考虑岩石微缺陷影响的损伤本构模型

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2023.03.164

考虑岩石微缺陷影响的损伤本构模型

刘志祥^,, 晏孟洋^,, 张双侠, 熊帅, 王凯

中南大学资源与安全工程学院，湖南长沙 410083

Damage Constitutive Model Considering the Effect of Rock Microdefects

LIU Zhixiang^,, YAN Mengyang^,, ZHANG Shuangxia, XIONG Shuai, WANG Kai

School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

通讯作者: 晏孟洋（1999-），男，湖南邵阳人，硕士研究生，从事延时损伤力学研究工作。205511005@csu.edu.cn

收稿日期: 2022-11-01 修回日期: 2023-03-30

基金资助:

国家重点研发计划项目“深部厚大矿体大参数高效连续开采技术”. 2022YFC290410
国家自然科学基金项目“海底金属矿开采充填体约束矿柱群力学模型构建与混沌破坏机制”. 51974359

Received: 2022-11-01 Revised: 2023-03-30

作者简介 About authors

刘志祥（1967-），男，湖南宁乡人，博士生导师，从事岩石力学与采矿工程研究工作liulzx@csu.edu.cn , E-mail：liulzx@csu.edu.cn

摘要

为准确描述岩石应力—应变曲线非线性过程，提出了考虑岩石微缺陷影响的损伤本构模型。首先对含微缺陷岩石进行分析，把含微缺陷岩石抽象成不含微缺陷的岩石骨架部分和微缺陷部分。岩石微缺陷包括初始空隙和岩石受载新增的微裂纹，微缺陷只能产生应变，不能承受应力。初始空隙产生的应变反映压密阶段的非线性特征，新增的微裂纹产生的应变反映岩石峰后阶段应变软化，用修正系数b来表示新增微缺陷的影响，假设岩石骨架部分的损伤符合Weibull概率分布，最后推导出基于微裂纹的损伤本构模型，并给出参数V_m 、n、F₀、m和b的确定方法，对模型参数进行讨论。用砂岩和苏长岩试验数据进行验证，结果显示试验数据与理论结果相吻合。

关键词： 含微缺陷岩石 ; 本构模型 ; 微缺陷 ; 压密阶段 ; 应变软化 ; 修正系数

Abstract

In order to accurately describe the whole process of rock stress-strain curve，a statistical damage contitutive model considering the effect of rock microdefects was proposed.Firstly，rocks containing microdefects are analysed and abstracted into a rock skeleton part and a defective part without microdefects.The rock microdefects include initial microdefects and new microdefects added to the rock by loading，which can only generate strain but not stress.The strain generated by the initial microdefects is negatively exponential to the stress during the compression-density stage，and the model parameters n and V_m are obtained by fitting the experimental curve of closed strain-stress for the microdefects.After the compression-density stage，the initial micro-defects are completely closed and the resulting strain is a constant.As additional micro-defects are mainly generated in large numbers in the post-peak stage，the effect of additional micro-defects on the post-peak stage is mainly considered.A variable b in the range of 0 to 1 is used to represent the weakening effect of the strain formed by the additional micro-defects on the strain generated in the rock.Different values of b can reflect the degree of strain softening in the rock，and a method for determining the value of b is given to obtain the value of b under different stress states for different rocks.The deformation of the rock skeletal part without micro-defects and whose damage conforms to the Weibull probability distribution，the deformation of the rock skeletal part and the micro-defective part make up the deformation of the rock，which leads to the derivation of the damage constitutive model of the rock，and the specific determination method of the parameters m and F₀ of this damage constitutive model is given.The parameters of the model are discussed.The smaller the value of b，the greater the strain generated by the new microcracks in the rock and the more obvious the strain softening is.The damage variables of the rock are analysed for different values of b.The smaller the value of b，the faster the damage value of the rock reaches 1 and the faster the skeletal part of the rock is damaged.The damage costitutive model in this paper takes into account the compression-density phase，the strain-softening phase，the effect of residual strain，and can characterise all phases of the rock stress-strain curve，and the model parameters are small and the method of determination is clear.Finally，the model is validated with sandstone and saprolite test data，and the test data agree with the theoretical results，indicating the reasonableness of the model.

Keywords： rocks with microdefects ; constitutive model ; microdefects ; compression-density stage ; strain softening ; correction factor

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本文引用格式

刘志祥, 晏孟洋, 张双侠, 熊帅, 王凯. 考虑岩石微缺陷影响的损伤本构模型[J]. 黄金科学技术, 2023, 31(3): 507-515 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2023.03.164

LIU Zhixiang, YAN Mengyang, ZHANG Shuangxia, XIONG Shuai, WANG Kai. Damage Constitutive Model Considering the Effect of Rock Microdefects[J]. Gold Science and Technology, 2023, 31(3): 507-515 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2023.03.164

岩石是一种天然的地质材料，在成岩过程中，其内部形成了不同形状、尺寸、方向、数目以及不同种类的空隙，称为微缺陷，由于微缺陷的影响，岩石的变形呈现出非线性。随着采矿工程的不断发展，进入深部工程后，岩石受“三高”（高地应力、高地温、高渗透压和扰动）的影响（何满潮等，2005），非线性工程问题不断增加，研究岩石损伤本构模型具有重要的实践意义。

国内外学者从多个角度对岩石本构模型进行了研究。如：Chen et al.（2019）对传统统计损伤模型进行修正；Chen et al.（2018）比较了幂函数与Weibull分布函数的统计损伤模型；Gao et al.（2018）提出了考虑热力耦合的本构模型；Miao et al.（2018）建立了水化学环境下的本构模型；Hu et al.（2018）构建了硬岩的非线性本构模型；Huang et al.（2018）建立了弹塑性损伤本构模型；曹文贵等（2003）建立了正态分布损伤本构模型；李海潮等（2017）对应变等价性假设的不足进行了修正，得到新的岩石损伤本构模型；Liu et al.（2018）使用Logistic方程来拟合岩石的损伤过程，并以此建立了岩石损伤本构模型；贾宝新等（2022）提出了基于Hoek-Brown准则的高温岩石损伤本构。上述岩石损伤本构模型与特定环境下的岩石应力—应变曲线相吻合，但是对应力—应变的压密阶段描述略有不足，而含有初始微缺陷的脆性岩石一般有压密阶段。张超等（2020）对两类初始空隙进行分析，建立了考虑初始空隙的岩石损伤本构模型。曹文贵等（2016）考虑空隙压密效应，提出了相应的本构模型。张超等（2021）基于应变等效假设的弹性模量法，构建了岩石损伤本构模型。Cao et al.（2010）通过确定孔隙率来分析空隙和体积变化对岩石行为的影响，然后建立相关的损伤模型。这些学者建立的本构模型考虑到微缺陷会导致岩石产生压密阶段，但忽略了新增微缺陷对脆性岩石应变软化阶段的影响。由此可见，上述学者的研究对于岩石损伤本构模型的发展和进步作出了重要的贡献，提出的岩石损伤本构模型已考虑到微缺陷会导致岩石产生压密阶段，具有很强的针对性，但对于脆性岩石全应力—应变曲线的描述仍有一定局限性。因此，本文针对含有初始微缺陷脆性岩石，重点考虑微缺陷对压密阶段和应变软化阶段的影响，进一步完善脆性岩石全应力—应变过程损伤本构模型。

1 损伤本构模型的建立

1.1 含微缺陷脆性岩石变形分析

为建立含微缺陷岩石的应力—应变全过程的损伤本构模型，选取一体积单元进行分析，如图1所示，该体积单元包括岩石骨架和微缺陷。由于微缺陷的多样性，微缺陷的大小、形状和数目各不相同。对单个微缺陷进行分析，理论十分复杂，而且不能代表所有的微缺陷，所以把岩石中的微缺陷集中起来，将岩石划分为岩石骨架和由微缺陷组成的空隙部分。

图1

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图1 岩石微缺陷集中示意图

Fig.1 Schematic diagram of the concentration of micro-defects in rocks

岩石在外荷载σ_ij 的作用下开始发生变形，第一阶段为岩石中的初始空隙闭合阶段。此时岩石中的微缺陷被压密，岩石变形为非线性变形，当初始微缺陷完全关闭后，岩石变形转变为弹性变形。第二阶段，当应力超过萌生应力后，岩石骨架开始损伤，新的微裂纹开始形成，组成新的空隙部分。第三阶段，岩石骨架完全损伤。如图2所示。

图2

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图2 岩石损伤与微缺陷变化示意图

Fig.2 Schematic diagram of rock damage and micro-defect variation

1.2 微裂纹萌生前岩石本构模型

微缺陷会对岩石的力学性质和损伤行为产生重要影响，偏应力作用下的含微缺陷脆性岩石压密阶段将十分明显，含初始微缺陷材料的压缩性明显大于不含初始微缺陷的相同固体材料。初始微缺陷是岩石不可缺少的一部分，假设岩石骨架部分的变形只与其本身性质有关，空隙部分的应变与外荷载σ_ij 有关。选取体积单元进行分析。

（1）岩石骨架部分变形分析

在不考虑蠕变的弹塑性变形中，岩石骨架部分的本构关系可采用经典的弹塑性本构关系式：

ε_{i j}^{R} = ε_{i j}^{e} + ε_{i j}^{p}

（1）

ε_{i j}^{e} = \frac{1 + μ}{E} σ_{i j} - \frac{μ}{E} σ_{R R} σ_{i j}

（2）

ε_{i j}^{p} = λ \frac{\partial f}{\partial σ}

（3）

式中：ε $_{i j}^{R}$ （i、j=1，2，3）为岩石骨架部分的应变；ε $_{i j}^{p}$ 为岩石骨架部分的塑性变形；ε $_{i j}^{e}$ 为岩石骨架部分的弹性应变；μ为岩石材料泊松比；E为岩石弹性模量；f为屈服面；λ为材料常数。

由于该本构模型主要针对脆性岩石，不考虑塑性变形，只考虑弹性变形的影响，即λ=0，可得：

ε_{i j}^{p} = 0

（4）

ε_{i j}^{R} = ε_{i j}^{e}

（5）

（2）微缺陷部分变形分析

选取岩石的体积单元进行分析，该单元包括足够多的微缺陷和细观结构，所有微缺陷部分所引起的应变之和为ε $_{i j}^{c}$ 。

ε_{i j}^{c} = \sum_{k = 1}^{N} ε_{i j}^{i (α)}

（6）

式中：N为单元中微缺陷总数；ε $_{i j}^{i (α)}$ 为第α个微缺陷所引起的应变。

对于单个的微缺陷的闭合，已知微缺陷的形状尺寸和受力状态的情况下，能得到特定情况下微缺陷闭合时所引起的应变的理论解。许多学者通过对含有点缺陷、线缺陷和体缺陷的弹性介质体进行研究，将各种细观参数作为随机变量，通过平均化的方法得到岩石材料的总体有效参数。但这种理论提供的方法十分复杂。为避免分析材料中微缺陷形状、尺寸和方位的复杂性，从全部微缺陷的角度出发，将体积单元中的所有微缺陷集中考虑，考虑微缺陷整体在外荷载作用下对材料整体的应力—应变关系的影响，假设微缺陷部分所引起的应变ε $_{i j}^{c}$ 与σ_ij 存在函数关系：

ε_{i j}^{c} = f (σ_{i j})

（7）

当i=j=1时，ε $_{i j}^{c}$ 就变为ε $_{11}^{c}$ ，表示微缺陷部分所引起的轴向应变，所以ε $_{11}^{c}$ 与偏应力存在函数关系。由于岩石骨架部分在微裂纹萌生前只发生弹性变形，所以岩石骨架部分的应变与应力呈线性关系。研究表明，当轴向应力较小时，微缺陷部分产生的轴向应变ε $_{11}^{c}$ 是随轴向应力的增大而增加的；微缺陷完全闭合时，ε $_{11}^{c}$ 不再随轴向应力的增大而增加，而是趋于一个稳定值。微缺陷产生的轴向应变与轴向应力呈负指数关系（Peng et al.，2015）：

ε_{11}^{c} = V_{m} [1 - e x p (- \frac{σ_{11} - σ_{33}}{n})]

（8）

式中：ε $_{11}^{c}$ 为初始微缺陷引起的轴向应变；V_m和n为常量参数；σ₁₁和σ₃₃为主应力。

（3）微裂纹萌生前岩石本构模型确定

岩石的轴向总应变ε₁₁等于岩石骨架部分的轴向应变ε $_{11}^{R}$ 与岩石微缺陷部分应变ε $_{11}^{c}$ 之和。结合式（1）、式（2）、式（4）、式（8）可得：

ε_{11} = \frac{σ_{11} - σ_{33}}{E} + V_{m} [1 - e x p (- \frac{σ_{11} - σ_{33}}{n})]

（9）

为验证上述微裂纹萌生前岩石本构模型的正确性，引用文献（Yumlu et al.，1995）中砂岩和苏长岩的常规三轴压缩试验数据。

由图3可知，当初始微缺陷闭合之前（B点之前），由于微缺陷影响，岩石应力—应变曲线为非线性，岩石轴向应变ε₁₁等于微缺陷部分应变ε $_{11}^{c}$ 与岩石骨架部分应变ε $_{11}^{R}$ 之和。B点之后微缺陷产生的应变几乎为0，称ε_cc为微缺陷闭合应变，B点为初始微缺陷闭合点。BC段为弹性阶段，曲线呈线性变化，C点之后初始微裂纹开始萌生，岩石出现损伤，称ε_aa为微裂纹萌生应变，C点为微裂纹萌生点。

图3

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图3 砂岩微裂纹萌生前应力—应变曲线

Fig.3 Stress-strain curve of sandstone before microcrack initiation

由图4曲线拟合可得模型参数V_m和n，从图4可以看出，试验数据与拟合效果较好，在相同应力条件下，砂岩的微缺陷闭合应变大于苏长岩的微缺陷闭合应变，砂岩与苏长岩微缺陷模型参数结果见表1。将模型参数代入式（9）中，可得微裂纹萌生前岩石的本构表达式，如图5所示。由图5可知，理论曲线与试验曲线基本吻合，验证微裂纹萌生前岩石本构模型的合理性。

图4

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图4 岩石微缺陷闭合应变—应力试验与拟合曲线

Fig.4 Experimental and fitted curves of closed strain-stress for rock microdefects

表1 微缺陷闭合模型参数

Table 1 Micro-defect closure model parameters

岩石种类	E/GPa	ε_cc/‰	V_m/‰	n	R²（拟合系数）
砂岩	28	1.37	1.43	4.64	0.9468
苏长岩	85	0.67	0.68	14.71	0.9924

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图5

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图5 岩石微裂纹萌生前试验与理论应变—应力曲线

Fig.5 Experimental and theoretical strain-stress curves before initiation of rock microcracks

1.3 微裂纹萌生后岩石本构模型

当岩石所受的应力超过萌生应力时，岩石应力—应变曲线进入屈服阶段，新的微裂纹开始出现，岩石出现不可逆损伤。由于压密阶段后，岩石中的初始微缺陷已闭合，岩石骨架屈服后又有新的微裂纹生成，新增微裂纹形成空隙部分，岩石骨架开始损伤。

基于等效应变假设（Lemaitre et al.，1985），材料的一维损伤本构可表示为

ε = \frac{σ^{*}}{E} = \frac{σ}{(1 - D) E}

（10）

式中：ε和σ分别为应变和应力；σ*为有效应力；D为损伤变量。

对式（12）进行等量变换可得：

σ = σ^{*} (1 - D)

（11）

σ = (1 - D) E ε

（12）

Lemaitre et al.（1985）提出的等效应变假设认为岩石未损伤时，D=0，D=1时岩石完全损伤，实际上岩石完全损伤仍有承载能力。等效应变假设改进为

σ_{11} = σ_{11}^{*} (1 - D) + D (σ_{11}^{r} + σ_{11}^{c})

（13）

式中：σ $_{11}^{*}$ 为未损伤部分所受应力；σ $_{11}^{r}$ 为已损伤部分所受应力；σ $_{11}^{c}$ 为空隙部分所受应力。

未损伤部分只发生弹性变形，表示为

σ_{11}^{*} = E ε_{11}^{*} + μ (σ_{22}^{*} + σ_{33}^{*})

（14）

含初始微缺陷脆性岩石完全损伤后，还有一定的残余强度。已损伤岩石部分所受应力σ $_{11}^{r}$ 等于岩石的残余应力，而岩石的残余应力可通过岩石应力—应变曲线确定，即岩石完全破坏后，应变不断增加，应力趋于稳定时的应力值确定为残余强度。

空隙部分所受应力为σ $_{11}^{c}$ ，由于空隙部分没有实际的承载能力，所以空隙部分所受应力σ $_{11}^{c}$ 为0。虽然空隙部分所承受的应力为0，但该部分会产生应变，对未损伤部分岩石所受的应变会产生影响。

如上所述，岩石的本构模型可改进为

σ_{11} = σ_{11}^{*} (1 - D) + D σ_{11}^{r}

（15）

假设岩石只在轴向发生损伤且满足变形协调条件（曹文贵等，2012），即

ε_{11} = ε_{11}^{*} = ε_{11}^{r}

（16）

σ_{22} = σ_{22}^{*} = σ_{22}^{r}

（17）

σ_{33} = σ_{33}^{*} = σ_{33}^{r}

（18）

式中：ε $_{11}^{*}$ 为未损伤部分所受的轴向应变；σ $_{22}^{*}$ 和σ $_{33}^{*}$ 为未损伤部分所受纵向应力；ε $_{11}^{r}$ 为损伤部分所受的轴向应变；σ $_{22}^{r}$ 和σ $_{33}^{r}$ 为损伤部分所受纵向应力。

上述公式未考虑到初始微缺陷的闭合与新增微裂纹对应变的影响。岩石的名义轴向应变ε₁₁并非未损伤岩石的实际应变，未损伤部分轴向应变ε $_{11}^{*}$ 与损伤部分的轴向应变ε $_{11}^{r}$ 应等于岩石名义轴向应变ε₁₁减去岩石初始微缺陷闭合所导致的应变ε $_{11}^{c}$ ，可表示为

ε_{11}^{*} = ε_{11}^{r} = ε_{11} - ε_{11}^{c}

（19）

ε_{11}^{*} = ε_{11} - V_{m} [1 - e x p (- \frac{σ_{11} - σ_{33}}{n})]

（20）

在图3中，由于岩石在初始微缺陷闭合点（B点）之后，初始微缺陷完全闭合，初始微缺陷产生的应变ε $_{11}^{c}$ 不再增加，趋于一个常数，其值等于微缺陷闭合应变ε_cc。因此，当新的微裂纹开始萌生之后，初始微缺陷对岩石应变的影响可用微缺陷闭合应变ε_cc来体现，即：

ε_{11}^{r} = ε_{11} - ε_{c c}

（21）

除了初始微缺陷会对岩石的应力—应变关系产生影响之外，在C点之后新的微裂纹开始产生、扩张、汇合，也会对应变产生影响。岩石萌生的新的微裂纹所产生的空隙部分没有承载能力，但会产生应变，需对未损伤岩石的名义轴向应变进行进一步修正。假设新增空隙部分的应变为ε_nc，修正后为损伤岩石的名义轴向应力，表示为

ε_{11}^{*} = ε_{11}^{r} = ε_{11} - ε_{c c} - ε_{n c}

（22）

新增空隙部分的应变ε_nc暂时无法通过试验手段获得，假设ε_nc与σ_ij 呈函数关系，ε_nc代表的是新增空隙部分所产生的应变，它会导致未损伤的岩石骨架部分实际所承受的应变减小，主要对岩石骨架部分实际所承受的应变起弱化作用。所以，引入一个修正参数b来代表新增微裂纹对未损伤骨架部分的弱化作用，即：

ε_{11}^{*} = ε_{11}^{r} = b (ε_{11} - ε_{c c})

（23）

式中：b为修正参数，取值范围为0~1。

在应力—应变曲线峰值点之前，岩石的微裂纹生成和扩展速率较慢，微裂纹形成的空隙部分对岩石未损伤部分应变影响较小，故在峰值点之前，不考虑新增空隙部分的影响。峰值点之后，进入应变软化阶段，岩石应力跌落较快。新增微裂纹的扩展、增加和汇合会加剧岩石的应变软化现象。新增空隙部分所占比例也急剧增加，新增微裂纹形成的空隙部分对未损伤岩石部分应变具有不可忽视的影响。所以用修正参数来修正岩石应变软化阶段的应力—应变曲线。

根据上述讨论，对三轴压缩下岩石的本构模型进行修正，可得：

σ_{11} = [1 - D (ε_{11}^{*})] [E ε_{11}^{*} + μ (σ_{22} + σ_{33})] + D (ε_{11}^{*}) σ_{11}^{r}

（24）

2 模型参数的确定

2.1 损伤变量的确定

当ε₁₁<ε_aa时，初始微缺陷被压密以及岩石主体骨架发生弹性变形，该过程岩石主体骨架没有损伤，故D=0。

当ε₁₁>ε_aa 时，新的微裂纹生成，岩石主体骨架部分开始出现连续损伤，假设岩石的损伤过程符合Weibull概率分布函数，即：

f (x) = \frac{m}{F_{0}} {(\frac{x}{F_{0}})}^{m - 1} e x p [- {(\frac{x}{F_{0}})}^{m}]

（25）

式中：m、F₀为参数；x为自变量。

则岩石的损伤变量函数为

D (ε_{11}^{*}) = \int_{0}^{ε_{11}^{*}} f (ε_{11}^{*}) d (ε_{11}^{*}) = 1 - e x p [- {(\frac{ε_{11}^{*}}{F_{0}})}^{m}]

（26）

D (ε_{11}^{*}) = \{\begin{matrix} 0, 0 < ε_{11} < ε_{a a} \\ 1 - e x p \{- {[\frac{b (ε_{11} - ε_{c c})}{F_{0}}]}^{m}\}, ε_{a a} < ε_{11} \end{matrix}

（27）

得到考虑微缺陷脆性岩石应力—应变全过程的损伤本构模型为

\{\begin{matrix} ε_{11} = \frac{σ_{11} - σ_{33}}{E} + V_{m} [1 - e x p (- \frac{σ_{11} - σ_{33}}{n})], 0 < ε_{11} < ε_{a a} \\ σ_{11} = [1 - D (ε_{11}^{*})] [E ε_{11}^{*} + μ (σ_{22} + σ_{33})] + D (ε_{11}^{*}) σ_{11}^{r}, ε_{a a} < ε_{11} \end{matrix}

（28）

2.2 参数的确定

岩石在三轴条件下的损伤本构模型参数m、F₀可通过三轴压缩下岩石应力—应变曲线峰值点（ε $_{11}^{p}$ ，σ $_{11}^{p}$ ）的应力和应变确定。

岩石的应力—应变曲线应经过试验曲线的峰值点：

\begin{array}{l} σ_{11}^{p} = [1 - D (ε_{11}^{p} - ε_{c c})] [E (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) + \\ μ (σ_{22} + σ_{33})] + D (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) σ_{11}^{r} \end{array}

（29）

在峰值点（ε $_{11}^{p}$ ，σ $_{11}^{p}$ ）处应力—应变曲线的斜率为0，可得：

\frac{d σ_{11}}{d ε_{11}} = [1 - D (ε_{11}^{*})] E b + [σ_{11}^{r} - E b (ε_{11} - ε_{c c}) - μ (σ_{22} + σ_{33})] \frac{d D (ε_{11}^{*})}{d ε_{11}}

（30）

\frac{d D (ε_{11}^{*})}{d ε_{11}} = \frac{m b}{F_{0}} {[\frac{b (ε_{11} - ε_{c c})}{F_{0}}]}^{m - 1} e x p \{- {[\frac{b (ε_{11} - ε_{c c})}{F_{0}}]}^{m}\}

（31）

\frac{d σ_{11}}{d ε_{11}} |_{ε_{11} = ε_{11}^{p}} = 0

（32）

通过联立式（29）和式（32）解得：

m = \frac{E b (ε_{11}^{p} - ε_{c c})}{[σ_{11}^{r} - E b (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) - μ (σ_{22} + σ_{33})] l n [1 - D (ε_{11}^{p})]}

（33）

F_{0} = b (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) {\{- l n [1 - \frac{σ_{11}^{p} - E b (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) - μ (σ_{22} + σ_{33})}{σ_{11}^{r} - E b (ε_{11}^{p} - ε_{c c}) - μ (σ_{22} + σ_{33})}]\}}^{\frac{1}{m}}

（34）

至此，参数m和F₀ 已确定。参数b的含义是新增空隙部分对未损伤部分岩石应变的影响，可以通过间接方法确定。由于参数b主要是对损伤模型的修正作用，为了确保损伤本构模型能够更好地描述应力—应变曲线的应变软化阶段，可通过梁明纯等（2021）中确定参数k的方法确定参数b。具体是通过模型计算的轴向应力σ $_{11}^{M}$ 与试验数据的轴向应力σ $_{11}^{E}$ 之间均方差函数MSE确定，当函数取最小值时，模型计算所取的参数b（MSE_min）值即为b的确定值：

M S E = \frac{1}{m} {\sum_{i = 0}^{m} (σ_{11}^{M} - σ_{11}^{E})}^{2}, \begin{matrix} ε_{11} > ε_{a a} \end{matrix}

（35）

式中：σ $_{11}^{M}$ 为模型计算的轴向应力；σ $_{11}^{E}$ 为试验数据的轴向应力；m为数据点数。所以b值确定为

b = b (M S E_{m i n})

（36）

3 损伤本构模型的验证

3.1 实例验证

为验证上述本构模型的合理性，选取文献中的砂岩和苏长岩常规三轴压缩试验进行验证，先根据已有数据确定砂岩和苏长岩的基本参数，已知砂岩的弹性模量E=28 GPa、泊松比μ=0.25。苏长岩的弹性模量E=85 GPa、泊松比μ=0.29。拟合曲线得模型参数V_m、n，修正参数b，通过计算得到F₀和m。结果见表2、图6和图7。

表2 砂岩和苏长岩损伤演化方程参数

Table 2 Parameters of the damage evolution equation for sandstone and saprolite

岩石类型	σ₃₃ /MPa	σ $_{11}^{r}$ /MPa	ε $_{11}^{p}$ /%	σ $_{11}^{p}$ /MPa	b=b（MSE_min）	F₀/%	m
砂岩	3	25.1474	0.74	107.1221	0.70	0.5271	8.7655
	5	37.2000	0.85	132.1709	0.74	0.6660	7.5065
	8	62.9458	0.98	156.6792	0.85	0.9274	3.4272
苏长岩	3	56.8732	0.44	249.1216	0.90	0.4307	6.8780
	5	69.0954	0.50	274.0948	0.85	0.4707	6.8579
	8	101.7840	0.58	306.4413	0.80	0.5192	6.6992

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图6

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图6 砂岩试验数据与理论曲线比较

Fig.6 Comparison between experimental data and theoretical curves of sandstone

图7

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图7 苏长岩试验数据与理论曲线比较

Fig.7 Comparison between experimental data and theoretical curves of norite

由图6和图7可知，理论曲线与试验曲线基本吻合，可以描述岩石压密阶段、弹性阶段、应变软化阶段和残余应变阶段的特征，其中，砂岩和苏长岩在不同围压的应力状态下取得不同修正b值，不同b值取值能够反映岩石损伤后产生的空隙部分对岩石峰后阶段应变软化的影响程度，从而验证了该损伤本构模型。

3.2 参数分析

如图8所示，当b=1时，没有考虑新增微缺陷对脆性岩石应变软化阶段的影响，岩石未损伤部分所受的应变会偏大，导致应变软化阶段的应力偏大。当应变相同时，b值越小，其损伤本构理论应力越小，应力差表示空隙部分所产生的应变对岩石应力的弱化作用。当b=0.70时，砂岩试验曲线与理论曲线吻合良好，从而验证了用修正系数b来表示空隙部分对岩石未损伤部分岩石弱化作用的合理性。

图8

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图8 σ₃=3 MPa时不同b值砂岩理论与试验曲线

Fig.8 Theoretical and experimental curves of sandstone for σ₃=3 MPa and different b values

考虑b值对裂纹萌生点之后所有阶段的影响，可得不同b值条件下，围压为3 MPa时砂岩的损伤演化图。如图9所示，b值越小，损伤变量曲线斜率越大，说明损伤速度越快，即砂岩实际的损伤比不考虑空隙部分的影响时要大。

图9

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图9 σ₃=3 MPa时不同b值下砂岩损伤演化

Fig.9 Sandstone damage evolution for σ₃=3 MPa and different b values

4 结论

首先对含初始微缺陷的脆性岩石进行变形分析，在加载过程中，岩石中的空隙逐渐被压密，直至完全压缩，岩石变形进入弹性阶段，该过程中岩石的应变由空隙部分产生的应变与岩石骨架部分应变组成，岩石不发生损伤。当应力大于萌生应力时，岩石出现新的微裂纹，并开始出现损伤，持续的加载导致岩石骨架部分完全损伤。

以岩石的变形为基础，建立了考虑微缺陷影响的脆性岩石的损伤本构模型，对比试验数据与理论模型，得出以下结论：

（1）初始微缺陷的闭合是导致岩石压密阶段应力—应变曲线呈非线性变化的主要原因。初始微缺陷的闭合产生的应变与岩石的偏应力呈负指数分布，用砂岩和苏长岩的初始微缺陷应变与偏应力进行拟合，拟合系数大于0.94，得到的考虑初始微缺陷的本构模型在压密阶段与试验数据吻合较好。

（2）岩石新增微裂纹形成的空隙部分会影响岩石的变形。新增微裂纹主要影响岩石的应变软化阶段，在峰值点之后，新增微缺陷会导致岩石的应力跌落加快，使其应变软化更加显著。通过对比发现当应变相同时，考虑新增微裂纹影响的损伤本构模型理论曲线与试验曲线更符合岩石的应变软化阶段变化规律，未考虑新增微裂纹影响的岩石应力会偏大，未考虑新增微裂纹影响的岩石损伤变量会偏小。

（3）本文得到的岩石损伤本构模型能够描述岩石应力—应变曲线的压密阶段、弹性阶段、屈服阶段、应变软化阶段和残余强度阶段，考虑到了脆性岩石应力—应变曲线的所有过程，且理论曲线与试验数据吻合度较高。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2023/1005-2518/1005-2518-2023-31-3-507.shtml

参考文献

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被引期刊影响因子

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Cao

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Statistical damage model with strain softening and hardening for rocks under the influence of voids and volume changes

［J］.Canadian Geotechnical Journal，47（8）：857-871.