{θ_{1}}{2}) + s i n (\frac{3 θ_{1}}{2})] \end{array}

（11）

如果单元内初始微裂纹受到拉应力作用，并且 $K (θ_{1}) \geq K_{I C}$ ，裂纹以开裂角θ₁的方向瞬间扩展，此时单元定义为拉应力破坏；如果初始微裂纹只受到剪应力且 $K (θ_{1}) \geq K_{I I C}$ ，裂纹同样以计算得到的开裂角θ₁的方向瞬间扩展，此时单元定义为剪切破坏，该判断方式是模型中裂纹失稳扩展的判据，即单元破坏的判据。

2 初始微裂纹参数对岩石破裂特征及力学性能的影响

本节建立多种初始微裂纹长度和角度满足不同分布函数的数值模型，模拟单轴压缩状态下岩石宏观破裂状态及力学性能的变化。建立的二维模型为矩形，高度H=100 mm，直径D=50 mm，模型单元划分：100 mm×50 mm，单元数为5 000个，单元尺寸为1 mm²。模型加载速度为0.005 mm/s。对于非均质体模型，当Weibull分布中形状参数β=15时，模型表现出明显的脆性破坏特征^[23]，因此该模型中形状参数β取15。模型中，当贯通的连续破坏单元超过模型边界长度的30%时定义模型破坏，破坏模型中红色为剪切破坏，绿色为拉伸破坏，灰色为该循环步骤前的破坏。数值模型中基本参数赋值如表1所示。

表1 数值模型基本参数

Table 1 Basic parameters of numerical model

参数	数值	参数	数值
弹性模量E/GPa	53.5	形状参数β	15
泊松比μ	0.25	摩擦系数	0.3
体积模量K/GPa	35.67	Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰ/（MPa $\cdot$ m^1/2）	1.88
剪切模量G/GPa	21.4	Ⅱ型断裂韧度K_Ⅱ/（MPa $\cdot$ m^1/2）	4.87

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2.1 初始微裂纹分布对岩石破裂的影响

如图4所示，在单轴压缩状态下，初始微裂纹长度和角度的分布状态对岩石的破裂特征产生显著的影响，当初始微裂纹服从不同的分布函数时，由图4（a）到图4（b）再到图4（c）单元破坏逐渐由集中分布变成弥散分布，宏观破裂带贯穿模型所需的时间也越来越长。从图4（a）可以看出，当初始微裂纹长度和角度均服从正态分布时，模型内部生成的破坏单元比较集中，以剪切破坏单元为主，模型最终形成一条平滑的剪切破坏带。如图4（b）所示，当初始微裂纹长度依然服从正态分布，而角度服从均匀分布时，模型内部破坏单元较分散，且剪切破坏单元和拉伸破坏单元交替产生，主破裂面两侧产生由拉伸破坏单元组成的呈劈裂状分支裂纹。如图4（c）所示，当初始微裂纹长度服从指数分布时，模型主破裂发生前，破坏单元数量多且无序、发散，几乎弥散到整个模型，宏观主破裂呈“Y”型。

图4

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图4 单轴压缩状态下模型内部初始微裂纹分布对其破裂特征的影响

Fig.4 Effect of initial microcrack distribution on fracture characteristics of model under uniaxial compression state

图5所示的模拟结果表明，在轴向拉伸状态下，当模型宏观破裂时，模型内部均形成垂直于荷载方向的拉伸破裂带。当初始微裂纹长度和角度均服从正态分布时，形成平滑的宏观破裂面；当初始微裂纹长度服从正态分布、角度服从均匀分布时，模型破裂面较粗糙，且有部分弥散的单元产生；当初始微裂纹长度服从指数分布、角度服从正态分布时，模型中形成的宏观破裂面较曲折，且弥散的破坏单元较多。

图5

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图5 轴向拉伸状态下模型内部初始微裂纹分布对其破裂特征的影响

Fig.5 Effect of initial microcrack distribution on fracture characteristics of model under uniaxial tension state

因此，初始微裂纹分布对破坏单元数量和集中度、宏观破裂面的粗糙度以及宏观破裂面的形态都具有重要影响。

2.2 初始微裂纹角度对岩石破裂的影响

如图6模拟结果所示，为单轴压缩状态下，当模型中初始微裂纹角度和长度均服从正态分布时，6种不同初始微裂纹均值角度（γ）的岩石模型宏观破裂状态。当γ=20°时，模型形成多条与加载方向呈较小角度的破裂面；当γ=30°~60°时，模型出现光滑的剪切破裂面，并且随着初始微裂纹角度的增加，宏观破裂面的倾角也相应增大；当γ=75°和90°时，模型中出现明显的沿加载方向的拉伸破坏带，模型为劈裂破坏。该现象对于解释单轴抗压试验中出现劈裂和剪切破坏的原因具有一定的指导意义。图7所示，在单轴压缩状态下，6种不同初始微裂纹均值角度的岩石模型的应力—应变曲线中，当γ=20°~45°时，随着角度的增加，模型峰值强度和轴向最大应变值均明显降低，尤其当γ=20°时，模型峰值强度和轴向最大应变是γ=30°的2倍，是γ=45°时的3倍；当γ=60°~90°时，峰值强度和轴向最大应变又逐渐升高。应该注意的是，当γ=20°时，模型峰值强度和轴向最大应变最大，当γ=45°时，模型峰值强度和轴向最大应变最小，且峰值强度差值近300 MPa，产生这种现象的原因是初始微裂纹扩展作为判断单元破坏的唯一判据，纵向单轴压缩状态下，荷载与裂纹的夹角较大，由此更易产生较大垂直裂纹方向的压应力和较小沿裂纹方向的拉应力，由此导致裂纹很难扩展，即单元不易破坏，峰值强度增大。

图6

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图6 单轴压缩状态下不同初始微裂纹均值角度的岩石模型的宏观破裂状态

Fig.6 Macroscopic failure state of model with different initial mean orientations of microcracks under uniaxial compression state

图7

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图7 单轴压缩状态下不同初始微裂纹均值角度的岩石模型的应力—应变曲线

Fig.7 Stress-strain curves of rock models with different initial microcrack mean orientations under uniaxial compression state

3 数值模拟和试验结果对比

该模型建立的意义在于通过导入合适的均质度参数、初始微裂纹分布以及合适的初始微裂纹角度和长度，利用线弹性断裂力学中裂纹扩展而非应力或能量的判据,模拟出实际材料试样的破裂状态和力学响应，以期反馈出材料试样内部结构的可能存在状态，并为该材料大尺度模型建立时，模型内部材料参数的赋值提供依据。因此，通过上述研究结果对室内试验中单轴压缩状态下不同受力状态的岩石破裂过程进行数值模拟。

3.1 材料基本参数测定

数值模型中材料力学参数的设定对于模拟结果的准确性具有重要的影响。为接近试验结果，数值模型中所应用到的弹性模量、泊松比、Ⅰ型断裂韧度和Ⅱ型断裂韧度应与试验岩石材料相匹配，需进行一系列的单轴抗压和断裂韧度试验。

试验材料为花岗岩，选自湖南汨罗，加工尺寸标准值分别为直径D=50 mm，高H=100 mm和直径D=50 mm，高H=25 mm的2种试样，其中断裂韧度试验开槽长度为17 mm，槽宽1 mm。试验采用美国MTS公司647型液压伺服试验机，加载速度均为0.2 mm/min，见图8。

图8

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图8 单轴抗压和断裂韧度试验示意图

Fig.8 Schematic of uniaxial compression and fracture toughness test

对5个花岗岩石试样进行单轴抗压试验，试验测得的基本参数见表2，因此在数值模型中弹性模量E和泊松比μ分别取48.10 GPa和0.26。

表2 单轴抗压试验所得花岗岩基本力学参数

Table 2 Basic mechanical parameters of granite obtained from uniaxial compression test

试样编号	单轴抗压强度/MPa	弹性模量E/GPa	泊松比μ
均值	137.06	48.10	0.26
H1	121.34	40.35	0.20
H2	154.09	57.44	0.24
H3	128.10	49.27	0.26
H4	136.86	43.33	0.33
H5	144.93	50.11	0.25

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在纯Ⅰ型和纯Ⅱ型断裂韧度测量中，当切槽半径与圆盘半径的比值λ≤0.3时，Atkinson^[24]推导出压缩条件下直切槽中心裂纹巴西圆盘（CSTBD）应力强度因子的显式解，见式（12）~（15）；当λ $>$ 0.3时，对于无量纲应力强度因子N_Ⅰ和N_Ⅱ的求解，Dong等^[25]利用断裂力学权函数推导出N_Ⅰ和N_Ⅱ的解析解，见式（16）、（17）。因此，对于该模型当λ=1/3，K_Ⅰ≠0、K_Ⅱ=0时，ε=0°，求得纯Ⅰ型应力强度因子；当λ=1/3，K_Ⅱ≠0、K_Ⅰ=0时，ε=26.7°，求得纯Ⅱ型应力强度因子。花岗岩断裂韧度试验所得材料参数值见表3。在建立的数值模型中，裂纹尖端应力强度因子与断裂韧度的对比作为裂纹扩展的依据，因此根据试验结果，该数值模型中导入的裂纹尖端Ⅰ型断裂韧度K_IC=1.077 MPa $\cdot$ m^1/2，Ⅱ型断裂韧度K_IIC=1.638 MPa $\cdot$ m^1/2。

表3 断裂韧度试验所得花岗岩基本力学参数

Table 3Basic mechanical parameters of granite obtained from fracture toughness test

断裂韧度类型	编号	P/kN	r/mm	R/mm	B/mm	N	K/（MPa $\cdot$ m^1/2）
Ⅰ型	G1-0	11.64	8.5	25.2	25.6	1.165	1.093
	G2-0	10.42	8.5	24.5	26.1		0.987
	G3-0	12.16	8.4	25.2	24.6		1.181
	G4-0	11.10	8.7	25.4	25.2		1.063
	G5-0	11.08	8.3	24.7	25.3		1.061
	均值	11.28	8.48	25.0	25.36		1.077
Ⅱ型	G1-26.7	10.86	8.4	25.3	25.2	1.899	1.673
	G2-26.7	10.68	8.5	24.4	25.7		1.682
	G3-26.7	10.04	8.6	24.6	25.2		1.609
	G4-26.7	10.22	8.5	25.4	26.2		1.517
	G5-26.7	11.28	8.3	25.2	25.6		1.707
	均值	10.62	8.46	24.98	25.58		1.638

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K_{Ⅰ} = \frac{P \sqrt[]{r}}{\sqrt[]{π} R B} N_{Ⅰ}

（12）

K_{Ⅱ} = \frac{P \sqrt[]{r}}{\sqrt[]{π} R B} N_{Ⅱ}

（13）

N_{Ⅰ} = 1 - 4 s i n^{2} ε + 4 s i n^{2} ε (1 - 4 c o s^{2} ε) {(λ)}^{2}

（14）

N_{Ⅱ} = [2 + (8 c o s^{2} ε - 5) {(λ)}^{2}] s i n 2 ε

（15）

式中：P为峰值荷载；r为切槽半径；R为圆盘半径；B为圆盘厚度；N_Ⅰ和N_Ⅱ为无量纲应力强度因子；ε为切槽与荷载的夹角；λ为切槽半径与圆盘半径的比值。

N_{Ⅰ} = f_{11} + 2 \overset{n}{\sum_{i = 1}} A_{1 i} f_{1 i} λ^{2 (i - 1)}

（16）

N_{Ⅱ} = 2 \overset{n}{\sum_{i = 1}} A_{2 i} f_{2 i} λ^{2 (i - 1)}

（17）

式中：f_ji表示与ε相关的参数，A_ji表示与λ相关的参数，具体表达式参见文献[26]。

3.2 模拟结果和试验结果分析

运用该模型模拟单轴抗压试验、巴西劈裂试验和断裂韧度试验，并将模拟结果与试验结果进行比较。建立数值模型，根据上述试验结果，模型基本参数取值见表4。其中单轴抗压试验数值模型单元尺寸为1 mm×1 mm，初始微裂纹均值取0.4 mm，标准差为0.1 mm；巴西劈裂和断裂韧度试验数值模型单元尺寸为0.5 mm×0.5 mm，初始微裂纹均值取0.35 mm，标准差为0.05 mm。模型初始微裂纹长度和角度分别服从正态分布和均匀分布（0°~360°）。模型加载速度为0.005 mm/s。弹性模量48.1 GPa和泊松比0.26作为Weibull分布的尺度参数，得出各单元弹性模量和泊松比。

表4 数值模型基本参数

Table 4 Basic parameters of numerical model

参数	数值	参数	数值
弹性模量E	48.1	形状参数β	15
泊松比μ	0.26	摩擦系数μ	0.3
体积模量K/GPa	33.4	Ⅰ型断裂韧度K_Ⅰ	1.077
剪切模量G/GPa	19.09	Ⅱ型断裂韧度K_Ⅱ	1.638

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图9所示，加载初始模型中破坏单元呈分散状，随着加载的进行，破坏单元逐渐集中，呈现一条清晰的破裂面，破裂面由模型内部向边界扩展，直至贯通整个模型，生成的主破裂面较粗糙，且主破裂带两端形成很多沿加载方向的劈裂状分支，该破裂特征与岩石试样的试验结果非常相似。通过对比模拟和试验得到的岩石试样的应力—应变曲线可以得出，模型在破裂过程中轴向的力学响应与岩石在试验过程中的轴向力学响应非常吻合，由于模型中横向应变值的取值是针对整个模型，而试验中横向应变是通过黏贴在局部的应变片来测量，因此，它们在横向应变上存在一些误差，但峰值强度依然非常接近，如图10所示。

图9

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图9 单轴压缩状态下模型和试样的宏观破裂状态

Fig.9 Macroscopic rupture of model and sample under uniaxial compression state

图10

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图10 单轴压缩状态下模型和试样的应力—应变曲线

Fig.10 Stress-strain curves of model and sample under uniaxial compression state

结合图11（a）所示单轴压缩状态下圆盘宏观破裂过程和图11（b）所示圆盘沿加载方向的应力变化状态可得，在初始加载阶段，由于圆盘与加载面接触部位应力集中，破坏单元出现在加载接触点局部范围，且以剪切破坏单元为主，随着加载位移的增加，模型中裂纹并非沿着两端向中心位置扩展，而是在靠近中心位置形成近似沿圆盘直径的应力集中带，并向端部扩展，由此导致宏观裂纹逐渐沿加载力方向由圆盘中部向端部扩展[见图11（a）和图11（b）红色圆圈标注处]，最终形成由拉伸破坏单元形成的含细小分支的贯穿破裂面，这种破裂过程的形成是模型中导入的初始微裂纹和均质度等因素共同作用的结果，该模拟结果与岩石在试验中得到的宏观破裂结果一致。从图12可知，数值模拟与试验得到的荷载—位移曲线基本一致。因此，该模型采用的模拟程序和导入的材料细观参数能够再现该类花岗岩试样的巴西劈裂过程。

图11

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图11 拉伸状态下模型和试样的宏观破裂状态

Fig.11 Macroscopic rupture of model and sample under tension state

图12

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图12 拉伸状态下模型和试样的荷载—位移曲线

Fig.12 Load-displacement curves of model and sample under tension state

如图13所示，数值模拟和试验再现了纯Ⅰ型（ε=0°）、纯Ⅱ型（ε=26.7°）加载方式下直切槽中心裂纹圆盘的宏观破裂特征，同时ε=45°、ε=60°、ε=75°和ε=90°的直切槽中心裂纹圆盘的宏观破裂结果也通过模拟和试验得出。图中加载角度对直切槽中心裂纹圆盘试件的破坏模式有着显著影响。当ε $<$ 60°时，试件宏观破裂从直切槽尖端到加载点破坏；随着切槽角度的增加，当ε≥60°时，试件宏观裂纹由直切槽尖端向切槽中心靠拢。从数值模拟和试验得到的峰值荷载的对比图（图14）可以看出，数值模拟结果略大于试验结果，但二者差距较小且变化趋势一致。当ε $<$ 60°时，峰值荷载随角度增加逐渐减小；当ε=60°时，峰值荷载最低；当ε $>$ 60°时，峰值强度又有所升高。

图13

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图13 断裂韧度试验中模型和试样的宏观破裂状态

Fig.13 Macroscopic rupture of model and sample in the fracture toughness test

图14

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图14 断裂韧度试验中模型和试样的峰值荷载图

Fig.14 Peak load diagram of model and sample in the fracture toughness test

4 讨论

该数值模型是以摩尔—库仑本构关系为基础的线弹性体模型，导入合适的分布函数、合适长度和角度的初始微裂纹以及合适的均质度，以线弹性断裂力学中的最大周向拉应力理论作为复合型裂纹的断裂判据，以裂纹扩展来表征单元的破坏，研究得出初始微裂纹参数对岩石材料的破裂模式及力学性能具有非常重要的影响。本研究较准确地模拟出不同试验状态下岩石材料的破裂过程及力学响应。

该模型在岩土工程和采矿工程中具有重要的作用。目前深部矿山开采逐渐进入常态化，深部岩体的研究成为岩石力学研究领域的热点和难点^[27,28]。对于该模型，可在其准确模拟出矿山矿石的破裂状态及力学性能后，将模型延伸到大尺度方向，对矿山开挖过程中的应力、位移和塑性区等变化进行监测。同时，通过初始微裂纹、均质度等参数可以定义岩体弱面，模拟断层滑移。模型中裂纹扩展还可以进一步考虑时间尺度，预测和分析深部矿山开采稳定性及深部岩体塑性区的形成过程和时间效应，这也是下一步工作的重点研究方向。

5 结论

本文建立一种非均质性二维弹性损伤模型，模拟脆性岩石破裂过程及力学响应，并结合岩石力学试验验证模拟结果。通过研究得出以下结论：

（1）初始微裂纹长度和角度分布对岩石破裂特征具有重要影响，通过对比得出，当初始微裂纹长度和角度均满足正态分布时，破坏单元更集中，宏观破裂面更完整，破坏模式更明显；当初始微裂纹长度或角度满足均匀分布或指数分布时，破坏单元更分散，裂纹分支增多，并伴有明显的劈裂破坏，宏观破裂面更粗糙，且指数分布时尤甚。

（2）初始微裂纹角度对于解释单轴抗压试验中既会出现劈裂破坏又会出现剪切破坏的现象具有一定的指导意义。当初始微裂纹均值角度γ=20°时，模型形成与加载方向呈较小夹角的宏观破裂面；当γ=30°~60°时，模型为剪切破坏，模型中形成的宏观破裂面和水平面的夹角与初始微裂纹均值角度相近；当γ=75°和90°时，模型的破坏模式变为以劈裂破坏为主；当γ=20°~45°时，随着角度的增加，模型峰值强度和轴向最大应变值降低；当γ=60°~90°时，峰值强度和轴向最大应变又逐渐升高。

（3）当切槽半径与圆盘半径比值大于0.3时，应用Dong等^[25]推导出的N₁和N₂的解析解，并结合试验数据，得出该试验所用花岗岩试样（切槽半径与圆盘半径比值为1/3）Ⅰ型和Ⅱ型断裂韧度。当直切槽与加载方向的夹角ε=0°时，得到试样Ⅰ型断裂韧度均值K_IC=1.077 MPa $\cdot$ m^1/2；当ε=26.7°时，得到试样Ⅱ型断裂韧度均值K_IIC=1.638 MPa $\cdot$ m^1/2。

（4）结合试验得到的数据，数值模拟了花岗岩的单轴抗压试验、巴西劈裂试验和断裂韧度试验，模拟得到的模型破裂特征和力学响应与试验结果基本一致，说明该模型能准确反映真实情况。

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

冯亚飞

单轴压缩下裂纹扩展相似模型试验研究

[D]. 重庆：重庆大学，2012.