基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.02.078

基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选

邓龙鑫^,, 陈建宏^,

中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Optimization of Mining Method with Subjective and Objective Combination Weight TOPSIS Based on Game Theory

DENG Longxin^,, CHEN Jianhong^,

School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

通讯作者: 陈建宏（1963-），男，江苏苏州人，教授，从事矿业经济和采矿系统工程研究工作。cjh@263.net

收稿日期: 2021-06-20 修回日期: 2021-09-22

基金资助:

国家自然科学基金青年基金项目“基于人工智能的矿山技术经济指标动态优化”. 51404305

Received: 2021-06-20 Revised: 2021-09-22

作者简介 About authors

邓龙鑫（1997-），男，江西赣州人，硕士研究生，从事矿业经济和采矿系统工程研究工作841416210@qq.com , E-mail：841416210@qq.com

摘要

针对当前采矿方法优选过程中，权重计算时主观权重信息丢失较多且占比过大的问题，将主客观权重相结合，计算出综合权重，并运用于采矿方法优选体系。首先，利用模糊扩展层次分析法（FEAHP）计算主观权重，最大程度地保存主观信息；然后，利用CRITIC客观赋权法计算客观权重，并运用博弈论原理将主客观权重相结合，得到综合权重；最后，结合逼近理想解的排序方法（TOPSIS），建立基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选模型。将所建立的基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选模型运用于工程实例中，对姑山露天铁矿驻留矿体的采矿方法进行优选，计算出4种备选方案（上向进路胶结充填法、浅孔留矿嗣后充填法、上向水平分层充填法和下向水平分层充填法）的相对贴近度分别为0.4547、0.4441、0.5872和0.4072，得出上向水平分层充填法为最优方案。研究结果与矿山工程实例相符，证明基于博弈论组合的主客观权重值比以往单一的赋权法得到的权重值更加合理，建立的模型更科学。

关键词： 模糊扩展层次分析法 ; CRITIC ; 博弈论 ; 组合权重 ; TOPSIS ; 相对贴近度 ; 采矿方法优选

Abstract

In the current optimization of mining methods， subjective components lead to more information loss， and the relative importance of evaluation indicators is unreasonable.This paper fully considered the results of the combination of comprehensive degree analysis method and fuzzy analytic hierarchy process-fuzzy extended analytic hierarchy process （FEAHP） and objective weight method CRITIC，used FEAHP to determine the subjective weight of each index in the optimization system of mining method.CRITIC algorithm was used to calculate the conflict between various indicators，so as to calculate the objective weight.Then，the principles of game theory was used to compromise the subjective and objective weights，and find their consistency to obtain a reasonable combination weight.Finally，combined with the real data of the alternatives，the distance between the four alternatives and the positive and negative ideal solutions is obtained by the distance measurement method in TOPSIS，and the relative patching progress of the four alternatives was calculated.The options of the upward approach cement filling method （Scheme 1）， the shallow hole retention and subsequent filling method （Scheme 2）， the upward horizontal layered filling method （Scheme 3） and the downward horizontal layered filling method （Scheme 4）.The relative patching progress of the four alternatives are 0.4547，0.4441，0.5872，0.4072 respectively.It is concluded that the third scheme （upward horizontal stratified filling method） is the best，and the relative paste progress of 0.5872 also fully demonstrates that the upward horizontal stratified filling method has formed a strong contrast with the other three schemes，showing that the scheme meets the requirements of modern mining engineering for safety，low cost，and high profit，highlights its own advantages，and is consistent with mine examples and other experts’ research， indicating that the model is scientific and effective for mining optimization.

Keywords： fuzzy extended analytic hierarchy process ; CRITIC method ; game theory ; combination weights ; TOPSIS ; relative paste progress ; mining method optimizations

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本文引用格式

邓龙鑫, 陈建宏. 基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选[J]. 黄金科学技术, 2022, 30(2): 282-290 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.02.078

DENG Longxin, CHEN Jianhong. Optimization of Mining Method with Subjective and Objective Combination Weight TOPSIS Based on Game Theory[J]. Gold Science and Technology, 2022, 30(2): 282-290 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.02.078

采矿方法选择是矿山开发投产过程中的关键环节，也是矿山企业能否实现盈利和持续发展的决定性因素之一。传统的采矿方法选择主要是通过对比几种备选方案的经济技术来确定最优方案，该方法易掌握，但存在考虑因素不足及容易忽略指标间的相对重要性等问题。鉴于此，学者们充分考虑影响矿山生产的相关因素之间的差异性、模糊性和随机性等非线性关系，将诸多算法理论与决策理论相结合，用以解决矿山实际生产问题。如：陈建宏等（2010）将主成分分析法与BP神经网络相结合，在保留BP神经网络高度非线性映射能力的同时，采用主成分分析法对数据进行预处理，减少了变量，提高了建模质量；刘文清等（2017）利用粗糙集理论从给定的信息中寻找内在规律，将矿山实际生产过程中不确定的信息清晰化。还有学者将灰色关联、博弈论、层次分析法（AHP）与TOPSIS相结合，将影响采矿方案的重要指标间的相对重要性数据化，并建立采矿方法优选模型（陈博宇等，2015；胡崴等，2016；陈毅等，2017；Ganesh et al.，2021；Seren et al.，2017；Chamoli，2015）。

在采矿方法优选研究中，层次分析法（AHP）是相对科学的方法之一。然而，传统的层次分析法在进行系统分析评价时采用的是1~9标度法，需要决策者对系统内各影响因素之间的相对重要性进行准确评判（杨日辉等，2006）。事实上，由于受决策者知识储备、思维逻辑的不确定性以及各种定性、定量指标之间关联性的影响，很难精确地用数字来表达指标之间的相对重要性。模糊扩展层次分析法（FEAHP）（Khashei-Siuki et al.，2020；Thapar et al.，2020；Kilincci et al.，2011）是在模糊层次分析法的基础上，运用程度分析法确定指标权重的方法。在采矿方法优选过程中，程度分析法用于考虑目标需要满足某个对象的程度。在该方法中，采矿方法优选体系各指标间的相对重要性是通过使用模糊数来量化的。基于每个对象的程度分析的模糊值，可以获得模糊综合度值，利用综合程度分析法计算各指标对于采矿方法优选体系的主观权重，较好地保留了模糊矩阵中的信息量，避免模糊矩阵清晰化时导致信息大量丢失。尽管如此，如果单一的在主观赋权法上进行研究，依旧是不合理的，有必要在采矿方法优选指标赋权中引入客观赋权法，只有将主客观相结合才能得到更加合理的指标权重值。

客观赋权法CRITIC是通过计算评价指标之间的冲突性来突显指标之间的相关性。运用博弈论将FEAHP法得到的主观权重与CRITIC法得到的客观权重相结合，可以改善由于主观因素过重导致的评价体系失衡现象。本文针对采矿方法优选过程中，权重计算时主观性过强，导致评价体系不够科学的情况，利用博弈论原理，将FEAHP与CRITIC法相结合，得到组合权重。然后，将组合权重与逼近理想解的排序方法（TOPSIS）相结合，建立基于博弈论的主客观组合权重TOPSIS采矿方法优选模型。最后，通过工程实例论证，得到正确结果，为确定采矿方法提供了一种更加科学、合理的优选方法。

1 基于博弈论的主客观组合权重确定

1.1 基于FEAHP法的指标主观权重确定

FEAHP法利用语言变量与三角模糊数相结合的方式来确定其比较标度，并将所构建的成对模糊比较矩阵去模糊化，转化为清晰矩阵，再进行一致性检验来判断矩阵构建的合理性，最后通过综合程度分析法确定各指标的主观权重值。

为了定量地描述任意指标之间的相对重要性，通常采用表1所示的语言变量及其对应的三角模糊数（邓剑，2015）。

表1 语言变量及其对应的三角模糊数

Table 1 Language variables and their corresponding triangular fuzzy numbers

语言变量	三角模糊标度	三角模糊互反标度
完全相同（JE）	（1，1，1）	（1，1，1）
同等重要（EI）	（1/2，1，3/2）	（2/3，1，2）
稍微重要（WMI）	（1，3/2，2）	（1/2，2/3，1）
明显重要（SMI）	（3/2，2，5/2）	（2/5，1/2，2/3）
非常重要（VSMI）	（2，5/2，3）	（1/3，2/5，1/2）
极端重要（AMI）	（5/2，3，7/2）	（2/7，1/3，2/5）

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FEAHP与AHP法的共同点是均需要建立递阶层次评判结构体系，二者的区别是，FEAHP法构建的是基于三角模糊标度的成对模糊比较判断矩阵，然后根据程度分析法计算两两比较的综合程度值，再通过计算确定归一化后的权重向量。FEAHP法确定权重向量步骤如下：

（1）构造成对模糊比较判断矩阵。根据建立的递阶层次评判结构体系，利用三角模糊标度来表示各因素之间的相对重要关系，上一层的指标对下一层的因素起支配作用，成对模糊比较判断矩阵可表示为

D = X_{i j}^{k} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} X_{11}^{k} \\ X_{21}^{k} \\ ⋮ \\ X_{n 1}^{k} \end{array} & \begin{matrix} \begin{array}{l} X_{12}^{k} \\ X_{22}^{k} \\ ⋮ \\ X_{n 2}^{k} \end{array} & \begin{matrix} \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} X_{1 m}^{k} \\ X_{2 m}^{k} \\ ⋮ \\ X_{n m}^{k} \end{array} \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}]

，

i=1，2，…，n； j=1，2，…，m（n=m）（1）

式中：n和m为指标个数； $X_{i j}^{k} = (l_{i j}, m_{i j}, u_{i j})$ ，为三角模糊数；参数l为描述模糊事件的最小可能值；参数m为描述模糊事件的最有希望值；参数u为描述模糊事件的最大可能值； $X_{i j}^{k}$ 表示元素指标X_i 与X_j 关于上一层决策指标的相对重要性，采用表1中的三角模糊标度确定； $X_{j i}^{k}$ 表示元素指标X_j 与X_i 关于上一层决策指标的相对重要性，如式（2）所示，即表1中的三角模糊互反标度；k为评价体系中的元素指标支配层。

X_{j i}^{k} = {(X_{i j}^{k})}^{- 1} = [{(u_{i j})}^{- 1}, {(m_{i j})}^{- 1}, {(l_{i j})}^{- 1}]

（2）

（2）一致性检验。利用三角模糊数去模糊化方式，将成对模糊比较判断矩阵转化为清晰矩阵，并进行一致性检验（Kwong et al.，2003）。一个三角模糊数M =（l，m，u）可被解模糊为一个清晰数： $M_c r i s p = (4 m + l + u) / 6$ 。利用公式 $C R = C I / R I$ ， $C I = ((λ_{m a x} - n) / (n - 1))$ 进行一致性检验，其中： $λ_{m a x}$ 为矩阵的最大特征向量，n为矩阵阶数；RI为平均随机一致性指标，可由表2确定；CI为偏离完全一致性指标，判断矩阵越接近完全一致性，其值越小。当 $C R < 0.10$ 时，表示判断矩阵的一致性符合要求；当 $C R > 0.10$ 时，则需调整模糊判断矩阵并清晰化，重新获得CR值。

表2 平均随机一致性指标取值

Table 2 Average random consistency index values

判断矩阵阶数	RI	判断矩阵阶数	RI
1	0	6	1.24
2	0	7	1.32
3	0.58	8	1.41
4	0.9	9	1.4
5	1.12

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（3）程度分析法确定权重。将成对模糊比较判断矩阵内元素对支配层的模糊综合程度值定义为

S_{i} = \sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k} \otimes {[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k}]}^{- 1}

（3）

式中： $\sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k}$ 表示矩阵内单一元素对其支配层内其他元素相比较的模糊重要性总和，可通过模糊加法运算得到，计算公式为

\sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k} = (\sum_{j = 1}^{m} l_{j}, \sum_{j = 1}^{m} m_{j}, \sum_{j = 1}^{m} u_{j})

（4）

此外：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k} = (\sum_{i = 1}^{n} l_{i}, \sum_{i = 1}^{n} m_{i}, \sum_{i = 1}^{n} u_{i})

（5）

{[\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} X_{i}^{k}]}^{- 1} = (\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}}, \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}}, \frac{1}{\sum_{i = 1}^{n} l_{i}})

（6）

根据三角模糊隶属函数的定义，三角模糊数 $M_{2} = (l_{2}, m_{2}, u_{2}) > M_{1} = (l_{1}, m_{1}, u_{1})$ 的可能性程度可表示为 $V (M_{2} \geq M_{1}) = \underset{y \geq x}{s u p} [m i n (μ_{M_{1}} (x), μ_{M_{2}} (y))]$ ，可等价表示为

V (M_{2} \geq M_{1}) = h g t (M_{1} ⋂ M_{2}) = μ_{M_{2}} (d)

（7）

μ_{M_{2}} (d) = \{\begin{matrix} 1, m_{2} \geq m_{1} \\ 0, l_{1} \geq u_{2} \\ \frac{(l_{1} - u_{2})}{(m_{2} - u_{2}) - (m_{1} - l_{1})}, 其 他 \end{matrix}

（8）

式中：d为 $μ_{M_{1}}$ 和 $μ_{M_{2}}$ 的最高交叉点D的横坐标； $μ (d)$ 为D点纵坐标。从图1可以看出， $μ_{M_{1}}$ 和 $μ_{M_{2}}$ 的最高交叉点为D点。

图1

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图1 M₁和M₂之间的交集（Zhu et al.，1999）

Fig.1 Intersection between M₁ and M₂（Zhu et al.，1999）

（4）一个模糊数大于h个模糊数M_i （i=1，2，…，h）的可能性定义为

V (M \geq M_{1}, M_{2}, \dots, M_{h}) = V [(M \geq M_{1}) ⋂ (M \geq M_{2}) ⋂, \dots, ⋂ (M \geq M_{h})]

= m i n V (M \geq M_{i}), i = 1,2, \dots, h

（9）

令：

d^{'} (A_{i}) = m i n V (S_{i} \geq S_{h}), h = 1,2, \dots, n; h \neq n

（10）

则权重向量为 $W' = {(d' (A_{1}), d' (A_{2}), \dots, d' (A_{n}))}^{T}$ ，其中， $A_{i} (i = 1,2, \dots, n)$ 是n个元素。

（5）通过归一化后的权重向量： $W = {(d (A_{1}), d (A_{2}), \dots, d (A_{n}))}^{T}$ 。其中， W 是一个非模糊数向量，这就确定了评价体系中各元素的主观权重。

1.2 基于CRITIC的指标客观权重确定

设有 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{m}$ 共m个备选方案，每个方案包含综合评判结构体系中的指标 $X = \{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}\}$ ，用B_ij 来表示第i个方案中第j个指标，则建立的初始评判矩阵为

B = {(B_{i j})}_{m \times n} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} B_{11} \\ B_{21} \\ ⋮ \\ B_{m 1} \end{array} & \begin{array}{l} B_{12} \\ B_{22} \\ ⋮ \\ B_{m 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} B_{1 n} \\ B_{2 n} \\ ⋮ \\ B_{m n} \end{array} \end{matrix}]

，

i=1，2，…，m；j=1，2，…，n（11）

为了消除不同评判指标的不可公度性，将评判矩阵的元素进行无量纲处理，标准化矩阵 $B' = {(B'_{i j})}_{m \times n}$ ，计算公式（罗佳等，2013）为

\{\begin{matrix} B'_{i j} = \frac{B_{i j} - \underset{i}{m i n} (B_{i j})}{\underset{i}{m a x} (B_{i j}) - \underset{i}{m i n} (B_{i j})} (当 为 效 益 型 指 标 时) \\ B'_{i j} = \frac{\underset{i}{m a x} (B_{i j}) - B_{i j}}{\underset{i}{m a x} (B_{i j}) - \underset{i}{m i n} (B_{i j})} (当 为 成 本 型 指 标 时) \end{matrix}

（12）

为获得CRITIC法评价指标的信息量，需要计算指标间的变异性和冲突性。

（1）指标变异性

\{\begin{matrix} {\bar{B^{'}}}_{j} = \frac{1}{m} \sum_{i = 1}^{m} {B^{'}}_{i j} \\ S_{j} = \sqrt[]{\frac{\sum_{i = 1}^{m} {({B^{'}}_{i j} - {\bar{B^{'}}}_{j})}^{2}}{m - 1}} \end{matrix}

（13）

式中： $S_{j}$ 为第j个指标的标准差。

在CRITIC法中使用标准差来表示各指标的差异波动情况，标准差越大说明该指标的数值差异越大，越能反映出更多的信息，该指标本身的评价强度也越强，应给该指标分配更多的权重。

（2）指标冲突性

R_{j} = \sum_{i = 1}^{n} (1 - r_{i j})

（14）

式中： $r_{i j}$ 为评价指标i和j之间的相关系数。

使用相关系数来表示指标间的相关性，若某一个指标与其他指标的相关性越强，则该指标与其他指标的冲突性越小，反映出二者拥有的相同信息越多，所能体现的评价内容重复性更高，一定程度上削弱了该指标的评价强度，应减少给该指标分配的权重（刘晓悦等，2021）。若用G表示信息量，则信息量 $G_{j} = S_{j} \times R_{j}$ ， $G_{j}$ 越大，第j个评价指标在整个评价指标体系中的作用越大，应给其分配更多的权重。最终，CRITIC法的指标客观权重确定为

W_{j} = \frac{G_{j}}{\sum_{j = 1}^{n} G_{j}}

（15）

1.3 利用博弈论组合主客观权重

博弈论组合主客观权重的基本思想是针对某一评价指标的不同权重，寻找其一致性或者妥协，即极小化可能的权重跟各个基本权重之间的各自偏差。对于多指标决策问题，为了保证决策结果更加准确，设采用L种方法确定n个指标的权重，则其中按某一种方法获得的权重向量可表示为 $W_{q} = (w_{q 1}, w_{q 2}, \dots, w_{q n})$ ，其中q=1，2，…，l，则l个权重向量 W_q 的线性组合可表示为

W = \sum_{q = 1}^{l} α_{q} W_{q} (α_{q} > 0)

（16）

式中： W 为综合权重向量； $α_{q}$ 为线性组合系数。按照博弈论组合原理，要使 $W$ 与 $W_{q}$ 之间的离差最小化，即 $m i n ‖\sum_{j = 1}^{l} α_{j} {W_{j}}^{T} - {W_{i}}^{T}‖, i = 1,2, \dots, l$ ，依照微分原理求导，可得到最优化一阶导数的条件为 $\sum_{j = 1}^{l} α_{j} W_{i} {W_{j}}^{T} = W_{i} {W_{i}}^{T}$ ，而只要求解出式（17）对应的线性方程组，就可以得到相应的 $α_{q}$ 值，将 $α_{q}$ 代入式（17），即可求出主客观综合权重向量 W。

[\begin{matrix} W_{1} {W_{1}}^{T} & W_{1} {W_{2}}^{T} \\ W_{2} {W_{1}}^{T} & W_{2} {W_{2}}^{T} \end{matrix}] [\begin{matrix} α_{1} \\ α_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} W_{1} {W_{1}}^{T} \\ W_{2} {W_{2}}^{T} \end{matrix}]

（17）

2 基于主客观组合权重-TOPSIS模型建立

逼近理想解的排序方法（TOPSIS）是根据多个备选方案与正、负理想解之间的距离进行排序的。正理想解由综合评判结构体系中所有指标的最优值组成，是一个虚拟最优解，负理想解则是由所有指标的最劣值组成。从多个备选方案中寻求最优解就是确定离正理想解最近距离和离负理想解最远距离的方案（张钦礼等，2019）。

2.1 构造加权规范化决策矩阵Y

运用前文构造的标准化矩阵 $B' = {(B'_{i j})}_{m \times n}$ ，得到加权规范化决策矩阵 Y，表示为

\begin{array}{l} Y = {(y_{i j})}_{m \times n} = W_{j} \times B'_{i j}, \\ i = 1,2, \dots, m; j = 1,2, \dots, n \end{array}

（18）

式中：W_j 为评价体系中各元素的权重。

2.2 计算评判对象理想贴近度

评判对象的正负理想解可表示为

\{\begin{matrix} y^{+} = \{(\underset{i}{m a x} y_{i j}) | j \in J_{1}\}, \{(\underset{i}{m i n} y_{i j}) | j \in J_{2}\} \\ y^{-} = \{(\underset{i}{m i n} y_{i j}) | j \in J_{1}\}, \{(\underset{i}{m a x} y_{i j}) | j \in J_{2}\} \end{matrix}

（19）

式中：y⁺和y^-分别为正、负理想解；J₁和J₂分别为效益型指标和成本型指标。

评判对象与理想解之间的距离，可表示为

\begin{array}{l} \{\begin{matrix} d_{i}^{+} = \sqrt[]{\sum_{j = 1}^{n} {(y_{i j} - y_{j}^{+})}^{2}} \\ d_{i}^{-} = \sqrt[]{\sum_{j = 1}^{n} {(y_{i j} - y_{j}^{-})}^{2}} \end{matrix} \\ i = 1,2, \dots, m; j = 1,2, \dots, n \end{array}

（20）

式中： $d_{i}^{+}$ 和 $d_{i}^{-}$ 分别为评判对象与正、负理想解之间的距离； $y_{j}^{+}$ 和 $y_{j}^{-}$ 分别为 y⁺和y^-中相对应的元素。

评判对象与正理想解的贴近度可表示为

E_{i}^{+} = \frac{d_{i}^{-}}{d_{i}^{+} + d_{i}^{-}}, 0 \leq E_{i}^{+} \leq 1; i = 1,2, \dots, m

（21）

将贴近度 $E_{i}^{+}$ 按照从大到小进行排序， $E_{i}^{+}$ 越大则方案越优。

3 实例应用

3.1 采矿方法优选评价体系

通过参考大量文献及专家意见（王新民等，2008，2013；陈毅等，2017）建立的采矿方法优选综合评判指标体系（O）包含3个决策指标，分别是经济指标、技术指标和安全指标。3个决策指标下包括10个评判指标，如图2所示。

图2

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图2 采矿方法优选评价体系框架图

Fig.2 Framework diagram of mining method optimization evaluation system

通过文献中的工程实例（王新民等，2012，2013），对姑山露天铁矿驻留矿体的采矿方法进行优选，分析FEAHP-TOPSIP优选模型，初选4种采矿方法作为备选方案，分别是上向进路胶结充填法（C₁）、浅孔留矿嗣后充填法（C₂）、上向水平分层充填法（C₃）和下向水平分层充填法（C₄）。构建的采矿方法优选综合评判指标体系见表3。

表3 采矿方法优选综合评判指标体系（王新民等，2013；陈毅等，2017）

Table 3 Comprehensive evaluation index system for optimization of mining methods（Wang et al.，2013；Chen et al.，2017）

评判指标		C₁	C₂	C₃	C₄
经济指标（P₁）	采充总成本（X₁） / （元·t^-1）	86.2	58.5	71.6	66.9
	矿石回收率（X₂） / %	84	83	87	83
	矿石贫化率（X₃） / %	7	10	5	12
技术指标（P₂）	采切比（X₄） / （m³ ·k^-1·t^-1）	36.10	64.60	57.50	43.65
	方案灵活适应性（X₅）	0.75	0.55	0.85	0.55
	实施困难程度（X₆）	0.85	0.55	0.85	0.65
	采场生产能力（X₇） / （t·d^-1）	144.3	198.6	201.8	232
安全指标（P₃）	采空区最大暴露面积（X₈） / m²	470	822.4	390	470
	通风条件（X₉）	0.85	0.75	0.85	0.75
	爆破对边坡稳定性影响程度（X₁₀）	0.55	0.85	0.65	0.85

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3.2 基于FEAHP法确定主观权重向量

根据模糊扩展层次分析法的基本原理，参考专家和矿山工作人员的意见，采用三角标度法得到O-P层成对模糊比较判断矩阵（表4）。根据式（1）和式（2），一个三角模糊数M =（l，m，u）可被解模糊为一个清晰数： $M_c r i s p = (4 m + l + u) / 6$ ，得到O-P层清晰矩阵（表5）。

表4 O-P层模糊比较判断矩阵

Table 4 O-P layer fuzzy comparison judgment matrix

评判指标	经济指标（P₁）	技术指标（P₂）	安全指标（P₃）
经济指标（P₁）	（1，1，1）	（1/2，1，3/2）	（3/2，2，5/2）
技术指标（P₂）	（2/3，1，2）	（1，1，1）	（1，3/2，2）
安全指标（P₃）	（2/5，1/2，2/3）	（1/2，2/3，1）	（1，1，1）

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表5 O-P层清晰矩阵

Table 5 O-P layer clear matrix

评判指标	经济指标（P₁）	技术指标（P₂）	安全指标（P₃）
经济指标（P₁）	1.000	1.000	2.000
技术指标（P₂）	1.111	1.000	1.500
安全指标（P₃）	0.511	0.694	1.000

注：通过Matlab编程得到 $λ m a x = 2.0712$ ，CI=0.0356，RI=0.58，CR=0.0614 $<$ 0.10；矩阵通过一致性检验

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根据式（3）~式（10）可得指标P_i 对O层的模糊综合程度值：权重向量 $W' = {(1,0.89,0.38)}^{T}$ ，归一化后的权重向量 $W_{O} = {(0.441,0.392,0.167)}^{T}$ 。

重复上述步骤，可得P_i-X层成对模糊比较矩阵，再进行一致性检验，检验结构符合一致性，并得到各指标对于O层的权重向量，结果见表6~表8。

表6 P₁-X层模糊比较判断矩阵

Table 6 P₁-X layer fuzzy comparison judgment matrix

评判指标	X₁	X₂	X₃
X₁	（1，1，1）	（1/2，1，3/2）	（1，3/2，2）
X₂	（2/3，1，2）	（1，1，1）	（1，3/2，2）
X₃	（1/2，2/3，1）	（1/2，2/3，1）	（1，1，1）

注：将矩阵去模糊化得到清晰矩阵后，通过Matlab编程得到 $λ m a x = 2.0640$ ，CI=0.0320，RI=0.58，CR=0.0551 $<$ 0.10；矩阵通过一致性检验；归一化后权重向量为 $W p 1 = (0.382,0.382,0.236) T$ ，对于O层的权重向量为 $W p 1' = (0.168,0.168,0.105) T$

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表7 P₂-X层模糊比较判断矩阵

Table 7 P₂-X layer fuzzy comparison judgment matrix

评判指标	X₄	X₅	X₆	X₇
X₄	（1，1，1）	（1/2，1，3/2）	（1，3/2，2）	（1，3/2，2）
X₅	（2/3，1，2）	（1，1，1）	（1，3/2，2）	（1，3/2，2）
X₆	（1/2，2/3，1）	（1/2，2/3，1）	（1，1，1）	（1/2，1，3/2）
X₇	（1/2，2/3，1）	（1/2，2/3，1）	（2/3，1，2）	（1，1，1）

注：将矩阵去模糊化得到清晰矩阵后，通过Matlab编程得到 $λ m a x = 2.0640$ ，CI=0.0320，RI=0.9，CR=0.0356 $<$ 0.10；矩阵通过一致性检验；归一化后权重向量为 $W p 2 = (0.296,0.296,0.198,0.210) T$ ，对于O层的权重向量为 $W p 2' = (0.116,0.116,0.078,0.082) T$

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表8 P₃-X层模糊比较判断矩阵

Table 8 P₃-X layer fuzzy comparison judgment matrix

评判指标	X₈	X₉	X₁₀
X₈	（1，1，1）	（1/2，1，3/2）	（3/2，2，5/2）
X₉	（2/3，1，2）	（1，1，1）	（1，3/2，2）
X₁₀	（2/5，1/2，2/3）	（1/2，2/3，1）	（1，1，1）

注：将矩阵去模糊化得到清晰矩阵后，通过Matlab编程得到 $λ m a x = 2.0712$ ，CI=0.0356，RI=0.58，CR=0.0614 $<$ 0.10；矩阵通过一致性检验；归一化后权重向量为 $W p 3 = (0.441,0.392,0.167) T$ ，对于O层的权重向量为 $W p 3' = (0.074,0.065,0.028) T$

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综上，将 $W_{p_{1}}^{'}$ ， $W_{p_{2}}^{'}$ ， $W_{p_{3}}^{'}$ 整合到一起，得到各指标的主观权重向量：

\begin{array}{l} W_{1} = (0.168,0.168,0.105,0.116,0.116,0.078, \\ {0.082,0.074,0.065,0.028)}^{T} \end{array}

3.3 基于CRITIC法确定客观权重

（1）根据表3构建初始评判矩阵 $B = {(B_{i j})}_{m \times n}$ ，可表示为

{(B_{i j})}_{m \times n} = (\begin{matrix} 86.2 & 84 & 7 & 36.61 & 0.75 & 0.85 & 144.3 & 470 & 0.85 & 0.55 \\ 58.5 & 83 & 10 & 64.60 & 0.55 & 0.55 & 198.6 & 822.4 & 0.75 & 0.85 \\ 71.6 & 87 & 5 & 57.50 & 0.85 & 0.85 & 201.8 & 390 & 0.85 & 0.65 \\ 66.9 & 83 & 12 & 43.65 & 0.55 & 0.65 & 232 & 470 & 0.75 & 0.85 \end{matrix})

（22）

（2）将X₁、X₃、X₄、X₆和X₁₀当作成本型指标，将 X₂、X₅、X₇、X₈和X₉当作效益型指标。根据式（11）~式（15），得到客观权重向量： $W_{2} = (0.0911,0.0938,$

0.0852,0.1129,0.0961,0.1093,0.1041,0.1002,0.1095,

0.0978)

。

3.4 基于博弈论得到组合权重

根据 $W_{1} 、 W_{2}$ 以及式（16）、式（17），并利用MatlabR2018a软件计算得到组合权重： W =（0.1622， $0.1625,0.1047,0.1179,0.1159,0.0832,0.0862,0.0785,$ $0.0715,0.0367)$ 。

3.5 基于主客观组合权重-TOPSIS确定优选方案

根据上述组合权重可得到加权矩阵 Y= ${(y_{i j})}_{m \times n}$ ，表示为

{(y_{i j})}_{m \times n} = (\begin{matrix} 0 & 0.0406 & 0.0748 & 0.1179 & 0.0779 & 0 & 0 & 0.0148 & 0.0715 & 0.0367 \\ 0.1622 & 0 & 0.0299 & 0 & 0 & 0.0832 & 0.0526 & 0.0785 & 0 & 0 \\ 0.0860 & 0.1625 & 0.1047 & 0.0295 & 0.1159 & 0 & 0.0568 & 0 & 0.0715 & 0.0249 \\ 0.1129 & 0 & 0 & 0.0895 & 0 & 0.0544 & 0.0862 & 0.0148 & 0 & 0 \end{matrix})

（23）

依据式（19）可得到正、负理想解，表示为

\{\begin{matrix} y^{+} = (0,0.168,0, 0,0.116,0, 0.082,0.074,0.065,0) \\ y^{-} = (0.168,0, 0.105,0.116,0, 0.078,0, 0,0, 0.028) \end{matrix}

（24）

依据式（20）和式（21）计算4种方案的相对贴近度，结果见表9。

表9 4种方案的相对贴近度

Table 9 Relative paste progress of four schemes

方案	$d_{i}^{+}$	$d_{i}^{-}$	$E_{i}^{+}$	排序
方案1	0.7040	0.5872	0.4547	2
方案2	0.7556	0.6038	0.4441	3
方案3	0.5269	0.7496	0.5872	1
方案4	0.7581	0.5207	0.4072	4

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由表9可知，4种方案的相对贴近度分别为0.4547、0.4441、0.5872和0.4072，即C₃>C₁>C₂>C₄，C₃（上向水平分层充填法）的相对贴近度最高，C₄的相对贴近度最低。

该结论与矿山工程实例相符，且方案3（上向水平分层充填法）的相对贴近度明显高于其余3种方案，与文献（王新民等，2013）研究结果一致。同时，在评价体系指标权重的筛选上，运用FEAHP法能够在主观权重中保留更多的信息量，并运用博弈论将利用CRITIC法得到的客观权重与FEAHP法得到的主观权重相结合，改善了由于主观因素权重过重导致的评价体系失衡现象，说明构建的基于主客观组合权重-TOPSIS的采矿方法优选模型是科学、有效的。

4 结论

（1）参考专家和矿山工作人员认可的采矿方法优选综合评价体系，通过查阅大量文献，依照模糊扩展层次分析法原理来构造合理的成对模糊比较判断矩阵，并利用综合程度分析法对已构建的模糊判断矩阵进行处理，得到各评价指标对于采矿方法优选评价体系的主观权重。然后，利用CRITIC法原理，通过计算各评价指标的冲突性来表现指标之间的相对重要性，得到各评价指标的客观权重。

（2）运用博弈论原理来寻找由FEAHP法和CRITIC法得到的主客观权重的一致性，从而得到对于采矿方法优选体系中各评价指标的综合合理权重，准确地判断各指标间的相对重要性，以便于优选采矿方法。

（3）运用主客观组合权重-TOPSIS模型对采矿方法进行优选，得到4种方案的相对贴近度依次为0.4547、0.4441、0.5872和0.4072，由此得出最优方案为方案3（上向水平分层充填法，相对贴近度达到0.5872），反映出该方案满足现代采矿工程安全、低成本和高收益的要求，与矿山工程实例及前人研究结果相符，说明该模型具有科学性，对于采矿优选来说是行之有效的。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2022/1005-2518/1005-2518-2022-30-2-282.shtml

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文献年度倒序

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... 采矿方法选择是矿山开发投产过程中的关键环节，也是矿山企业能否实现盈利和持续发展的决定性因素之一.传统的采矿方法选择主要是通过对比几种备选方案的经济技术来确定最优方案，该方法易掌握，但存在考虑因素不足及容易忽略指标间的相对重要性等问题.鉴于此，学者们充分考虑影响矿山生产的相关因素之间的差异性、模糊性和随机性等非线性关系，将诸多算法理论与决策理论相结合，用以解决矿山实际生产问题.如：陈建宏等（2010）将主成分分析法与BP神经网络相结合，在保留BP神经网络高度非线性映射能力的同时，采用主成分分析法对数据进行预处理，减少了变量，提高了建模质量；刘文清等（2017）利用粗糙集理论从给定的信息中寻找内在规律，将矿山实际生产过程中不确定的信息清晰化.还有学者将灰色关联、博弈论、层次分析法（AHP）与TOPSIS相结合，将影响采矿方案的重要指标间的相对重要性数据化，并建立采矿方法优选模型（陈博宇等，2015；胡崴等，2016；陈毅等，2017；Ganesh et al.，2021；Seren et al.，2017；Chamoli，2015）. ...

Optimization of mining methods in Dayingezhuang gold mine based on AHP-CTODIM evaluation model

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Optimization of mining methods based on principal component analysis and neural network

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Optimization of mining methods based on game theory and relative entropy TOPSIS

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... Comprehensive evaluation index system for optimization of mining methods（Wang et al.，2013；Chen et al.，2017） ...

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Identification of critical path for the analysis of bituminous road transport network using integrated FAHP-FTOPSIS method

2021

Application of grey analytic hierarchy process in optimizing mining methods of Zhaoanzhuang iron mine

2016

Comparison of AHP and FAHP methods in determining suitable areas for drinking water harvesting in Birjand aquifer.Iran

2020

... 在采矿方法优选研究中，层次分析法（AHP）是相对科学的方法之一.然而，传统的层次分析法在进行系统分析评价时采用的是1~9标度法，需要决策者对系统内各影响因素之间的相对重要性进行准确评判（杨日辉等，2006）.事实上，由于受决策者知识储备、思维逻辑的不确定性以及各种定性、定量指标之间关联性的影响，很难精确地用数字来表达指标之间的相对重要性.模糊扩展层次分析法（FEAHP）（Khashei-Siuki et al.，2020；Thapar et al.，2020；Kilincci et al.，2011）是在模糊层次分析法的基础上，运用程度分析法确定指标权重的方法.在采矿方法优选过程中，程度分析法用于考虑目标需要满足某个对象的程度.在该方法中，采矿方法优选体系各指标间的相对重要性是通过使用模糊数来量化的.基于每个对象的程度分析的模糊值，可以获得模糊综合度值，利用综合程度分析法计算各指标对于采矿方法优选体系的主观权重，较好地保留了模糊矩阵中的信息量，避免模糊矩阵清晰化时导致信息大量丢失.尽管如此，如果单一的在主观赋权法上进行研究，依旧是不合理的，有必要在采矿方法优选指标赋权中引入客观赋权法，只有将主客观相结合才能得到更加合理的指标权重值. ...

Fuzzy AHP approach for supplier selection in a washing machine company

2011

Determining the importance weights for the customer requirements in QFD using a fuzzy AHP with an extent analysis approch

2003

... （2）一致性检验.利用三角模糊数去模糊化方式，将成对模糊比较判断矩阵转化为清晰矩阵，并进行一致性检验（Kwong et al.，2003）.一个三角模糊数M =（l，m，u）可被解模糊为一个清晰数：

M_c r i s p = (4 m + l + u) / 6

.利用公式

C R = C I / R I

，

C I = ((λ_{m a x} - n) / (n - 1))

进行一致性检验，其中：

λ_{m a x}

为矩阵的最大特征向量，n为矩阵阶数；RI为平均随机一致性指标，可由表2确定；CI为偏离完全一致性指标，判断矩阵越接近完全一致性，其值越小.当

C R < 0.10

时，表示判断矩阵的一致性符合要求；当

C R > 0.10

时，则需调整模糊判断矩阵并清晰化，重新获得CR值. ...

Intuitionistic fuzzy TOPSIS multi-attribute decision-making method based on rough set

2017

Multidimensional cloud model rockburst prediction based on improved hierarchy method and CRITIC method

2021

Optimization of trolley tunneling cutting scheme based on AHP and improved TOPSIS method

2013

Integrating FAHP and TOPSIS to evaluate mobile learning applications for mathematics

2017

Quantifying reusability of software components using hybrid fuzzy analytical hierarchy process （FAHP）-Metrics approach

2020

Optimal selection of open-pit to underground mining based on AHP-TOPSIS

2012

Optimization of Gushan resident mine mining method based on AHP-TOPSIS evaluation model

2013

... Comprehensive evaluation index system for optimization of mining methods（Wang et al.，2013；Chen et al.，2017） ...

Selection of mining methods based on analytic hierarchy process and fuzzy mathematics

2008

Fuzzy comprehensive evaluation of environmental impact in post-evaluation of highway network based on new AHP method

2006

Optimization of gently inclined thin vein mining method based on variable weight theory and TOPSIS

2019

A discussion on extent analysis method and applications of fuzzy AHP

1999

... 式中：d为

μ_{M_{1}}

和

μ_{M_{2}}

的最高交叉点D的横坐标；

μ (d)

为D点纵坐标.从图1可以看出，

μ_{M_{1}}

和

μ_{M_{2}}

的最高交叉点为D点.

图1M1和M2之间的交集（<xref ref-type="bibr" rid="R21">Zhu et al.，1999</xref>）Intersection between M1 and M2（<xref ref-type="bibr" rid="R21">Zhu et al.，1999</xref>）

Fig.1

（4）一个模糊数大于h个模糊数M_i （i=1，2，…，h）的可能性定义为 ...

... （Zhu et al.，1999）Fig.1

（4）一个模糊数大于h个模糊数M_i （i=1，2，…，h）的可能性定义为 ...

基于 AHP-CTODIM评判模型的大尹格庄金矿采矿方法优选

2015

基于主成分分析与神经网络的采矿方法优选

2010

基于博弈论与相对熵TOPSIS的采矿方法优选

2017

... 通过参考大量文献及专家意见（王新民等，2008，2013；陈毅等，2017）建立的采矿方法优选综合评判指标体系（O）包含3个决策指标，分别是经济指标、技术指标和安全指标.3个决策指标下包括10个评判指标，如图2所示. ...

... 采矿方法优选综合评判指标体系（王新民等，2013；陈毅等，2017） ...

基于改进VIKOR法的多属性决策方法及其在水利工程中的应用

2015

... 为了定量地描述任意指标之间的相对重要性，通常采用表1所示的语言变量及其对应的三角模糊数（邓剑，2015）. ...

灰色层次分析法在赵案庄铁矿采矿方法优选中的应用

2016

基于粗糙集的直觉模糊TOPSIS多属性决策方法

2017

基于改进层次法与CRITIC法的多维云模型岩爆预测

2021

... 使用相关系数来表示指标间的相关性，若某一个指标与其他指标的相关性越强，则该指标与其他指标的冲突性越小，反映出二者拥有的相同信息越多，所能体现的评价内容重复性更高，一定程度上削弱了该指标的评价强度，应减少给该指标分配的权重（刘晓悦等，2021）.若用G表示信息量，则信息量

G_{j} = S_{j} \times R_{j}

，

G_{j}

越大，第j个评价指标在整个评价指标体系中的作用越大，应给其分配更多的权重.最终，CRITIC法的指标客观权重确定为 ...

基于AHP和改进TOPSIS法的台车掘进掏槽方案优选

2013

... 为了消除不同评判指标的不可公度性，将评判矩阵的元素进行无量纲处理，标准化矩阵

B' = {(B'_{i j})}_{m \times n}

，计算公式（罗佳等，2013）为 ...

基于AHP-TOPSIS的露天转地下采矿方案优选

2012

... 通过文献中的工程实例（王新民等，2012，2013），对姑山露天铁矿驻留矿体的采矿方法进行优选，分析FEAHP-TOPSIP优选模型，初选4种采矿方法作为备选方案，分别是上向进路胶结充填法（C₁）、浅孔留矿嗣后充填法（C₂）、上向水平分层充填法（C₃）和下向水平分层充填法（C₄）.构建的采矿方法优选综合评判指标体系见表3. ...

基于AHP- TOPSIS 评判模型的姑山驻留矿采矿方法优选

2013

... 采矿方法优选综合评判指标体系（王新民等，2013；陈毅等，2017） ...

... 该结论与矿山工程实例相符，且方案3（上向水平分层充填法）的相对贴近度明显高于其余3种方案，与文献（王新民等，2013）研究结果一致.同时，在评价体系指标权重的筛选上，运用FEAHP法能够在主观权重中保留更多的信息量，并运用博弈论将利用CRITIC法得到的客观权重与FEAHP法得到的主观权重相结合，改善了由于主观因素权重过重导致的评价体系失衡现象，说明构建的基于主客观组合权重-TOPSIS的采矿方法优选模型是科学、有效的. ...

基于层次分析和模糊数学的采矿方法选择

2008

基于新AHP法的公路路网后评价中环境影响的模糊综合评价

2006

基于变权重理论和TOPSIS的缓倾斜薄矿脉采矿方法优选

2019

... 逼近理想解的排序方法（TOPSIS）是根据多个备选方案与正、负理想解之间的距离进行排序的.正理想解由综合评判结构体系中所有指标的最优值组成，是一个虚拟最优解，负理想解则是由所有指标的最劣值组成.从多个备选方案中寻求最优解就是确定离正理想解最近距离和离负理想解最远距离的方案（张钦礼等，2019）. ...

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