平面P波入射圆形夹塞动应力集中规律研究

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.05.030

平面P波入射圆形夹塞动应力集中规律研究

陶明^,¹^,², 姚靖¹^,², 李夕兵¹^,²

1.中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

2.深部金属矿产开发与灾害控制湖南省重点实验室，湖南长沙 410083

Dynamic Stress Concentration Laws of Cylindrical Inclusion Under Incident Plane P Waves

TAO Ming^,¹^,², YAO Jing¹^,², LI Xibing¹^,²

1.School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, Hunan, China

2.Hunan Key Laboratory of Resources Exploitation and Hazard Control for Deep Metal Mines, Changsha 410083, Hunan, China

收稿日期: 2022-02-21 修回日期: 2022-05-17

基金资助:

国家自然科学基金面上项目“动力扰动遇含夹塞体硐室散射引起的围岩动态应力集中与破裂规律”. 12072376

Received: 2022-02-21 Revised: 2022-05-17

作者简介 About authors

陶明（1982-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，从事岩石动力学方面的研究工作mingtao@csu.edu.cn , E-mail：mingtao@csu.edu.cn

摘要

在地下矿山的爆破开挖过程中，爆破地震波对夹塞周边围岩的稳定性具有重要的影响。为了研究平面P波作用下夹塞的动应力集中情况，以爆破地震波中的平面P波作为研究对象，利用波函数展开法以及Fourier积分得到了瞬态波入射夹塞的动应力集中因子的解析解。分析了围岩和夹塞的剪切弹性模量、泊松比及波数对动应力集中因子的影响。结果表明：低波数时瞬态波在夹塞周围产生更大的动应力集中因子。利用有限元软件LS-DYNA建立了波入射含夹塞岩体的数值模型，计算瞬态波在夹塞处的散射和应力集中，获得了夹塞周边的压力云图、有效应力云图以及破坏情况。研究结果验证了数值计算的正确性，并且得到破坏区域即为应力集中因子最大位置。

关键词： 应力波 ; 平面P波 ; 圆柱形夹塞 ; 瞬态P波散射 ; 动应力集中因子 ; 波数

Abstract

The influences of blasting seismic waves on inclusion is crucial in the blasting excavation process. Part of the energy generated by blasting is used for the fragmentation of the rock mass，and the remaining part is propagated to a distance in the form of elastic waves.The scattering of stress waves at the structural discon-tinuity leads to the migration and accumulation of energy，resulting in local high energy and high stress，and then lead to rock failure.The plane P wave in the blasting seismic wave was taken as the research object and wave function expansion method was used to solve the scattering and dynamic stress concentration around the cylinder inclusion in the full plane under steady state linear elastic incident P wave.Under the cylindrical coor-dinate system，Bessel equation was obtained by separating variables from Helmholtz equation.Considering the simplicity of Bessel function in solving cylindrical boundary problem，the incident plane wave was expanded into the series of Bessel function，and the full wave function was obtained from the stress boundary condition of the cylindrical inclusion，then the response of the cylindrical inclusion subjected to the steady state linear elastic stationary incident P wave was obtained.Through the Fourier integral transformation of transient impact，the dynamic stress concentration of transient incident P wave around a cylindrical inclusion could be obtained.The effects of shear elastic modulus，Poisson’s ratio and wave number on the dynamic stress concentration factor were analyzed.The results show that the dynamic stress concentration factor reaches its maximum value when the wave number is 0.25，and the maximum value appears in the counterclockwise 90° and 270° directions of the inclusion.With the increase of wave number，tensile stress concentration occurs in the surrounding rock in the directions of 0° and 180°，which may lead to the failure of the surrounding rock. In addition，the finite element software LS-DYNA was used to establish a numerical model of wave incident rock mass with inclusions.The scattering and stress concentration of the transient wave at the inclusion were calculated，the pressure and effective stress chart around the inclusion and the rock mass failure were obtained.The distribution and numerical value of the stress concentration factor obtained by the simulation are very close to the numerical calculation，which proves the correctness of the numerical calculation.The results show that the larger the difference between the shear elastic modulus of the surrounding rock and the inclusion，the more obvious the dynamic stress concentration，and the larger the failure area of the surrounding rock is. The CSCM cap model material was used to establish a model，and the damage of surrounding rock under the action of transient wave incidence was obtained.The results show that the cracks appear in the counterclockwise 90° and 270° directions，that is，the position of the maximum value of the dynamic stress concentration factor.

Keywords： stress wave ; plane P wave ; cylindrical inclusion ; transient P wave scattering ; dynamic stress concentration factor ; wave number

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本文引用格式

陶明, 姚靖, 李夕兵. 平面P波入射圆形夹塞动应力集中规律研究[J]. 黄金科学技术, 2022, 30(5): 691-703 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.05.030

TAO Ming, YAO Jing, LI Xibing. Dynamic Stress Concentration Laws of Cylindrical Inclusion Under Incident Plane P Waves[J]. Gold Science and Technology, 2022, 30(5): 691-703 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2022.05.030

地下爆破施工产生的扰动常导致地下结构的破坏。这些扰动在地下岩层中以应力波的形式传播，当波遇到不连续体时，如节理和夹塞等，波的传播状态会发生改变且发生散射。从各种因动态扰动造成的地下构筑物破坏实例（Wang et al.，2009；Cui et al.，2016）来看，发生破坏的位置常常位于不连续面周围。

波入射作用下空腔的散射和应力集中方面的研究成果较为丰富，边界条件、波的性质和材料参数等方面均进行了深入且广泛的研究。动应力响应可由动应力集中因子（DSCF）表征。Pao et al.（1973）较为系统地介绍了弹性波散射和动应力集中问题。Li et al.（2020）采用复变函数法求解了瞬态P波作用下浅埋圆形空腔周围的动应力集中情况，给出了空腔深度、入射角和波峰位置对动应力集中因子（DSCF）分布的影响。赵春香等（2016）研究了SH波入射作用下半空间界面圆孔的动力响应，给出了该问题的解析解和动应力分布规律。陈涛等（2006）研究了板的横截面处孔洞在平面Ｐ波入射下动应力集中问题，并得出自由表面与孔洞的距离对动应力集中有影响。除了圆形截面的散射体外，陈志刚（2005）研究了平面SH波在弹性半空间中浅埋椭圆柱形孔洞上的散射，结果表明浅埋孔洞与水平表面存在强烈的相互作用并产生动应力集中。Ghafarollahi et al.（2018）基于多极展开法分析了SH波以任意角度入射到椭圆形截面空腔或裂缝时的反平面散射问题，结果表明入射波数、入射波角及空腔到双材料界面的距离等参数对围岩的动力响应具有显著影响。Tao et al.（2020a）采用波函数展开法求解了SH波作用下的全平面椭圆空腔周围的散射和动应力集中问题，研究表明入射波、波数和椭圆轴比对动应力集中具有较大的影响。路世伟等（2021）研究了柱面SH波入射下管道周边的动应力集中规律，结果表明震源距离和波频率对应力集中具有重要影响。

硐室、空腔往往包含一些充填物，如硐室中的夹塞和取水隧道中的水，这些充填物一般被称为夹塞。波入射含夹塞孔洞的散射和应力集中问题具有更加复杂的边界条件，波的入射不仅会有夹塞反射回到围岩中的波，而且有透射进夹塞中的波。袁晓铭（1996）采用波函数展开法给出了半空间中圆形夹塞物对平面SH波散射的封闭解析解。刘殿魁等（1999）运用Green函数法求解了SH波对界面圆柱形弹性夹塞的散射，给出围岩参数对界面圆柱形弹性夹塞的动应力集中系数的影响。杨在林等（2009）采用Green函数、复变函数和多极坐标等方法研究了圆形夹塞和裂纹组合对SH波的散射与地表位移，讨论各种参数对夹塞上方地表位移的影响。吕晓棠等（2009）研究了多个半圆形凸起及附近浅埋弹性夹杂对SH波的散射问题。尤红兵等（2009）利用间接边界元方法，在频域内求解了层状场地中局部不均匀体对平面Ｐ波的散射。刘中宪等（2012）研究了流体饱和半空间中夹塞物对平面SV波的散射问题，探讨了多种因素对波散射特征的影响。

以往研究关注于稳态波入射的情况，缺少瞬态波入射下动应力集中因子的研究。本文在稳态结果的基础上，进一步计算出瞬态波在圆形弹性夹塞周边的动态响应。使用平面P波作为稳态的入射波获得不同波数和不同材料参数条件下的动应力集中因子（DSCF）。利用Fourier积分变换将不同频率的稳态波入射求得的DSCF叠加获得瞬态DSCF。建立基于LS-DYNA瞬态波入射计算模型。数值模拟结果表明，围岩与夹塞的弹性模量之比对模型的应力集中因子和破坏区域大小具有重要影响。

1 问题模型与理论分析

1.1 控制方程

对于动荷载作用下圆柱形夹塞的动力响应，可以将问题简化为平面应力问题。考虑无限均匀弹性介质中有一个无限长圆柱体夹塞，夹塞中心位于O处，如图1所示。

图1

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图1 几何模型

Fig.1 Geometric model

弹性波在传播方向上遇到圆形夹塞，会在夹塞周围发生散射和透射。散射波与入射波在夹塞周边介质中叠加造成夹塞周边动应力集中。以圆形夹塞中心为原点建立极坐标系（r，θ），P波入射方向为x+方向。

平面P波入射且在圆形夹塞周边发生散射，向介质反射P波和S波，同时，在夹塞中产生S驻波和P驻波。利用Fourier级数将入射波表达式展开，根据Bessel函数的积分定义有：

$φ^{(i)} = φ_{0} \sum_{n = 0}^{\infty} ε_{n} i^{n} J_{n} (α_{1} r) c o s n θ e^{- i ω t}$

（1）

式中 $: ε_{n} = \{\begin{matrix} 1, n = 1 \\ 2, n = 1,2, \dots \end{matrix}$

介质中的散射P波和S波位移势函数分别表示为

$φ^{(r)} = \sum_{n = 0}^{\infty} A_{n} H_{n}^{(1)} (α_{1} r) c o s n θ e^{- i ω t}$

（2）

$ψ^{(r)} = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} H_{n}^{(1)} (β_{1} r) s i n n θ e^{- i ω t}$

（3）

式中：A_n 和B_n 为未知系数； $α_{1}$ 和 $β_{1}$ 分别为介质中的P波和S波波数。

弹性夹塞中的透射P驻波和S驻波分别表示为

$φ^{(f)} = \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} J_{n} (α_{2} r) c o s n θ e^{- i ω t}$

（4）

$ψ^{(f)} = \sum_{n = 0}^{\infty} D_{n} J_{n} (β_{2} r) s i n n θ e^{- i ω t}$

（5）

式中：C_n 和D_n 为未知系数； $α_{2}$ 和 $β_{2}$ 分别为夹塞中的P波和S波波数。

1.2 应力边界条件和稳态计算

假设研究的模型具有完美接触面，即当r=a时，应力与位移在跨越交界面时保持连续。有下列公式成立：

$\{\begin{matrix} μ_{r 1} = μ_{r 2} \\ μ_{θ 1} = μ_{θ 2} \\ σ_{r r 1} = σ_{r r 2} \\ σ_{r θ 1} = σ_{r θ 2} \end{matrix}$

（6）

介质中的应力表达式为

$\{\begin{matrix} σ_{r r 1} = 2 μ_{1} r^{- 2} \sum_{n = 0}^{\infty} [ε_{n} i^{n} φ_{0} ε_{11}^{(1)} (α_{1} r) + A_{n} ε_{11}^{(3)} (α_{1} r) + B_{n} ε_{12}^{(3)} (β_{1} r)] c o s n θ e^{- i ω t} \\ σ_{r θ 1} = 2 μ_{1} r^{- 2} \sum_{n = 0}^{\infty} [ε_{n} i^{n} φ_{0} ε_{41}^{(1)} (α_{1} r) + A_{n} ε_{41}^{(3)} (α_{1} r) + B_{n} ε_{42}^{(3)} (β_{1} r)] s i n n θ e^{- i ω t} \\ σ_{θ θ 1} = 2 μ_{1} r^{- 2} \sum_{n = 0}^{\infty} [ε_{n} i^{n} φ_{0} ε_{21}^{(1)} (α_{1} r) + A_{n} ε_{21}^{(3)} (α_{1} r) + B_{n} ε_{22}^{(3)} (β_{1} r)] c o s n θ e^{- i ω t} \end{matrix}$

（7）

介质中的位移表达式为

$\{\begin{matrix} u_{r 1} = r^{- 1} \sum_{n = 0}^{\infty} [ε_{n} i^{n} φ_{0} ε_{71}^{(1)} (α_{1} r) + A_{n} ε_{71}^{(3)} (α_{1} r) + B_{n} ε_{72}^{(3)} (β_{1} r)] c o s n θ e^{- i ω t} \\ u_{θ 1} = r^{- 1} \sum_{n = 0}^{\infty} [ε_{n} i^{n} φ_{0} ε_{81}^{(1)} (α_{1} r) + A_{n} ε_{81}^{(3)} (α_{1} r) + B_{n} ε_{82}^{(3)} (β_{1} r)] s i n n θ e^{- i ω t} \end{matrix}$

（8）

弹性夹塞中的应力表达式为

$\{\begin{matrix} σ_{r r 2} = 2 μ_{1} r^{- 2} \sum_{n = 0}^{\infty} [C_{n} ε_{11}^{(1)} (α_{2} r) + D_{n} ε_{12}^{(1)} (β_{2} r)] c o s n θ e^{- i ω t} \\ σ_{r θ 2} = 2 μ_{1} r^{- 2} \sum_{n = 0}^{\infty} [C_{n} ε_{41}^{(1)} (α_{2} r) + D_{n} ε_{42}^{(1)} (β_{2} r)] s i n n θ e^{- i ω t} \end{matrix}$

（9）

弹性夹塞中的位移表达式为

$\{\begin{matrix} u_{r 2} = r^{- 1} \sum_{n = 0}^{\infty} [C_{n} ε_{71}^{(1)} (α_{2} r) + D_{n} ε_{72}^{(1)} (β_{2} r)] c o s n θ e^{- i ω t} \\ u_{θ 2} = r^{- 1} \sum_{n = 0}^{\infty} [C_{n} ε_{81}^{(1)} (α_{2} r) + D_{n} ε_{82}^{(1)} (β_{2} r)] s i n n θ e^{- i ω t} \end{matrix}$

（10）

式中： $ε_{11}^{(1)}, ε_{11}^{(3)}, ε_{22}^{(3)}$ ，…为各种波对应力做出的贡献（Pao et al.，1973）； $μ_{1}$ 和 $μ_{2}$ 分别为介质和弹性夹塞中的剪切弹性模量。

将得到的应力和位移表达式代入边界连续条件，即式（6），得到求解系数A_n 、B_n 、C_n 和D_n_{的联立方程组，用矩阵表示为}

$Q M^{T} = P^{T}$

（11）

式中： $Q$ 为 ${[E_{i j}]}_{4 \times 4}$ 矩阵； $M$ 和 $P$ 为向量。

$Q = [\begin{matrix} \begin{matrix} \tilde{μ} E_{11}^{(3)} (α_{1}) & \tilde{μ} E_{12}^{(3)} (β_{1}) \\ \tilde{μ} E_{41}^{(3)} (α_{1}) & \tilde{μ} E_{42}^{(3)} (β_{1}) \end{matrix} & \begin{matrix} - E_{11}^{(1)} (α_{2}) & - E_{12}^{(1)} (β_{2}) \\ - E_{41}^{(1)} (α_{2}) & - E_{41}^{(1)} (β_{2}) \end{matrix} \\ \begin{matrix} E_{71}^{(3)} (α_{1}) & E_{72}^{(3)} (β_{1}) \\ E_{81}^{(3)} (α_{1}) & E_{82}^{(3)} (β_{1}) \end{matrix} & \begin{matrix} - E_{71}^{(1)} (α_{2}) & - E_{72}^{(1)} (β_{2}) \\ - E_{81}^{(1)} (α_{2}) & - E_{82}^{(1)} (β_{2}) \end{matrix} \end{matrix}]$

（12）

$M = [A_{n} B_{n} C_{n} D_{n}]$

（13）

$P = - φ_{0} ε_{n} i^{n}$

$[\tilde{μ} E_{11}^{(1)} (α_{1}) \tilde{μ} E_{41}^{(1)} (α_{1}) \tilde{μ} E_{71}^{(1)} (α_{1}) \tilde{μ} E_{81}^{(1)} (α_{1})]$

（14）

式中： $E_{11}^{(1)} (α_{1})$ 代表 $ε_{11}^{(1)} (α_{1} r)$ 在边界处的值； $\tilde{μ} = μ_{1} / μ_{2}$ 为介质与夹塞的剪切弹模之比。利用计算机编程求解A_n 和B_n 系数。

在没有不连续体的情况下，波在介质中自由传播导致的应力可表示为

$σ_{0} = - α^{2} (λ + 2 μ) φ_{0}$

（15）

将求得的未知系数代入式（7）中，根据单位波传播条件下环向应力集中因子公式［式（16）］，可以求得稳态应力集中因子。

$σ_{θ θ}^{*} = \frac{σ_{θ θ}}{σ_{0}} = \{λ \nabla^{2} Φ + 2 μ [\frac{1}{r} (\frac{\partial Φ}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial θ^{2}}) + \frac{1}{r} (\frac{1}{r} \frac{\partial Ψ}{\partial θ})] e^{- i ω t}\} / - α^{2} (λ + 2 μ)$

（16）

2 稳态波入射时夹塞的动力响应

夹塞周围DSCF依赖于介质和夹塞的剪切弹模之比 $\tilde{μ}$ ，波速之比 $γ_{p}$ 以及各自的泊松比v₁、v₂。假设介质与夹塞的波速之比 $γ_{p}$ =1.5，泊松比和剪切弹模之比则在讨论时给出。

在介质和夹塞的剪切弹模、速度之比及泊松比等各项性质均相等的情况下，计算圆形夹塞周边的DSCF。在这种极限情况下，入射P波不会发生散射。计算结果如图2所示。

图2

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图2 介质与夹塞物理性质相同情况下夹塞周边应力图

Fig.2 Stress diagram around the inclusion when the physical properties of the medium and inclusion are the same

计算结果显示，环向DSCF峰值出现在θ=90°和θ=270°位置并且值为1。夹塞周边没有出现应力集中，也就是说入射P波在夹塞周边没有发生散射。径向DSCF峰值出现在θ=0°和θ=180°位置，峰值也为1，该结果符合波在无夹塞介质中自由传播的假设，说明数值计算正确。

单独考虑剪切弹性模量之比对环向DSCF的影响， $\tilde{μ}$ 从接近1开始取值并逐渐增大，取3组值 $\tilde{μ}$ =1.2，2.5，5.0。

剪切弹模之比对DSCF的影响见图3。如图3（a）所示，DSCF在波数0~0.3范围内经历一个微小的上升且达到峰值，然后下落。当介质和夹塞泊松比分别为v₁=0.25、v₂=0.20， $\tilde{μ}$ 取1.8时，DSCF在αa=0.4时达到最大值1.46。当 $\tilde{μ}$ 取2.5时，DSCF在αa=0.33时达到最大值1.67。当 $\tilde{μ}$ 增加至5.0时，DSCF最大值提高到2.10，在αa=0.27处出现。通过对比3组结果，发现DSCF随 $\tilde{μ}$ 的增大而增大。

图3

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图3 泊松比为v₁=0.25、v₂=0.20时环向动应力集中因子与波数的关系

Fig.3 Relationship between hoop DSCF and wave number when the Poisson’s ratio is v₁=0.25，v₂=0.20

图4（a）中3条曲线分别代表波数αa=0.2、1.0、2.0时DSCF分布情况。由图4（a）可知，DSCF最大值出现在夹塞周边θ=π/2和θ=3π/2处，最小值出现在θ=0和θ=π处。DSCF与波数αa大小呈负相关。图4（b）为波数αa=2.5、3.5、5.0时DSCF分布情况，DSCF最大值出现在夹塞周边θ=π/2和θ=3π/2处，DSCF与波数αa呈负相关。对比图4（a）和图4（b）可知，随着波数的增大，DSCF逐渐减小，且DSCF在夹塞周边的分布也发生了变化。

图4

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图4 不同波数时圆夹塞周边DSCF分布

Fig.4 Distribution of DSCF around the circular inclusion with different wave number

图5（a）所示为3种情况夹塞与介质泊松比之比v₁/v₂分别等于0.8、0.5和0.2。从图5（a）中可知，DSCF在θ=π/2和θ=3π/2处达到最大值，且三者大小相近；DSCF在θ=0或θ=π处取得最小值。图5（b）中介质泊松比之比v₁/v₂分别等于1.25、2.00和5.00。DSCF最大值也是在θ=π/2和θ=3π/2处出现。

图5

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图5 不同泊松比组合情况下夹塞周边DSCF分布

Fig.5 Distribution of DSCF around the inclusion with different Poisson’s ratio combinations

3 瞬态波入射时夹塞的动力响应

爆破或地震引起的地震波具有明确的起始时间，且不是周期性的，这与稳态波相比有一定的差别。通过分析稳态波入射作用下的散射和动应力集中问题后，进一步求出瞬态波入射作用下的散射和动应力集中。

获得瞬态波反应的通常做法是先求得稳态波入射的反应，然后将不同频率入射波的反应叠加。Fourier变换在整个过程中起着重要的桥梁作用。分析一个线性系统在输入任意一个函数f（t）时的瞬态反应g（x_i，t），可表示为

$g (x_{i}, t) = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} χ (x_{i}, ω) F (ω) e^{- i ω t} d ω$

（17）

式中： $χ (x_{i}, ω)$ 为系统的导纳函数，稳态条件下夹塞周边的应力集中因子 $σ_{θ θ}^{*}$ 就是导纳函数 $χ (x_{i}, ω)$ 。根据定义，瞬态条件下，应力集中因子表达式为

${\bar{σ}}_{θ θ}^{*} = \frac{1}{\sqrt[]{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} σ_{θ θ}^{*} F (ω) e^{- i ω t} d ω$

（18）

剧烈的地震扰动会产生一个移动的小波，它的形状由地球上弹性波的吸收光谱的性质决定（Ricker，1940）。Ricker（1940）将尖锐的波形转换成由地球吸收光谱截止的陡度决定的移动“小波”，即雷克子波，并给出了雷克子波的数学证明及数学表达式。因此本文选择雷克子波作为入射的瞬态波形，可以很好地模拟爆破产生的扰动，如图6所示。

图6

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图6 主频为60π雷克子波波形图

Fig.6 Ricker wavelet waveform with dominant frequency of 60π

从图6可以看出，雷克子波的延续时间短、收敛快，旁瓣的幅度与上主瓣幅度的比值为1/2 $e^{\frac{3}{2}}$ ，约等于2.241。雷克子波在时域上的表达式（Ricker，1940）为

$f (x) = \{\begin{matrix} (1 - \frac{1}{2} ω_{p}^{2} {(t - t_{0})}^{2}) e^{- \frac{1}{4} ω_{p}^{2} ({(t - t_{0})}^{2})} (t \in [t_{0}, t_{0} + T]) \\ 0 (t < t_{0} ⋃ t > t_{0} + T) \end{matrix}$

（19）

假设瞬态波在t=0时刻传到原点即圆夹塞中心，需要将波形f（t）在横轴上向右移动时间 $t_{0} = (r_{0} + a) / c_{p} + T / 2$ ，r₀ 为波起始位置距圆心距离，a为圆夹塞半径，T为雷克子波一个波长对应的时间。雷克子波的傅立叶变换表达式（张莹莹等，2017）为

$F (ω) = \frac{4 ω^{2} \sqrt[]{π}}{ω_{p}^{3}} e^{(- \frac{ω^{2}}{ω_{p}^{2}})} e^{i ω t_{0}}$

（20）

雷克子波2处最小值之间的脉冲时间跨度为T_D。如图7所示，它和主频的关系（Nobes，2016）如下：

$T_{D} = 2 \sqrt[]{6} / ω_{p}$

（21）

图7

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图7 雷克子波造成的环向DSCF

Fig.7 Hoop DSCF generated by the Ricker wavelet

得到脉冲时间跨度T_D之后，将T_D与波的速度相乘，获得脉冲波长λ_D和波数k_D。

$λ_{D} = T_{D} \times c_{p}$

（22）

$k_{D} = 2 π / λ_{D}$

（23）

4 瞬态DSCF结果分析

定义圆夹塞半径为5 m，震源距原点即圆夹塞中心10 m，介质的密度为2 790 kg/m³，弹性模量为50 GPa，且介质与夹塞的弹性模量之比 $\tilde{μ}$ =2.5，泊松比分别为v₁=0.25、v₂=0.20，波速之比γ_p=1.5。

选取3个时刻T₁、T₂和T₃，如图7所示，这3个时刻分别对应DSCF取最小值、中间值和最大值的时刻，具有代表性。观察波形上不同点的DSCF分布情况，如图8所示。

图8

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图8 不同时刻圆夹塞周边瞬态环向DSCF分布

Fig.8 Transient hoop DSCF distribution around the circular inclusion at different times

图8（a）表示副瓣峰值抵达圆心位置时DSCF分布情况，DSCF峰值为-1.63，出现在θ=π/2和3π/2处。t=0.00362 s时刻夹塞的θ=2π/3和θ=4π/3处DSCF达到最大值1.07，而在θ=0处出现负值为0.612［图8（b）］。t=0.00402 s时刻接近主瓣峰值抵达时刻，DSCF最大值达到2.89［图8（c）］。

图9中代表DSCF的实线与代表波形的虚线出现较大差别，说明波在径向上的散射现象很明显。3个不同时刻T₁、T₂和T₃的应力集中分布如图10所示。在t=0.00242 s时刻，夹塞周边θ=π处出现较小的径向正应力DSCF为0.32，而在θ=0处出现径向拉应力DSCF为-0.50［图10（a）］。在t=0.00371 s时刻，DSCF最大值为2.73，出现在夹塞周边θ=π处，最小值为-1.78，出现在夹塞周边θ=0处［图10（b）］。在t=0.00561 s时刻，径向DSCF最大值为1.81，出现在θ=0处，最小值为-2.13，出现在θ=π处［图10（c）］。

图9

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图9 雷克子波造成的径向DSCF

Fig.9 Radial DSCF generated by the Ricker wavelet

图10

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图10 不同时刻圆夹塞周边瞬态径向DSCF分布

Fig.10 Transient radial DSCF distribution around the circular inclusion at different times

5 数值模拟和分析

数值模拟是解决波在复杂边界处的散射和动应力集中问题的有效手段，利用有限元软件LS-DYNA建立瞬态波入射夹塞的模型，计算波在夹塞处的散射和应力集中。物理模型的尺寸为20 m×20 m×1 m，如图11（a）所示。圆形夹塞直径取2 m，夹塞边界距矩形边界的距离为9 m，是夹塞直径的4.5倍，这样就避免了波入射过程中受到来自边界反射波的影响。雷克子波由右面入射，使用关键字*LOAD_SEGMENT_SET加载压力曲线，其余边界面设置为无反射边界条件，使用关键字为*BOUNDARY_NON_REFLECTING。为了更好地满足理想边界条件，夹塞与围压采用共节点接触，不另设接触面，如图11（b）所示。

图11

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图11 数值模拟模型图

Fig.11 Numerical simulation model diagram

第一部分，使用弹性材料*MAT_ELASTIC来建立模型，获得模型的压力和有效应力云图。介质和夹塞材料的密度分别为ρ₁=2 190 kg/m³，ρ₂=2 700 kg/m³；介质和夹塞泊松比分别为μ₁=0.25，μ₂=0.20。

图12所示为压力云图和有效应力云图，从图中能观察到明显的应力集中现象，且应力集中主要发生在θ=π/2和θ=3π/2处，在θ=0和θ=π处有轻微的应力集中。在相同的材料参数和波形参数条件下，获得圆形夹塞周围DSCF的数值模拟结果和理论计算结果，如图13所示。由图13可以看出，2种方法得到的DSCF分布相一致，也说明了前文理论计算的正确性。

图12

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图12 压力和有效应力云图

Fig.12 Cloud diagram of pressure and effective stress

图13

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图13 圆夹塞周边DSCF分布的数值模拟和理论计算结果

Fig.13 Numerical simulation and theoretical calculation results of the DSCF distribution around the circular inclusion

第二部分使用*MAT_CSCM材料建立模型，观察夹塞周边由应力集中导致的破坏。根据现有研究（Tao et al.，2020b），CSCM材料适用于模拟岩体的破坏过程。

夹塞周边的破坏情况如图14所示。裂纹出现位置接近θ=90°和θ=270°处，对应第一部分模拟中应力集中最明显的位置。随着时间的推移，裂纹开始扩展，裂纹扩展的方向为30°、120°、240°和300°。裂纹的扩展方向为径向，即垂直于交界面的方向，这是由环向应力所导致的。

图14

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图14 圆形夹塞周边破坏情况

Fig.14 Damage around the circular inclusion

6 讨论

对于环向方向，稳态DSCF最大值出现在波数较小且接近于0.25处，出现位置与波入射方向相垂直。通过改变介质和夹塞的物理参数，计算了不同材料参数条件下的DSCF。DSCF与介质和夹塞剪切弹模之比成正比。当介质的剪切弹模无限大于夹塞的剪切弹模时，此时夹塞对波的散射作用与空孔一样，波的散射及动应力集中也与空孔情况相同。图15给出3组介质泊松比大于夹塞泊松比的情况和3组介质泊松比小于夹塞泊松比的情况，对比发现：第一种情况下，仅对DSCF最小值有轻微的影响；第二种情况下，仅对DSCF最大值有轻微影响。径向DSCF与环向DSCF相比较小，其最大值约为0.5。

图15

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图15 瞬态波入射时泊松比对DSCF的影响

Fig.15 Effect of Poisson’s ratio on DSCF under transient wave incidence

基于稳态波入射下DSCF的表达式，利用傅立叶变换获得Ricker波入射的DSCF计算结果。如图16所示，剪切弹模之比对瞬态波入射下的环向DSCF有较大的影响。DSCF最大值分别为2.69、2.42、2.25和1.75，对应 $\tilde{μ}$ =5.0，2.5，1.8，0.8。径向DSCF在瞬态波入射时受剪切弹模之比 $\tilde{μ}$ 的影响小，DSCF峰值分别为2.03、1.86、1.80和1.77，对应 $\tilde{μ}$ =5.0，2.5，1.8，0.8。瞬态波入射时，介质与夹塞之间的物理性质差别越大，则应力集中现象越明显。

图16

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图16 剪切弹模之比对瞬态DSCF的影响

Fig.16 Effect of shear modulus ratio on transient DSCF

将不同波数时环向和径向DSCF的最大值和最小值汇总于图17中。当波数k_D=0.1时，DSCF最大值为4.15，对应的最小值为-1.96；当波数增加至3时，DSCF最大值减小到2.27，最小值变为-1.22。径向DSCF的最值则是先随波速增加，且在波数取1时达到峰值为3.21，对应最小值为-3.69。对比图17（a）和图17（b），发现波数较小时环向DSCF最大值普遍大于径向DSCF最大值，此时θ=π/2和θ=3π/2处容易发生环向的压缩破坏。当波数增加至1时，径向的拉应力上升，此时在θ=0和θ=π处容易发生径向的拉伸破坏。

图17

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图17 DSCF的最大值和最小值随波数k_D变化点线图

Fig.17 Point-line diagram of the variation of maximum and minimum of DSCF with wave number k_D

7 结论

利用理论计算，获得了稳态波和瞬态波入射作用下含夹塞空洞的应力集中因子，分析了材料参数和波参数对应力集中因子的影响。利用有限元软件LS-DYNA建立波入射夹塞的模型，计算瞬态波在夹塞处的散射和应力集中，获得了不同物理参数条件下圆形夹塞周边的有效应力以及破坏情况。

（1）动应力集中因子受波数的影响较大。随着波数的增加，切向动应力集中因子降低，径向动应力集中因子升高。当波速度之比一定时，动应力集中因子与弹性剪切模量呈正相关。

（2）对比高波数瞬态波与低波数瞬态波入射情况发现，低波数条件激发更大的切向压应力，此时在夹塞周围θ=π/2和θ=3π/2处容易出现压缩破坏；高波数条件激发更大的径向拉应力，在夹塞周围θ=0和θ=π处容易出现拉伸破坏。

（3）理论计算与数值模拟计算所得DSCF大小和分布相一致。介质和夹塞的材料弹性模量相差越大则应力集中因子越大。裂纹主要扩展方向为径向即垂直交界面方向，环向应力是径向裂纹产生和扩展的原因。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2022/1005-2518/1005-2518-2022-30-5-691.shtml

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... 地下爆破施工产生的扰动常导致地下结构的破坏.这些扰动在地下岩层中以应力波的形式传播，当波遇到不连续体时，如节理和夹塞等，波的传播状态会发生改变且发生散射.从各种因动态扰动造成的地下构筑物破坏实例（Wang et al.，2009；Cui et al.，2016）来看，发生破坏的位置常常位于不连续面周围. ...

Scattering of SH-waves by an elliptic cavity/crack beneath the interface between functionally graded and homogeneous half-spaces via multipole expansion method

2018

... 波入射作用下空腔的散射和应力集中方面的研究成果较为丰富，边界条件、波的性质和材料参数等方面均进行了深入且广泛的研究.动应力响应可由动应力集中因子（DSCF）表征.Pao et al.（1973）较为系统地介绍了弹性波散射和动应力集中问题.Li et al.（2020）采用复变函数法求解了瞬态P波作用下浅埋圆形空腔周围的动应力集中情况，给出了空腔深度、入射角和波峰位置对动应力集中因子（DSCF）分布的影响.赵春香等（2016）研究了SH波入射作用下半空间界面圆孔的动力响应，给出了该问题的解析解和动应力分布规律.陈涛等（2006）研究了板的横截面处孔洞在平面Ｐ波入射下动应力集中问题，并得出自由表面与孔洞的距离对动应力集中有影响.除了圆形截面的散射体外，陈志刚（2005）研究了平面SH波在弹性半空间中浅埋椭圆柱形孔洞上的散射，结果表明浅埋孔洞与水平表面存在强烈的相互作用并产生动应力集中.Ghafarollahi et al.（2018）基于多极展开法分析了SH波以任意角度入射到椭圆形截面空腔或裂缝时的反平面散射问题，结果表明入射波数、入射波角及空腔到双材料界面的距离等参数对围岩的动力响应具有显著影响.Tao et al.（2020a）采用波函数展开法求解了SH波作用下的全平面椭圆空腔周围的散射和动应力集中问题，研究表明入射波、波数和椭圆轴比对动应力集中具有较大的影响.路世伟等（2021）研究了柱面SH波入射下管道周边的动应力集中规律，结果表明震源距离和波频率对应力集中具有重要影响. ...

Dynamic stress state around shallow-buried cavity under transient P wave loads in different conditions

2020

Scattering and dynamic stress concentration of SH-wave by interface cylindrical elastic inclusion

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Diffraction of plane SV waves by an inclusion in saturated poroelastic half-space

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Study on dynamic stress concentration of a pipeline under the cylindrical SH-waves

2021

Antiplane reponse of multiple semi-cylindrical hills above a subsurface elastic cylindrical inclusion to incident SH waves

2009

Ground penetrating radar response from voids： A demonstration using a simple model

2016

... 雷克子波2处最小值之间的脉冲时间跨度为T_D.如图7所示，它和主频的关系（Nobes，2016）如下： ...

Diffraction of elastic waves and dynamic stress concentrations

1973

... 式中：

$ε_{11}^{(1)}, ε_{11}^{(3)}, ε_{22}^{(3)}$

，…为各种波对应力做出的贡献（Pao et al.，1973）；

$μ_{1}$

和

$μ_{2}$

分别为介质和弹性夹塞中的剪切弹性模量. ...

The form and nature of seismic waves and the structure of seismograms

1940

... 剧烈的地震扰动会产生一个移动的小波，它的形状由地球上弹性波的吸收光谱的性质决定（Ricker，1940）.Ricker（1940）将尖锐的波形转换成由地球吸收光谱截止的陡度决定的移动“小波”，即雷克子波，并给出了雷克子波的数学证明及数学表达式.因此本文选择雷克子波作为入射的瞬态波形，可以很好地模拟爆破产生的扰动，如图6所示. ...

... ）.Ricker（1940）将尖锐的波形转换成由地球吸收光谱截止的陡度决定的移动“小波”，即雷克子波，并给出了雷克子波的数学证明及数学表达式.因此本文选择雷克子波作为入射的瞬态波形，可以很好地模拟爆破产生的扰动，如图6所示. ...

... 从图6可以看出，雷克子波的延续时间短、收敛快，旁瓣的幅度与上主瓣幅度的比值为1/2

$e^{\frac{3}{2}}$

，约等于2.241.雷克子波在时域上的表达式（Ricker，1940）为 ...

Dynamic stress concentration and failure characteristics around elliptical cavity subjected to impact loading

2020a

Analytical and numerical study of a circular cavity subjected to plane and cylindrical P-wave scattering

2020b

... 第二部分使用*MAT_CSCM材料建立模型，观察夹塞周边由应力集中导致的破坏.根据现有研究（Tao et al.，2020b），CSCM材料适用于模拟岩体的破坏过程. ...

Investigation and assessment on mountain tunnels and geotechnical damage after the Wenchuan earthquake

2009

Scattering of SH-waves and ground motion by an elastic cylindrical inclusion and a crack in half space

2009

Scattering of P waves by a local nonhomogeneous body in a layered half-space

2009

The influence of the scattering from the plane of the circular inclusion under the ground surface on the ground motion

1996

Frequencies of the Ricker wavelet

2017

Dynamic effect of SH wave on interface circular cavity in half space

2016

P波入射时含圆柱形空腔板弹性波散射与动应力集中

2006

平面SH波在浅埋椭圆柱形孔洞上的散射与动应力集中

2005

SH波对界面圆柱形弹性夹杂散射及动应力集中

1999

... 硐室、空腔往往包含一些充填物，如硐室中的夹塞和取水隧道中的水，这些充填物一般被称为夹塞.波入射含夹塞孔洞的散射和应力集中问题具有更加复杂的边界条件，波的入射不仅会有夹塞反射回到围岩中的波，而且有透射进夹塞中的波.袁晓铭（1996）采用波函数展开法给出了半空间中圆形夹塞物对平面SH波散射的封闭解析解.刘殿魁等（1999）运用Green函数法求解了SH波对界面圆柱形弹性夹塞的散射，给出围岩参数对界面圆柱形弹性夹塞的动应力集中系数的影响.杨在林等（2009）采用Green函数、复变函数和多极坐标等方法研究了圆形夹塞和裂纹组合对SH波的散射与地表位移，讨论各种参数对夹塞上方地表位移的影响.吕晓棠等（2009）研究了多个半圆形凸起及附近浅埋弹性夹杂对SH波的散射问题.尤红兵等（2009）利用间接边界元方法，在频域内求解了层状场地中局部不均匀体对平面Ｐ波的散射.刘中宪等（2012）研究了流体饱和半空间中夹塞物对平面SV波的散射问题，探讨了多种因素对波散射特征的影响. ...

流体饱和半空间中夹塞物对平面SV波的散射

2012

柱面SH波作用下管道的动应力集中研究

2021

SH波对浅埋圆柱形弹性夹杂附近多个半圆形凸起的散射

2009

... 采用Green函数、复变函数和多极坐标等方法研究了圆形夹塞和裂纹组合对SH波的散射与地表位移，讨论各种参数对夹塞上方地表位移的影响.吕晓棠等（2009）研究了多个半圆形凸起及附近浅埋弹性夹杂对SH波的散射问题.尤红兵等（2009）利用间接边界元方法，在频域内求解了层状场地中局部不均匀体对平面Ｐ波的散射.刘中宪等（2012）研究了流体饱和半空间中夹塞物对平面SV波的散射问题，探讨了多种因素对波散射特征的影响. ...

SH波对浅埋弹性圆柱及裂纹的散射与地震动

2009

层状场地中局部不均体对平面P波的散射

2009

地表下圆形夹塞区出平面散射对地面运动的影响

1996

雷克子波频率研究

2017

... 假设瞬态波在t=0时刻传到原点即圆夹塞中心，需要将波形f（t）在横轴上向右移动时间

$t_{0} = (r_{0} + a) / c_{p} + T / 2$

，r₀ 为波起始位置距圆心距离，a为圆夹塞半径，T为雷克子波一个波长对应的时间.雷克子波的傅立叶变换表达式（张莹莹等，2017）为 ...

SH波对半空间界面圆孔的动力效应

2016

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