在高地应力条件下，由于岩体开挖，区域应力发生转移，导致围岩以片状剥落、岩块弹射等破坏形式释放能量的现象，被称为岩爆（李庶林等，2001）。随着地下金属矿山开采水平不断向深部延伸，岩爆发生的几率也在不断增加。这给矿山现场工作人员和运行设备带来了极大的安全隐患（李鹏翔等，2019；Wen et al.，2015）。因此，如何准确有效地评价地下金属矿山中不同地点的岩爆倾向性等级已成为矿山开采需要考虑的重要问题。

国内外学者运用多种数学算法对岩爆倾向性等级进行研究，建立了一系列数学算法模型，为矿山岩爆倾向性等级评价作出了重要贡献。例如：一些学者应用神经网络技术原理、决策树、卷积神经网络、GIS和自组织神经网络对岩爆指标进行评估，从而得出岩爆倾向性等级（白明洲等，2002；Zhao et al.，2020，2021；周科平等，2004）。为进一步提高岩爆评估的准确性，学者们尝试多种算法，探索新的岩爆算法模型（宫凤强等，2007；衣永亮等，2010；王晋等，2011；黄玉仁等，2014）。也有学者结合2种或多种算法，确定各个指标的权重，并代入算法模型，得到更为精确的岩爆评价模型（李宁等，2017；陈建宏等，2017；毕傲睿等，2018；孙臣生，2019；Li，2020；许瑞等，2020；李彤彤等，2020；李任豪等，2020；李克钢等，2020；谢学斌等，2020）。例如：田睿等（2020）和汤志立等（2020）通过对所建立的多种岩爆评估模型进行准确率计算，确定了多层感知机（MLP）、K⁃近邻（KNN）、极限树（ET）及Dropout和改进Adam的深度神经网络岩爆烈度分级预测模型（DA-DNN）等较优岩爆倾向性模型。在众多数学算法中，基于多指标的距离判别方法被很多学者应用到评价岩爆倾向性方面。宫凤强等（2007）利用国内外12组岩石工程岩爆案例，选取4个岩爆指标作为判别因子，基于马氏距离判别分析法得到待测样本的岩爆倾向性等级。王晋等（2011）利用国内外25组岩爆案例数据，选取4个岩爆指标作为判别因子，通过主成分分析法得到指标的权重，然后利用加权马氏距离计算出待测样本的岩爆倾向性等级。在现有的岩爆倾向性评价算法中，有的算法训练样本数量较少，有的算法计算过程复杂，计算原理描述较为模糊，实现流程较复杂。

鉴于此，本文尝试应用马氏距离判别方法来判别地下金属矿山的岩爆倾向性，探索岩爆倾向性评价的新方法。在搜集大量岩爆案例数据的情况下，对待测点的岩爆指标数据进行判别分类，从而实现待测数据的倾向性评价。首先，利用搜集到的国内外200多组岩爆案例数据信息，结合某金属矿山实际情况，选取脆性系数（B1，单轴抗压强度与单轴抗拉强度之比）、埋深（D）、单轴抗拉强度（UTS）、单轴抗压强度（USC）、弹性能指数（Wet）以及抗压和抗拉强度之差与两者之和的比值（B2）共6个岩爆指标作为判别岩爆等级的指标；其次，基于马氏距离建立判别准则，检验评价模型的准确度；最后，对矿山进行岩爆倾向性评价，以期运用该方法确定矿山的岩爆倾向性等级。

设有k个总体G₁，G₂，…，G_k，均为P维总体（吴礼斌等，2017）。

式中：µ=（µ₁，µ₂，…，µ_p）^T；X=（x₁，x₂，…，x_p）^T；G为单个总体；µ为总体G的均值向量；∑为协方差矩阵；x为单个样本向量。

设有k个p维总体G_i，i=1，2，…k，从每个总体中分别抽取样本容量为n_i（i=1，2，…，k）的k个样本，其样本的协方差矩阵为S₁，S₂，…，S_k，用S₁，S₂，…，S_k估计∑₁，∑₂，…，∑_k。其中，∑_i为总体G_i的协方差矩阵。

原假设H₀：∑₁=∑₂=…=∑_K；

备择假设H₁：∑₁，∑₂，…，∑_K至少有一对不相等。

当H₀成立时，统计量可表示为

式中：M=n-kln∣S∣-∑i=1Kni-1ln∣Si∣；S=∑i=1KSi-1Si/n-k；f=p(p+1)(k-1)/2为自由度，n=n₁+n₂+…+n_k；∑_i为总体G_i的协方差矩阵。

对于给定的α，计算概率p=Pε>xα2f，若p<α则拒绝H₀，否则接受H₀。

（1）总体协方差矩阵相等时的判别（吴礼斌等，2017）

k个总体G₁，G₂，…，G_k的均值向量分别为µ₁，µ₂，…，µ_k，协方差矩阵分别为∑₁，∑₂，…，∑_k。总体协方差矩阵相等即为∑₁=∑₂=…=∑_k=∑，则新样品X到G_j和G_i的马氏距离的平方差为

令判别函数

对于所有的j（j≠i）总体（G_j），如果X到G_i的距离最小，则有W_ij（X）>0。

由于总体的均值向量与协方差矩阵是未知的，所以用样本的均值和协方差矩阵代替。设x_1j，x_2j，…，x_nj是取自总体G_j（j=1，2，…，k）的训练样本，记

于是得到判别函数W_ij（X）的估计为

判别准则为：对所有的j（j≠i），W_ij（X）>0，则判别X∈G_i。

（2）总体协方差矩阵不全相等时的判别（吴礼斌等，2017）

样本X到各个总体G_i（i=1，2，…，k）的马氏距离平方为

若mind1≤i≤k(X,Gi)=d(X,Gm)，则判别X∈G_m。

在实际情况中，用训练样本对总体做估计，得到二次判别函数d²（X，G_i）的估计为

若d2(X,Gi)=min1≤i≤kd2(X,Gi)

则判别X∈G_j。

（1）回代误判率。设G₁和G₂为2个总体，x₁，x₂，…，x_m和y₁，y₂，…，y_n分别是来自G₁和G₂的训练样本，以全体训练样本作为m+n个新样品，逐个代入已建立的判别准则中判别其归属，该过程称为回判。回判结果中若属于G₁的样品被误判为属于G₂的个数记为N_1，2，属于G₂的样品被误判为属于G₁的个数记为N_2，1，则误判率估计为

（2）交叉误判率。在进行交叉误判率估计时每次剔除一个样品，然后利用其余的m+n-1个训练样本建立判别准则，再利用所建立的准则对删除的样品进行判别。对每个训练样本进行分析，以其误判的比例作为误判率。交叉误判率估计为

式中：N₁*为G₁的样品被误判个数；N₂*为G₂的样品被误判个数；m+n为总样品个数。

通过整理国内外247组已知岩爆等级的数据，结合矿山和隧道等工程现场对岩爆现象的描述，将岩爆数据划分为4类，即无岩爆（N）、轻微岩爆（L）、中等岩爆（M）和强岩爆（H），并描述相应的破坏现象（表1）。

岩爆现象的发生还与现场条件和工程活动有很大关系。对于不同倾向性的岩爆，其破坏形式也要结合现场情况及工程活动进行综合考量。相应的同一岩爆等级的岩爆是否发生也需综合考虑现场条件等其他实际因素的影响。

为了确保岩爆等级评价结果的有效性，对搜集的岩爆案例进行预处理。首先观察数据的离散性，之后对某一组数据的缺失值进行处理。在数据离散性方面，由于矿山岩爆发生的原因很复杂，单一指标与岩爆倾向性并无线性关联，所以将所有指标作为整体来研究矿山岩爆倾向性，对于单个指标离散性不做过多处理。在处理部分缺失数据方面，对没有其他相应数据支撑的缺失数据进行了删除。

搜集的国内外岩爆案例数据并没有体现矿山围岩以及完整性情况，因此判别分析准则的假设条件是矿山围岩坚硬且岩体完整性较好。确定判别所需的岩爆指标为脆性系数B1（单轴抗压强度与单轴抗拉强度之比）、埋深（D）、单轴抗拉强度（UTS）、单轴抗压强度（USC）、弹性能指数（Wet）以及抗压和抗拉强度之差与两者之和的比值（B2）共6项指标。图1为搜集的各岩爆指标在不同岩爆等级中的离散性。

由图1可知，不同岩爆倾向性中的各个指标离散特征与其岩爆倾向性没有明显的线性关系。在对数据进行离散性处理的过程中，虽然岩石的弹性能指数均值与岩爆倾向性有线性关系，但是不同等级的指标范围有重合部分，不能作为评价岩爆倾向性的唯一指标。

根据各个样本的协方差矩阵是否相等，可以得到2种不同的判别思路。因此，首先检验各个样本协方差矩阵是否相等，之后才能选择适合的判别方法进行岩爆倾向性的距离判别分析。

在本次应用案例中，先将搜集整理后的200多组岩爆数据划分为4个6维总体样本，分别是高岩爆样本（H）、中等岩爆样本（M）、轻微岩爆样本（L）和无岩爆样本（N）。每个总体样本的容量为n1、n2、n3和n4。∑₁，∑₂，∑₃，∑₄为各样本的协方差矩阵。之后计算各个样本的协方差矩阵是否相等。其中，计算各个样本总体的协方差是否相等的假设如下：

原假设H₀：∑₁=∑₂=∑₃=∑₄；

备择假设H₁：∑₁，∑₂，∑₃，∑₄至少有一对不相等。

给定α=0.1。

由式（2）和式（3）计算可得：

P=0<α，则拒绝H₀。检验结果为4个岩爆等级样本协方差至少有一对不相等。所以选择总体协方差不相等时的距离判别分析法。

在此次距离判别中由于总体协方差不相等，采用二次判别函数［式（11）］进行计算。

本文选择山东某金矿进行案例分析。该金矿属于热液蚀变型金矿床，区内出露地层主要为第四系。主要金属矿物为黄铁矿，矿体控制走向长度达4 000 m，总体走向35°，倾向SE，倾角为40°。在该矿山不同中段选取9处岩爆待测点中完整性较好、具有代表性的岩石，并对岩石进行加工，经过岩石力学试验获取岩石脆性系数（B1）、单轴抗压强度（UTC）、抗拉强度（UTS）、弹性能指数（Wet）以及抗压和抗拉强度之差与二者之和的比值（B2）。结合某金矿待测点的现场情况，得出岩爆倾向性指标。

通过现场调查、取样、加工和试验，获得9组岩爆倾向性待测样本，为X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8和X9。每组样本代表一处待测点的岩爆指标实际情况。得到9个待测样本的指标数据，见表2。

分别计算出每个待测岩爆数据到4个岩爆倾向性等级总体的马氏距离，为d²（x，H）、d²（x，M）、d²（x，L）和d²（x，N）。计算结果如表3和图2所示。

每组待测数据到各个总体的距离均不同，按照距离判别原理，距离最近的总体将被视为待测样本的总体。如X₁待测样本计算结果中，待测样本到各个总体的马氏距离中，d²（x，H）<d²（x，M）<d²（x，L）<d²（x，N），则X1待测样本岩爆等级属于高岩爆的可能性最大。依次对其余待测样本进行判别，得出待测样本的岩爆倾向性等级。结果表明，X1处于强岩爆等级，X2、X3、X4、X5、X7、X8和X9测试点处于轻微岩爆等级，X6待测点处于中等岩爆等级。

通过调查矿山待测点的现场情况，结合矿山不同岩爆等级的现象特征可知，上述岩爆倾向性判别基本符合矿山实际。由于岩爆现象的发生因素复杂，除了岩石本身的力学性质，还要结合现场条件和工程活动等因素的影响，简单根据岩石力学指标综合判别岩爆是否发生或评判岩爆的危害是不全面的。X1待测点确实有岩爆现象的发生，当时该地点处于独头巷道，且已经施工完毕，岩爆发生时没有工作人员及设备，并未造成较大损失。其余待测点没有强烈的岩爆现象发生。

9组岩爆待测数据的岩爆倾向性分级如表 4所示。

（1）回代误判率。将4组岩爆样品分别按照前文所述步骤回代至误判公式［式（12）］中，得到各个总体误判率，记为ph、 pm、pl和pn。计算结果为ph=0.23，pm=0.38，pl=0.36，pn=0.28。该判别准则的准确度在0.62~0.77之间，高于不同理论判据的准确率范围（最高为0.514）（吴礼斌等，2017），可作为判别准则。

（2）交叉误判率。交叉误判率的计算步骤如下：

Step 1：总体H的训练样本中剔除其中一个样品，剩余的k-1个训练样品命名为H₁。与其余总体样品建立判别函数。

Step 2：利用建立的判别函数对剔除的样品H₁进行判别。

Step 3：重复步骤1、2，直到H的全部样品依次被剔除，再进行判别。其误判数与总体样品之比为误判率ph。

Step 4：将4组岩爆样品分别按照上述方法代入计算得到各个总体误判率，记为ph、 pm、pl和pn。由上文可知ph=0.26，pm=0.39，pl=0.38，pn=0.30。该准则的准确度范围为0.61~0.74，高于不同理论判据的准确率（汤志立等，2020），可作为判别准则。

（1）借鉴统计学中的马氏距离判别方法，并考虑国内外大量岩爆案例数据特征和待测矿山实际岩爆指标获取情况，将脆性系数（B1）、埋深（D）、单轴抗拉强度（UTS）、单轴抗压强度（USC）、弹性能指数（Wet）以及抗压和抗拉强度之差与两者之和的比值（B2）作为判别因子。在此基础上，建立岩爆倾向性评价模型，并对山东某地下金属矿山中的待测点进行岩爆倾向性评价，获得了较为理想的结果。因此，利用岩爆指标建立的马氏距离判别分析模型对地下硬岩矿山进行岩爆倾向性评价，在算法的准确率方面具有较好的准确度。

（2）在对数据进行离散性处理的过程中，岩石的弹性能指数均值与岩爆倾向性有线性关系，但不同等级的指标数值范围有重合，不能作为评价岩爆倾向性的唯一指标。目前对岩爆倾向性的检验已经发展到可通过综合指标来测评其分布等级，在此前提下，综合6个指标对数据进行测评，有其合理性和实用性。

（3）在采集待测矿山岩爆数据方面，经过现场调查、取样、加工和试验等步骤得到岩爆指标，所得到的待测数据能够代表矿山现场岩石力学特征，将待测数据代入评价模型，所得结果的准确度仅与模型的准确度有关。但岩爆的相关理论表明，发生岩爆的原因很复杂，仅通过岩石力学性质指标判断岩爆是否发生或判断岩爆的危险性等级显得不够全面，因此应综合考虑现场条件和工程活动等其他方面的因素进行判断。