水平至缓倾斜层状岩层系地下矿体开采后，采空区覆岩移动影响范围自下而上可划分为垮落带、裂隙带和弯曲下沉带（刘天泉，1995；张军等，2014；贺化平，2019），其中，裂隙带发育高度是影响互层矿体上行开采（张恩强等，2011；Li et al.，2021；Jiang et al.，2013）与保水开采（王志强等，2013；范立民等，2020；杨达明等，2019）的关键因素。因此，研究预测裂隙带发育高度，对于层系矿产资源开发具有重要价值。

目前，通过相似材料模拟试验（施峰等，2018；焦振华等，2017；张庆贺等，2019）、经验公式法（冯超等，2019；高泽明，2021）、数值模拟计算（张培河等，2019；Xu et al.，2010；王旭锋等，2008）、现场实测（翟志伟等，2020；侯公羽等，2020）、理论解析法（王晓振等，2019；许家林等，2009；张云等，2019；Ning et al.，2020；左建平等，2017；王连国等，2012；王金安等，2017）和数据挖掘（薛建坤等，2020；毛志勇等，2020）等方法，针对裂隙带演化规律及发育高度开展了大量的研究工作，取得了若干重要成果。相似模拟试验可以很好地反映裂隙演化规律，但较难模拟真实的采矿环境和地质条件；经验公式仅考虑了采高的影响因素（施龙青等，2012）；数据挖掘法受限于具体矿山的经验数据，当矿体地质和开采条件发生变化后，计算结果的误差不可预估；数值模拟与理论解析通常应用简化的力学模型和边界条件，依托岩层的岩石力学性质进行解算，需要开展岩石力学试验研究与数值分析；现场实测法的数值精度高，但其属于过程观测和事后处理，工作量大且成本较高，所以本文应用理论解析的方式，通过研究空隙量守恒定律建立覆岩裂隙带高度模型。空隙量守恒定律定义为：介质内一处空隙的增多或减少，意味着其他部位空隙的减少或增多，但空隙量保持不变（瞿群迪等，2010），该理论常用于研究分析沉积型层状矿岩上覆岩层移动规律与地表沉陷控制技术。郝庆旺（1988）在研究开采沉陷与覆岩破坏之间的关系时，提出了空隙量守恒及扩散定律；瞿群迪等（2010）、张猛（2019）和张兆威（2015）通过空隙量守恒理论分析了充填开采控制地表沉陷的技术途径；张宏贞等（2016）在覆岩内部实测数据的基础上，分析了覆岩破裂高度范围内空隙量估算模型；李全生等（2021）通过实测数据，基于空隙量守恒理论计算了“三带”分区的采动空隙耗散系数，提出了降低裂隙带与地表损伤垮落带、裂隙带的注浆技术及注浆量的计算方法；鞠金峰等（2017）提出了一种计算垮落带与裂隙带残余空隙的计算方法，并将该方法应用于估算矿山地下水库的采空区储水空间；夏小刚（2012）在分析冒落带形成过程时，采用分形几何方法和空隙量守恒原理推导了冒落带高度的计算公式。

本文基于空隙量守恒理论，考虑采高、顶板碎胀系数、覆岩残余碎胀系数和顶板垮落高度等因素对覆岩移动的影响，建立了计算覆岩裂隙带发育高度的理论模型，并将该模型应用于研究煤下铝土矿上行保护性开采方案的工艺技术参数，通过理论分析和数值模拟方法验证该裂隙带发育高度模型和煤下铝土矿开采覆岩控制技术的有效性。

空隙量守恒是指介质内任意一处空隙的增减，将引起其他位置空隙增减，而介质内空隙总量是不变的（郝庆旺，1988）。煤系地层开采覆岩移动“三带”的形成，可视为采空区产生的空隙自下而上扩散的结果。在分析采矿引起的覆岩移动和地表沉陷时，建立了空隙量守恒定律的表达式：

式中：Vg为采空区体积；Vs为地表沉降体积；Vv为上覆岩层残余空隙体积。采矿活动引起的岩体体积变化量和弯曲下沉带内空隙体积忽略不计（张猛，2019），矿层采空区体积总和为覆岩残余空隙体积与地表沉降体积。

随着矿层沿走向开采，顶板岩层垮落散体以上的覆岩内发生裂隙并向上扩散，当开采跨度（L）较小时，覆岩裂隙以拱形（王金安等，2017）向上扩展，形成裂隙拱；随着裂隙拱内的空隙不断向上扩散，在岩层压覆和挤压作用下，裂隙拱内的岩体空隙率达到残余碎胀系数后，裂隙拱不再向上扩展，此时增加开采跨度会打破裂隙拱的形态，发育形成裂隙带范围，裂隙拱最高拱高与裂隙带高度一致，如图1所示。

基于空隙量守恒理论建立采动覆岩裂隙拱内空隙量分析模型（图2）。覆岩裂隙拱范围内岩体空隙率的变化是顶板岩层垮落和下沉补偿采空区所致，将覆岩裂隙拱内岩体划分为顶板垮落体和沉降裂隙体。原岩空隙率忽略不计，矿岩碎胀系数为k，H₀垮落体高度范围内空隙率为ε0，上覆沉降裂隙体H₂高度内空隙率为ε1，裂隙拱范围内空隙量增量补偿填充采空区H⋅L（H为矿层采高，L为开采跨度）。

将裂隙拱拱形截面简化为三角形，简化后裂隙拱高度H1较实际偏高，便于保守计算裂隙带高度。在此基础上，根据空隙量守恒定律，建立裂隙拱高度H1与空隙率之间的关系：

式中：Δ为裂隙拱未能补偿的采空区空间。随着作业时间的延长和回采跨度的增大，弯曲下沉带内离层空隙会逐渐闭合，所以根据式（1），得到Δ≈Vs。

在采动地压控制的过程中，直接顶板岩体通常以散体或崩落散体的形式垮落，垮落岩块发生微小应变，可忽略不计。矿岩的碎胀系数为k，则垮落体内空隙率可表示为

在岩性与矿体埋深相近的开采条件下，覆岩移动范围内平均残余空隙率保持不变。α是矿层垮落体边界与水平面的夹角，α越小则垮落体高度越高，在残余空隙率不变的情况下，裂隙带高度越高，也就是说，α越小则裂隙拱高度越高。为了保守计算裂隙拱拱高，根据图3，可以求解覆岩充分垮落时α的最小值，表达式为

进而可得到失稳垮落体跨度L1，表示为

H0与顶板垮落高度h和碎胀系数k之间的关系，表示为

综上，将式（2）~式（6）联立，建立裂隙拱高度（H1）与采高（H）、碎胀系数（k）、裂隙体内空隙率（ε1）和顶板垮落高度（h）的关系模型，表示为

由此可知，从空隙量守恒的角度分析，裂隙拱高度主要受采高、岩体碎胀系数、裂隙体内残余碎胀系数和顶板垮落高度的影响。其中，碎胀系数可通过试验或经验取值；顶板垮落高度与直接顶板岩性有关，在放顶作业时，由放顶高度决定；裂隙体内残余碎胀系数则通过具体工程条件下相似模拟试验或位移监测获取。

该模型不同于“三带”理论、数理统计法和比值法等经验公式，采用矿山实际岩石物理参数，并结合采矿工艺，能够反映不同矿山实际岩层采动覆岩影响范围的差异性，更加贴合矿山实际情况。

山西某矿区铝土矿上覆距离最近的可采煤层为13#煤层，煤铝平均间距为38.82 m，煤铝间岩层为黏土岩、砂质泥岩、砂岩、薄层状石灰岩、砂岩、泥岩和煤线等，研究区地层和地质条件如表1所示。为了确保铝土矿上行开采不影响上覆煤层的开发，应用放顶控制覆岩移动的房柱法（黄丹等，2019）进行开采，在及时处理采空区的同时，控制13#煤层不受铝土矿开采覆岩移动裂隙带的影响。顶板岩体放顶崩落碎胀系数k=1.4。

根据矿区地质和岩体条件，开展相似模拟试验（图4），图中白色标志点为位移监测点，上下层黑色材料分别模拟煤层和铝土矿层。按照从左至右，开挖和放顶交替作业的方式模拟铝土矿回采过程，共设置32个开挖采场和16次放顶作业。每次开挖后停滞10 min进行下一次采场开挖；偶数次开挖回采后停滞10 min进行放顶，放顶后停滞5 min进行下一次采场开挖，依此类推。模型中模拟铝土矿采高为3 m。

模拟过程中铝土矿上覆岩层位移变化范围和轮廓线清晰可见（图4）。随着回采作业的进行，岩移范围面积随开采时间的变化如图5所示，岩移范围高度随开采时间的变化如图6所示。

采空区体积向上扩散，将会引起覆岩移动范围内空隙率的变化。当岩移范围未扩散至地表时，采空区空间全部由覆岩移动范围内的空隙补偿，则采空区的面积除以岩层移动范围的面积，即为岩移范围内空隙率随开采时间的变化，如图7所示。

由图7可知，岩移范围内的空隙率在10%之前快速变小，超过10%之后，空隙率随矿层开采的变化率不足1.0‰。这是因为移动带内空隙率的分布是不均匀的，靠近采空区的上覆岩层内残余碎胀系数大，远离采空区的岩层内残余碎胀系数小；当上覆岩层距离铝土矿采动层足够远时，残余碎胀系数可忽略不计，岩移范围内空隙率也趋于不变。

试验过程中，开挖采场6后达到了垮落体的上边界，此时作业时间为90 min；开挖至采场12后达到了裂隙带向弯曲变形带的过渡区域，此时作业时间为185 min。由图7可知，采场12裂隙带之上的离层空隙率约为8.3%，则Δ =0.083HL；自采场6开挖至采场12，裂隙带空隙率变化范围为5.8%~14.4%，结合空隙自下向上的分布规律及空隙率变化情况，将ε1=10%作为裂隙体内残余空隙率。

将裂隙拱未能补偿的采空区空间（Δ）、裂隙体参与空隙率（ε1）和矿岩碎胀系数（k）代入式（7），可得到裂隙拱高度（H1）与采高（H）、放顶高度（h）之间的关系表达式为

根据该煤下铝采区内28个勘探钻孔数据统计，矿区内铝土矿厚度为1.4~5.8 m，平均厚度为3.9 m；煤铝间距为28.24~44.16 m，平均间距为38.82 m。根据式（8），结合煤铝间距的范围和平均值，在图8中对煤铝间距分别为28.24，32.00，36.00，38.82，40.00，44.16 m时的情况进行分析，从而建立了煤下铝土矿开采裂隙带高度、采高与放顶高度之间的关系，已知矿山煤下铝土矿开采高度（H）与裂隙带高度（H1），即可确定放顶高度（h）。当铝土矿采高为3 m、裂隙带控制高度（即煤铝间距）为32 m时，顶板放顶高度为4 m。

以H1=28.24 m关系曲线为例，当H=1.65 m时，放顶高度为h=0 m，表示在采高不超过1.65 m的情况下，无需放顶作业，采场之上28.24 m的覆岩裂隙体内达到残余空隙率，裂隙带不会发展至上覆煤层。

实际生产中，在无需放顶作业即可保障上覆煤层不受铝土矿开采裂隙带影响时，为了避免顶板不均匀垮落导致上覆煤层产生台阶效应，需要对铝土矿开采后形成的点柱进行集中强制崩落。

由图8可知，铝土矿采高和放顶高度为影响覆岩移动的主要可控因素，降低铝土矿采高和增加放顶高度均可以有效控制覆岩移动范围。顶板岩石碎胀系数、煤铝间距和裂隙带残余碎胀系数等因素由矿区特定地质和岩体条件决定。

为了实现该煤下铝土矿保护性开采，采场回采结束后进行放顶作业，使顶板均匀垮落，采高与放顶高度之间的关系如图8所示。当煤铝间距为32.0 m、铝土矿采高为3.0 m时，放顶高度为4.0 m。

当铝土矿局部采高较大时，如煤铝间距为32.0 m、铝土矿采高为5.5 m时，所需放顶高度达14.36 m，放顶作业施工难度大，此时应采取协同充填的方式对部分空区进行充填，降低铝土矿开采的等价采高（缪协兴等，2015）。

对该煤下铝矿区开采的地压活动规律进行数值模拟和“三带”理论分析，进一步研究铝土矿开采对上覆煤层的影响。

当铝土矿采高越大、煤铝间距越小时，即煤铝间距与铝土矿采高的比值（简称“间采比”）越小，铝土矿开采对上覆岩层的影响越大。矿区内间采比<10的钻孔数仅有8个，为了保守分析铝土矿开采对煤层的影响，并对比分析放顶作业对控制覆岩移动的作用，以铝土矿采高为3 m、煤铝间距为32 m、间采比为10.7为例，建立了数值模型，数值模型与回采顺序如图9所示。

对比房柱法开采后不处理空区与放顶处理空区的覆岩移动情况，结果如图10所示。在房柱法开采后不处理空区的情况下，空区顶板最大竖向位移为33.9 cm，煤层底板竖向位移为10.0~15.0 cm，煤层垂直应力为0~1.5 MPa，水平应力为3.0~4.5 MPa，该断面煤层出现剪切破坏塑性区；在房柱法开采后对空区进行放顶处理的情况下，开采区域上覆岩层最大竖向位移为15.8 cm，煤层整体竖向位移为7.5~10.0 cm，煤层垂直应力为1.5~3.0 MPa，水平应力为3.0~4.5 MPa，该断面煤层未出现剪切破坏塑性区。

根据 “三带”计算方法（国家煤炭工业局，2017），中硬顶板岩层裂隙带计算公式如下：

在铝土矿开采过程中，由于直接顶板为软弱黏土岩，通常需留矿护顶0.3~0.5 m（刘建龙等，2018），顶板岩层可视为中硬顶板。当铝土矿采高为3 m时，“三带”理论计算得到的裂隙带高度为30.1~41.3 m。“三带”理论裂隙带高度的中间值较本文提出的裂隙带模型计算结果偏大，误差为10.4%，结果相近。由于放顶作业有利于降低裂隙带发育高度，因此，“三带”理论计算结果偏大是合理的。

综合分析认为，应用空隙量守恒理论建立并提出了煤下铝开采裂隙带发育高度模型和覆岩控制技术，分析了煤下铝开采裂隙带高度、采高与放顶高度之间的关系，在已知铝土矿采高和煤铝间距的情况下，即可确定煤下铝保护性开采所需的放顶高度。以采高为3 m、煤铝间距为32 m为例，通过数值模拟和“三带”理论分析，验证了本文裂隙带发育高度模型和覆岩控制技术的有效性。

相比“三带”理论，基于空隙量守恒的试验研究与理论解析方法，能够较充分地考虑工程实际中的覆岩移动主控因素，为制定矿体开采技术方案提供了分析方法，同时也为引入充填、垮落体沉缩和关键层等因素或变量提供了基础模型。

（1）基于空隙量守恒理论，分析了层状岩层覆岩移动规律，建立了预测采矿覆岩移动范围的裂隙拱模型H1=fH,k,ε1,h，提出采高、覆岩碎胀系数、裂隙带残余空隙率、顶板垮落和放顶高度是裂隙带发育高度的主控因素，同时也为引入充填、垮落体沉缩和关键层等因素或变量提供了空隙量守恒理论分析的基本模型。

（2）结合某煤下铝土矿开采技术条件与采矿方案，将相似模拟试验的覆岩空隙率分析结果代入本文裂隙带高度模型，分析了采高与放顶高度、采高与裂隙带高度、放顶高度与裂隙带高度之间的关系，得出降低铝土矿采高和提高放顶高度均有利于煤下铝土矿的保护性开采，提出了计算煤下铝土矿开采与放顶高度的方法。

（3）通过数值模拟与“三带”理论分析，验证了煤下铝开采技术方案的可行性和基于空隙率守恒的裂隙带高度预测模型的有效性。覆岩残余空隙率对计算裂隙带高度影响较大，工程应用中需要更深入地开展覆岩残余碎胀系数的试验研究。为保守计算裂隙带高度，充分满足上行开采的可靠性，对裂隙拱截面进行了简化；为了更贴近实际情况，下一步研究工作可对本文提出的裂隙带高度模型进行修正。