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ISSN 1005-2518
CN 62-1112/TF
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黄金科学技术, 2020, 28(4): 575-584 doi: 10.11872/j.issn.1005-2518.2020.04.019

采选技术与矿山管理

基于核主成分分析与SVM的岩爆烈度组合预测模型

许瑞,1, 侯奎奎2, 王玺2, 刘兴全2, 李夕兵,1

1.中南大学资源与安全工程学院，湖南 长沙 410083

2.山东黄金集团深井开采实验室，山东 莱州 261442

Combined Prediction Model of Rockburst Intensity Based on Kernel Principal Component Analysis and SVM

XU Rui,1, HOU Kuikui2, WANG Xi2, LIU Xingquan2, LI Xibing,1

1.School of Resources and Safety Engineering，Central South University，Changsha 410083，Hunan，China

2.Deep Mining Laboratory of Shandong Gold Group Co. ，Ltd. ，Laizhou 261442，Shandong，China

通讯作者: 李夕兵（1962-），男，湖南宁乡人，教授，博士生导师，从事采矿与岩土工程方面的研究工作。xbli@mail.csu.edu.cn

收稿日期: 2019-12-25   修回日期: 2020-04-22   网络出版日期: 2020-08-27

基金资助: 国家自然科学基金项目“开采扰动下深部工程结构的动态响应机理”.  11972378
“考虑非平稳、强噪声信号到时差拾取的硬岩矿山微震定位方法研究”.  51904335

Received: 2019-12-25   Revised: 2020-04-22   Online: 2020-08-27

作者简介 About authors

许瑞（1995-），女，山西晋中人，硕士研究生，从事深部地下工程灾害防治研究工作safetyxurui@csu.edu.cn , E-mail：safetyxurui@csu.edu.cn

摘要

为了更好地预测岩土工程中的岩爆烈度，建立了基于多类型核函数的主成分分析方法与遗传算法或粒子群优化算法（GA/PSO）优化的支持向量机（SVM）相结合的组合预测模型。选取围岩最大切向应力σθ、岩石单轴抗拉强度σt、岩石单轴抗压强度σc、应力集中系数SCF、脆性指数B1和B2以及弹性应变能指数Wet共7个指标构成岩爆预测指标体系。基于统计的246个国内外岩爆实例数据，分别运用主成分分析和基于线性核函数、RBF核函数以及MLP核函数的主成分分析对数据进行预处理，得到2～4个线性无关的主成分。再将降维后的数据输入GA/PSO优化的SVM模型进行训练和预测。经测试，基于RBF核函数的主成分分析方法与PSO-SVM相结合的模型预测准确率达到了92.3%，为最佳组合模型，为岩土工程中的岩爆烈度预测提供了一种可靠的方法。

关键词： 核主成分分析 ; 岩爆烈度预测 ; 遗传算法 ; 粒子群优化算法 ; 支持向量机 ; 组合预测模型

Abstract

Rockburst is a relatively dangerous engineering geological disaster in underground hard rock engineering constructed in high geostress area.Due to the re-distribution of the stress in surrounding rocks during the excavation of underground engineering，the elastic strain energy is released suddenly and abruptly，causing rock fragments to eject from the rock.And then，the casualties and equipment damage are often happened，which make the rockburst become one of the worldwide difficulties in underground engineering.Therefore，the prediction of possibility of rockburst and its intensity is a problem that must be solved in underground engineering construction.For predicting rock-burst intensity effectively，a combined prediction model based on kernel principal component analysis （KPCA） of multiple types and the support vector machine （SVM） optimized by genetic algorithm or particle swarm optimization algorithm （GA/PSO） was established.According to the characteristics and causes of rockburst，rocks’ maximum tangential stress σθ，rocks’ uniaxial compressive strength σt，rocks’ uniaxial tensile strength σc，stress concentration coefficient SCF，rock brittleness coefficient B1 and B2，and elastic energy index Wet were chosen to form the rockburst prediction indexes system.Based on 246 groups of typical rockburst cases at home and abroad，the data were preprocessed through the principal component analysis and the principal component analysis based on linear kernel function，radial basis function （RBF） kernel function and multi-layer perceptron （MLP） kernel function.On the basis of ensuring the amount of information in the original data，2 to 4 linearly independent principal components are obtained，which reduces the correlation between the indicators and the input parameters of the SVM model，and simplifies the training process.Then input the dimensionality-reduced data into GA/PSO optimized SVM model for training and prediction.To improve classification accuracy and generalization ability of the SVM，GA/PSO were adopted to automatically determine the parameters for support vector machine，and the optimal values of parameters C and g were determined by the method of 10 fold cross validation，which avoided the blindness of manually providing parameters.In this study，220 rockburst samples were randomly selected as the training set，and the remaining 26 samples were selected as the test set.After testing，the optimal parameters，the training set and test set accuracy of the 8 combined models were obtained.The prediction accuracy of the model based on the combination of the principal component analysis method of RBF kernel function and PSO-SVM reached 92.3%，which was the optimal combination model.It demonstrated that the combined prediction model can accurately deal with the complex non-linear relationship between various factors affecting the rockburst intensity，and the model has strong engineering practicability in the prediction of rockburst intensity.

Keywords： kernel principal component analysis ; prediction of rockburst intensity ; genetic algorithm ; particle swarm optimization algorithm ; support vector machine ; combination prediction model

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本文引用格式

许瑞, 侯奎奎, 王玺, 刘兴全, 李夕兵. 基于核主成分分析与SVM的岩爆烈度组合预测模型[J]. 黄金科学技术, 2020, 28(4): 575-584 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.04.019

XU Rui, HOU Kuikui, WANG Xi, LIU Xingquan, LI Xibing. Combined Prediction Model of Rockburst Intensity Based on Kernel Principal Component Analysis and SVM[J]. Gold Science and Technology, 2020, 28(4): 575-584 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2020.04.019

岩爆是高地应力区地下硬岩工程中比较常见的一种具有相当危险性的工程地质灾害[1]。表现为在地下工程开挖时，由于围岩中的应力场重新分布，岩体内储存的弹性应变能突发性地急剧释放，导致岩石碎片从岩体中弹射出来，造成人员伤亡和设备损坏，成为地下工程的重要难题之一[2-3]。因此，对岩爆发生的可能性及其烈度的预测是地下工程建设中必须解决的问题。

很多学者从强度、刚度、能量和声发射等不同角度对岩爆现象进行了分析研究，提出了诸多岩爆预测的单一因素理论判据[2-3]。然而，岩爆是一种复杂的动力学现象，其发生与否由众多因素共同决定，且与各影响因素之间存在极其复杂的非线性关系[3]。因此，有必要建立考虑多种影响因素的岩爆综合预测模型。基于此，王元汉等[2]采用模糊数学综合评判方法，选取影响岩爆的一些主要因素，对岩爆的发生与否及烈度大小进行了预测。宫凤强等[4]基于距离判别分析理论，建立了距离判别分析模型，用以预测岩爆的发生和烈度分级。近年来，随着人工智能技术的发展，人工智能算法及其组合算法在岩爆预测中得到了一定的推广和应用。赵洪波等[5]提出了基于支持向量机的岩爆分类方法，对岩爆的烈度进行分级预测。白明洲等[6]依据隧道岩爆发生的条件，应用神经网络方法，建立了岩爆危险性预测的评价模型。高玮[7]以工程类比的思想判断岩爆，首次把蚁群聚类算法引入岩爆预测领域。还有一些学者提出组合算法，将遗传算法、粒子群算法、BP神经网络、聚类算法、随机森林模型、支持向量机、最优路径森林算法和主成分分析等方法组合起来，综合利用各种方法的优点，丰富了岩爆的预测理论，取得了一定的效果[8-14]。

以上模型或只选取影响岩爆的部分指标，或未考虑岩爆评价指标之间的多维交叉冗余性，具有一定的局限性。为了克服现有模型的缺点，进一步提高地下工程岩爆发生及其烈度预测的精度，建立了基于不同核函数的主成分分析方法与遗传算法或粒子群优化算法（GA/PSO）优化的支持向量机（SVM）相结合的岩爆烈度组合预测模型。先利用核主成分分析法对原始数据进行降维处理，形成新的特征集合。再将降维后的数据输入到GA/PSO-SVM模型进行预测。

1 理论基础

1.1 基于核函数的主成分分析

主成分分析法（Principal Components Analysis，PCA）是一种多指标数据的特征信息提取方法，利用投影的方式，把高维数据投影到低维层面，在保证原始数据信息量的基础上，将原始数据中多个有一定相关性的指标变量转化为一组个数较少且互不相关的综合性指标变量，新的变量按照方差递减的顺序排列。一般累积贡献率达到85%~95%的特征值λ1,λ2,⋯,λm分别对应第1，第2，…，第m（m≤p）个主成分[15]。PCA可以克服数据处理过程中特征指标的多维交叉冗余性，实现无监督数据降维的目的，从而降低算法的复杂度。

传统主成分分析法（PCA）是一种线性算法，不能提取出数据中的非线性结构。基于核函数的主成分分析法（Kernel Principal Components Analysis，KPCA）是一种非线性特征提取方法，通过引入核函数，用非线性映射将原始数据特征空间映射到高维特征空间，使非线性问题转化为线性问题，然后在高维空间中使用常规的PCA方法提取主成分，在保持原始数据信息量的基础上达到降维的目的[15]。具体步骤如下：

设数据样本X=[x1,x2,…,xn],xi=[xi1,xi2,…,xip]，i=1,2,⋯,n,p为样本数据维数。则样本的协方差矩阵为

1n∑nj=1xTjxj
(1)

式中：n为样本数。

设非线性映射为

Φx→F
(2)

因此，F由Φ(x1)，Φ(x2)，…，Φ(xn)生成。定义核函数为

K=Φ(X)TΦ(X)=[k(xi,xj)]n×n
(3)

核函数必须满足Mercer定理[16-17]，即核为特征空间的内积，通过核函数，将原来在特征空间中的计算在输入空间中完成，而不需要知道高维变换的显示形式。

k(xi,xj)=〈Φ(xi)T,Φ(xj)〉=Φ(xi)TΦ(xj)
(4)

然后，求出特征空间中的协方差矩阵C

C=1n∑nj=1Φ(xj)TΦ(xj)
(5)

从而，特征空间中PCA的求解方程为

λV=CV
(6)

式中：λ为特征值；V为特征向量，V∈F{0}。由于V属于{Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xn)}的生成空间，因此有

λ(Φ(xk)⋅V)=Φ(xk)⋅CV(k=1,2,⋯,n)
(7)

并且存在参数α={α1,α2,…,αn}，使得V由Φ(xk)（k=1,2,⋯,n）线性表示出来，即

V=∑ni=1αiΦ(xi)
(8)

合并式（7）和式（8），得到

λ∑ni=1αi[Φ(xk)Φ(xi)]=                                   1n∑ni=1αi[Φ(xk)∑nj=1Φ(xj)][(Φ(xj)TΦ(xi))]
(9)

将核函数代入，得到等价形式

nλα=Kα
(10)

最后求出K的特征值和特征向量，然后使用传统的PCA方法提取主成分。

1.2 GA/PSO优化的支持向量机分类预测原理

支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是由Vapnik在1995年提出的一种基于统计学习理论的模式识别方法。统计学习理论基于结构风险最小化准则，使模型具有较好的泛化能力。SVM的基本思想是在特征空间找到使得训练集上的正负样本间隔最大的最佳分离超平面[16]。支持向量机的分类原理如下：

对于线性可分问题，设训练样本为(xi,yi),i=1,2,…,n,y∈{-1,1}，即存在分类超平面wTx+b=0,将样本划分为两类，同类型的样本分布在超平面的同一侧。此时分类间隔为2/‖，满足wTxi+b=1的样本点与分类超平面的距离最小，称之为支持向量。考虑到少数样本的线性不可分情况，引入松弛变量g和惩罚因子C修正优化目标及约束，利用Largrange乘子对偶化，因此将求最优分类超平面的问题转化为优化问题：

max -12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyjxixj+∑i=1nαis.t.∑i=1nαiyj=0,0≤αi≤C,i=1,2,⋯,n
(11)

最终得到的最优分类函数为

fx=sgn∑i=1nαi*yjxixiT+b*
(12)

式中：αi和αj为Largrange系数；αi*为最优Largrange系数；b*为b的最优值。

对于线性不可分问题，常用的方法是通过非线性映射ϕ将原输入空间的样本映射到高维特征空间中，通过引入核函数Kxi,xj=ϕ(xi)ϕ(xj),代替对偶问题和非线性映射后的点积运算，在高维特征空间中构造最优分类超平面。由于采用不同的核函数将导致不同的SVM算法，而RBF核函数可以逼近任意非线性函数[9]。因此，本文选取RBF核函数作为SVM的核函数。

问题转化为

max-12∑i=1n∑j=1nαiαjyiyjKxi,xj+∑i=1nαis.t.∑i=1nαiyj=0,0≤αi≤C,i=1,2,⋯,n
(13)

最终得到的最优分类函数为

fx=sgn∑i=1nαi*yjKxi,x+b*
(14)

SVM的性能主要取决于核参数g和惩罚因子C的值，为了提升支持向量机的性能，采用遗传算法和粒子群算法设定RBF核偏差g和惩罚因子C的值。

遗传算法[15]（Genetic Algorithm，GA）是通过模拟达尔文的自然进化过程中随机化搜索最优解的方法，其具有高效启发式搜索及并行计算等优点。一般认为，在遗传算法中有8个组件，即GA=(p0,I,λ,L,f,s,c,m,T)，分别为初始群体、染色体编码、染色体长度、适应度函数、选择操作、交叉操作、变异操作和终止条件。GA使用基于染色体群并行搜索的选择操作、交叉操作和变异操作产生现有种群的后代，通过适应度函数来评估个体或解的优劣，进化过程直到满足终止条件时停止。

粒子群优化算法[18]（Particle Swarm Optimization， PSO）是一种源于对鸟群捕食行为研究的全局优化进化算法。该方法通过个体间的协作和竞争，实现复杂空间最优解的搜索。粒子群初始化为一组随机解，每个粒子具有位置向量xk、速度向量vk和一个适应度函数f(x)，搜索空间中所有粒子以一定的速度飞行，通过追随搜索到的局部最优值pbest来进一步寻找全局最优值gbest。在找到这2个最优值后，每个粒子根据如下公式更新个体速度vk+1和下一步位置xk+1，当达到最大迭代次数或精度要求时进化过程终止。

vk+1=c0vk+c1r1pbest-xk+c2r2gbest-xk
(15)
xk+1=xk+vk+1
(16)

式中：c0为惯性因子；c1和c2为加速度常数；r1和r2是介于[0，1]之间的随机值。

1.3 岩爆烈度预测模型

为了综合利用KPCA的非线性特征提取和SVM的分类优势，提出了一种基于不同核函数的主成分分析与GA/PSO优化的SVM相结合的岩爆烈度预测模型，将2种数学方法的思想整合在一起。基本思路是：根据岩爆的特点及成因，构建岩爆预测指标体系，收集整理国内外具有代表性的岩爆实例数据，利用基于不同核函数的主成分分析进行对比研究，根据主成分的累积贡献率选择主成分，实现数据降维，同时减少了SVM模型的输入参数，降低了算法的复杂度。最后利用GA/PSO-SVM对降维后的输入参数进行分类和烈度预测。岩爆烈度组合预测模型的运行步骤和流程如图1所示。

图1

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图1   岩爆烈度组合预测模型运行流程图

Fig.1   Flowchart of the rockburst intensity forecasting model


2 模型验证

2.1 岩爆烈度的影响因素分析及评价指标的确立

一般认为，岩爆发生有2个基本条件：一是岩体处于高地应力环境下，这是岩爆产生的外因；二是岩体本身结构致密、坚硬且完整，具备较高的储能能力，这是岩爆发生的内因。岩体在变形破坏过程中聚集的弹性应变能一部分被岩体变形和破裂所消耗，剩余的能量以动能的形式释放出来，使逐渐被剥离的岩块弹射出去，而形成岩爆[2]。因此，岩爆的发生与围岩应力、岩石岩性以及能量有关。为充分利用指标信息，本文选取围岩最大切向应力σθ、岩石单轴抗压强度σc、岩石单轴抗拉强度σt、应力集中系数SCF（SCF=σθσc）、脆性指数B1（B1=σcσt）和B2（B2=σc-σtσc+σt）以及弹性应变能指数Wet共7个指标构建岩爆烈度的评价指标体系。

2.2 原始数据分析

基于Pu[19]收集的国内外部分矿山和地下工程岩爆实例整理的岩爆样本原始数据如表1所示，共有246组实例，包含前文所述的7个评价指标。岩爆的烈度等级划分为4级，即N（无岩爆）、L（轻微岩爆）、M（中等岩爆）和H（强岩爆），分别有43、78、81和44组样本。鉴于文章篇幅所限，仅列出部分原始数据，并给出了样本原始数据的箱线图（图2）。箱线图的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数和最大值反映了岩爆样本数据分布的中心位置和散布范围，可以看出数据的分布是不对称性的，同时每组数据均有少数异常值。

表1   部分岩爆样本原始数据

Table 1  Partial raw data of rockburst samples

序号σθ/MPaσc/MPaσt/MPaSCFB1B2Wet岩爆烈度
190.00170.0011.300.5315.040.889.00M
290.00220.007.400.4129.730.937.30L
362.60165.009.400.3817.530.899.00L
455.40176.007.300.3224.110.929.30M
530.0088.703.700.3423.970.926.60M
648.75180.008.300.2721.690.915.00M
⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮
243126.72189.708.950.6721.200.915.43L
24457.97125.377.740.6721.200.462.86L
24557.9796.163.770.4616.200.202.53L
24657.9770.684.190.6025.510.192.87L

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图2

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图2   岩爆原始数据箱线图

Fig.2   Boxplot obtained for raw data of the rockburst samples


2.3 核主成分分析

岩爆的7个评价指标具有不同的量纲和数量级，各指标间的相关系数见表2。由表2可知，某些指标间的相关系数大于0.5，说明这些指标之间有较为明显的信息重叠。因此，有必要对原始数据作相关性消除处理。首先对原始数据进行标准化处理，标准化处理结果见表3。

表2   岩爆评价指标的相关系数

Table 2  Correlation coefficient of rockburst evaluation indexes

指标σθ/MPaσc/MPaσt/MPaSCFB1B2Wet
σθ/MPa1.0000.0340.3340.918-0.248-0.2190.468
σc/MPa0.0341.0000.422-0.2650.0760.2340.193
σt/MPa0.3340.4221.0000.164-0.625-0.4710.329
SCF0.918-0.2650.1641.000-0.258-0.2520.329
B1-0.2480.076-0.625-0.2581.0000.526-0.108
B2-0.2190.234-0.471-0.2520.5261.000-0.082
Wet0.4680.1930.3290.329-0.108-0.0821.000

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表3   原始数据标准化处理结果

Table 3  Results for the standardized processing of raw data

序号σθ/MPaσc/MPaσt/MPaSCFB1B2Wet
10.59171.37040.9878-0.0869-0.38640.14460.9237
20.59172.54250.0553-0.26550.64510.65700.5147
30.08501.25320.5335-0.3101-0.21160.24700.9237
4-0.04821.51110.0314-0.39940.25050.55450.9959
5-0.5179-0.5353-0.8294-0.36970.24070.55450.3463
6-0.17111.60490.2705-0.47380.08050.4520-0.0387
⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮⋮
2431.27081.83220.42590.12150.04610.45200.0648
244-0.00060.32430.13660.12150.0461-4.1597-0.5536
245-0.0006-0.3604-0.8126-0.1911-0.3050-6.8242-0.6330
246-0.0006-0.9577-0.71220.01730.3488-6.9267-0.5512

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使用标准化处理后的246组岩爆数据作主成分分析以及基于3种不同核函数（KPCA1、KPCA2和KPCA3分别代表线性核、RBF核和MLP核）的主成分分析，按照前文所述步骤，通过MATLAB R2019a实现计算。RBF核和MLP核中最优核参数选择第一主成分贡献率大时的参数。以高斯核为例，图3为核参数对第一主成分贡献率的影响关系图，可以得到当σ>890时，高斯核主成分分析的第一主成分的贡献率增量很小，稳定在约0.586。故选取σ=890作为最优核参数。

图3

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图3   RBF核主成分分析第一主成分贡献率与核参数关系

Fig.3   Relationship between the first principal component contribution rate and the kernel parameters in the RBF kernel


当核参数最佳时得到核主成分分析中各主成分累积贡献率随特征向量变化关系如图4所示。根据核主成分分析方法实际应用经验，一般选取累积贡献率为85%~95%的核主成分，且原始特征向量的主要信息集中在贡献率较大的核主成分。根据累积贡献率选取4种方法的主成分个数，结果如表4所示。然后对岩爆样本数据进行非线性特征提取，计算主成分荷载和主成分得分，图5为最终降维的可视化结果。

图4

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图4   累积贡献率对比

Fig.4   Comparisons of accumulation contribution rate


表4   核参数及主成分的选择

Table 4  Selection of kernel parameters and principal components

核函数类型核函数表达式核参数第一主成分贡献率/%主成分个数
主成分分析--40.204
线性核函数Kxi,xj=xi∙xj-59.192
高斯核函数Kxi,xj=exp -xi-xj22σ2σ=89058.523
多层感知器核函数Kxi,xj=tanh vxi∙xj+cv=1×10-5,c=-561.593

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图5

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图5   降维结果可视化

Fig.5   Data visualization of dimensionality reduction results


2.4 GA/PSO-SVM模型训练和岩爆烈度预测

利用MATLAB R2019a及林智仁libsvm-3.24工具箱进行仿真测试。将基于不同核函数（KPCA1、KPCA2和KPCA3分别代表线性核、RBF核和MLP核）的主成分分析方法和GA-SVM、PSO-SVM组合对比分析。为不失一般性，通过十折交叉检验[18]的方法确定SVM参数，即将岩爆数据集随机划分为10份，每次将其中的9份作为训练集建立模型，剩余的1份作为测试集检验模型性能，共执行10次性能测试。最后将10次测试结果的均值作为算法精度的估计。

随机选取220个岩爆样本作为训练集，剩余26个样本作为测试集，得到相应模型的参数和训练集、测试集准确率如表5所示。部分模型的适应度曲线如图6所示，以KPCA2-PSO-SVM模型为例，当c1=1.49445，c2=1.49445时，最大迭代次数为100次，粒子数为40个，得到最佳参数C=31.2537，g=145.4178，此时模型的岩爆实例判定结果如图7所示。图中类别标签1、2、3、4分别代表N（无岩爆）、L（轻微岩爆）、M（中等岩爆）和H（强岩爆）。由表5可知，经基于RBF核函数提取主成分后输入

表5   模型参数及模型训练集和测试集准确率

Table 5  Results for the SVM parameters，training set accuracy and test set accuracy

模型SVM参数训练集准确率/%测试集准确率/%
Cg
PCAGA-SVM81.471056.621296.884.6
PSO-SVM97.6345118.443198.284.6
KPCA1GA-SVM50.5654890.241594.673.1
PSO-SVM51.3095586.158889.676.9
KPCA2GA-SVM3.1284256.190591.488.5
PSO-SVM31.2537145.417894.692.3
KPCA3GA-SVM73.1933282.282193.280.8
PSO-SVM82.0614491.932297.788.5

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图6

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图6   部分模型的适应度曲线

Fig.6   Fitness curves of the optimal parameters selected by the generated models


图7

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图7   部分模型测试样本预测结果

Fig.7   Partial prediction results for the test samples of generated models


到PSO-SVM模型的预测精度最高，达到了92.3%。

3 结论

（1）综合考虑了影响岩爆发生及其烈度的7个指标，采用基于不同核函数的主成分分析法对样本数据进行非线性特征提取，将影响岩爆的7个指标缩减为2~4个综合预测指标，减少了各指标之间的相关性，同时减少了SVM模型的输入参数，简化了训练过程，提升了模型的预测精度和效率。

（2）SVM参数的选择对预测结果有很大影响，因此采用遗传算法和粒子群优化算法对SVM的参数寻优，通过十折交叉检验的方法确定参数C和g的最优值，提高了模型的泛化能力，避免了人工提供参数的盲目性。

（3）将基于不同核的主成分分析与GA/PSO优化的SVM相结合，建立岩爆烈度的组合预测模型，并对国内外246组岩爆实例进行训练、学习、预测和评估。结果表明：基于RBF核函数的主成分分析方法与PSO-SVM相结合的模型预测准确率达到了92.3%，为最佳组合模型，说明构建的组合预测模型能够准确地处理影响岩爆烈度的各因素之间的复杂非线性关系，将该模型用于岩爆烈度的预测方面有较强的工程实用性。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2020/1005-2518/1005-2518-2020-28-4-575.shtml

参考文献

李夕兵.岩石动力学基础与应用[M].北京：科学出版社，2014.

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