天然岩石裂隙面粗糙度尺寸效应及方向性研究

doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2024.02.137

天然岩石裂隙面粗糙度尺寸效应及方向性研究

梅倩玮^,¹^,², 陈刚^,¹, 罗凤强³, 马玲⁴, 龚红胜¹, 龙妍竹¹

1.昆明理工大学国土资源工程学院，云南昆明 650031

2.中国地质大学（北京）地下水循环与环境演化教育部重点实验室，北京 100083

3.云南坤润地质勘查技术有限公司，云南昆明 650051

4.昆明理工大学城市学院，云南昆明 650051

Research on Size Effect and Directionality of Roughness of Natural Rock Fracture Surface

MEI Qianwei^,¹^,², CHEN Gang^,¹, LUO Fengqiang³, MA Ling⁴, GONG Hongsheng¹, LONG Yanzhu¹

1.Faculty of Land Resources Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650031, Yunnan, China

2.MOE Key Laboratory of Groundwater Circulation and Environmental Evolution, China University of Geosciences(Beijing), Beijing 100083, China

3.Yunnan Kunrun Geological Exploration Technology Co. , Ltd. , Kunming 650051, Yunnan, China

4.City College, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650051, Yunnan, China

通讯作者: 陈刚（1981-），男，河南林州人，博士，讲师，从事裂隙岩体渗流机理研究工作。chen_kust@qq.com

收稿日期: 2023-10-06 修回日期: 2024-01-31

基金资助:

云南省重点研发计划社会发展专项“云南重大地震灾害及其灾害链综合风险评估技术与应用”. 202203AC100003
云南省教育厅科学研究基金项目“裂隙粗糙性对裂隙网络中地下水优势流形成的影响机制及模拟研究”. 2023J0124

Received: 2023-10-06 Revised: 2024-01-31

作者简介 About authors

梅倩玮（1998-），女，贵州瓮安人，硕士研究生，从事岩石裂隙渗流研究工作meiqianwei@qq.com , E-mail：meiqianwei@qq.com

摘要

为探究岩石裂隙粗糙面尺寸效应及方向性，对立方定律修正公式中表征天然岩石粗糙裂隙性质的粗糙度修正系数C进行分析。采用高精度3D扫描仪扫描天然岩石样品，得到其表面粗糙度数据，结合网络公开发布的高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据，生成空间坐标，采用公式法和数值法计算分析粗糙度修正系数C。根据公式法计算结果得出粗糙度具有尺寸效应；根据数值法结果得出粗糙度具有方向性，且粗糙度方向性可使用张量形式来表达。通过计算粗糙裂隙JRC值、表面及隙宽分形维数对研究结果进行印证，证明裂隙面粗糙度具有尺寸效应和各向异性。进一步研究发现：可采用粗糙度修正系数张量或粗糙度张量结合裂隙平均隙宽，形成单裂隙渗透张量，量化复杂粗糙裂隙网络中模型的粗糙面。

关键词： 天然岩石 ; 粗糙度 ; 单裂隙 ; 粗糙度修正系数 ; 方向性 ; 尺寸效应 ; 粗糙度张量

Abstract

To delve into the size-related effects and directional properties of the roughness on rock fracture surfaces，this paper focus on analyzing the roughness correction coefficient C within the refined formula of the cubic law，as it effectively characterizes the roughness of natural rock fractures. Since Louis first introduced the cubic law，numerous scholars have since proposed numerous modified formulas，including those by Zhang Youtian，Zimmerman，and Xiong et al. Through conversion，we acquire the calculation formula for the roughness correction coefficient and utilize collected natural fractures for related computations.High-precision 3D scanning technology was used to scan natural rock samples and acquire roughness data of fracture surfaces. By combining this data with publicly available high-precision CT scan data of rough rock fractures，we generate spatial coordinates.Both formulaic and numerical methods were used to calculate and analyze the roughness correction coefficient C. Using the formulaic approach，the roughness correction coefficient for sample sizes ranging from 10% to 100% of the fracture surface were calculated and varying results were obtained，which indicates that roughness exhibits a scale effect. According to the numerical method，a well-fitting ellipse was obtained，indicating that the roughness correction coefficient possesses directionality and can be expressed using tensor notation. This conclusion is further supported by calculating the JRC value of rough fractures and their surface and crack width fractal dimensions，revealing that the roughness of fracture surfaces exhibits scale effects and anisotropy. Upon further investigation，it is discovered that the roughness correction coefficient tensor or roughness tensor，when combined with average crack width，can be utilized to form a single crack permeability tensor that quantifies the rough surface in complex rough crack network models

Keywords： natural rock ; roughness ; single fracture ; roughness correction coefficient ; directionality ; scale effect ; roughness tensor

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本文引用格式

梅倩玮, 陈刚, 罗凤强, 马玲, 龚红胜, 龙妍竹. 天然岩石裂隙面粗糙度尺寸效应及方向性研究[J]. 黄金科学技术, 2024, 32(2): 290-305 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2024.02.137

MEI Qianwei, CHEN Gang, LUO Fengqiang, MA Ling, GONG Hongsheng, LONG Yanzhu. Research on Size Effect and Directionality of Roughness of Natural Rock Fracture Surface[J]. Gold Science and Technology, 2024, 32(2): 290-305 doi:10.11872/j.issn.1005-2518.2024.02.137

裂隙对岩体渗透性起主导作用，裂隙渗流受到裂隙粗糙性、开度、充填物和裂隙网络展布等多种因素的影响。对于单条岩石裂隙，粗糙壁面会改变流体运移的直线路径，进而引发流线弯曲，影响裂隙渗透率（Lee et al.，2017）。不同类型岩石的裂隙粗糙度差异较大，渗流效率不同。陈辉辉等（2023）发现花岗岩裂隙宏观程度上的起伏粗糙度大于变质板岩宏观程度上的起伏粗糙度，当裂隙发生渗流时，流体损失自身动量较多，表明渗流在花岗岩中的发展相对较难。裂隙面粗糙度可以控制岩石的几何形状、力学和断层带的传输特性（Candela et al.，2012）。目前，对裂隙粗糙性的描述方法，归纳起来主要有三大类，即凸起高度表征法、节理粗糙度系数JRC 表征法和分数维表征法（王媛等，2020）。天然岩体裂隙网络中，粗糙度的增大会增加裂隙面的非均匀性，减弱裂隙的渗透性，然而由于裂隙面粗糙度对裂隙渗透性的影响机理尚不清楚，二者定量关系不明确，成为限制基岩裂隙水合理利用的重要因素之一。

在裂隙渗流的研究中，前人从光滑平行板到粗糙裂隙面，用岩石裂隙粗糙度代表裂隙结构面的粗糙程度，解释岩石裂隙力学及渗流特性。在对裂隙渗流进行研究的过程中，为了反映粗糙度对岩石裂隙渗流的影响，在立方定律公式中加入了粗糙度修正系数C。不论是由Barton et al.（1978）提出的“Barton十条”，还是后续发展起来的分数维表征法（周创兵等，1996；吴继敏等，2003），不少研究人员给出了不同的修正立方定律和粗糙度修正系数值。单裂隙作为岩体裂隙网络的基本元素，其各个参数（如隙宽、粗糙度、充填物和裂隙面接触程度等）均直接影响着裂隙网络，进而影响整个裂隙岩体的渗透性（熊祥斌等，2009；鞠杨等，2013）。因此，作为可以表征裂隙粗糙度的系数，立方定律修正公式中的粗糙度修正系数不可或缺。不少学者给出了粗糙性的计算公式（王报等，2017；王媛等，2020），其中的粗糙度修正系数C多为常量，且各不相同。

钟振等（2021）采用数值方法构建了系列尺寸的粗糙单裂隙试样，深入研究粗糙度等对粗糙单裂隙渗透性尺寸依赖性的影响，得出单裂隙渗流具有尺寸效应，但由于该研究使用数值方法模拟生成粗糙裂隙网络，与天然岩石裂隙存在差距，且水头方向设置固定，未能研究其他角度方向的变化。Lang et al.（2014）采用张量的形式表示裂隙岩体等效渗透系数，分别得出二维和三维的渗透张量表示法。刘卫群等（2016）通过渗流模型研究，发现页岩裂隙3个方向上的渗流速率各不相同，垂直方向的渗流速率是水平方向的3倍左右，但模拟生成的裂隙与天然岩石裂隙之间存在差距。

为了进一步研究更加符合实际裂隙的裂隙面粗糙度的尺寸效应及各向异性，本文从粗糙度修正系数角度出发，采用高精度三维扫描仪扫描天然岩石样品表面获得精确的岩石表面数据，结合网络公开发布的高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据，经处理后生成粗糙裂隙模型，用于单裂隙粗糙度修正系数计算。通过截取不同角度和不同尺寸的样品粗糙面，研究其粗糙度方向性和尺寸效应。

1 粗糙度表征参数——粗糙度修正系数C的计算方法

对于单裂隙渗流规律的研究，一般有理论研究（蒋宇静等，2008）、试验研究（贺玉龙等，2010）和数值模拟（Ketcham et al.，2010）3种方式。本文以实际扫描的天然裂隙表面数据和高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）为样本，读取裂隙面空间坐标数据后，采用理论研究（公式法）和数值分析（数值模拟法）计算粗糙度修正系数值，分析修正系数是否存在方向性和尺度性，进而得出粗糙度的相关性质。

1.1 公式法

岩石裂隙渗流的研究一般采用立方定律，不少学者给出各自的修正立方定律或局部立方定律，其中加入一个可以用粗糙度修正系数 $C$ 来表征和计算裂隙的裂隙面粗糙度。如张有天（2005）给出如下计算公式：

q = \frac{g {b_{m}}^{3}}{12 ν C} J

（1）

式中： $q$ 为裂隙流量；g为重力加速度； $b_{m}$ 为裂隙宽度（机械隙宽）； $ν$ 为水的运动黏滞系数； $J$ 为水力梯度。

将上述立方定律写成达西定律的形式，可得：

q = - k_{f} b_{m} J

（2）

式中 $:$ $k_{f}$ 为裂隙的水力传导系数， $k_{f} = \frac{g {b_{m}}^{2}}{12 ν C}$ 。

又：

k_{f} = (k_{i n})_{f} \frac{ρ_{g}}{μ}

（3）

其中：

(k_{i n})_{f} = \frac{{b_{m}}^{2}}{12 C}

（4）

式中： $(k_{i n})_{f}$ 为裂隙内在水力传导系数。从式（4）可以看出， $(k_{i n})_{f}$ 除了与隙宽有关之外，还受粗糙度修正系数的影响。

后又加入水力隙宽 $b_{h}$ ，且有：

(k_{i n})_{f} = \frac{{b_{h}}^{2}}{12}

（5）

结合式（4）和式（5）可得机械隙宽 $b_{m}$ 、水力隙宽 $b_{h}$ 与粗糙度修正系数C之间的关系如下：

\frac{{b_{m}}^{2}}{{b_{h}}^{2}} = C

（6）

诸多学者通过研究隙宽对渗流的影响，不仅给出了各自的立方定律修正公式，而且得出粗糙度修正系数公式，结合Liu et al.（2018）总结的公式加以整理，得到代表性经验公式（表1）。

表1 水力隙宽和机械隙宽的代表性经验关系式

Table 1 Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

公式	注释	文献来源
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 17$	$b_{m}$ 为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数	刘日成等，2014
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$		Louis，1969
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 20.5$		刘日成等，2014
$b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}$	$σ_{E}$ 为机械孔径上不同孔径的标准偏差	Patir，1978
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}$	在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）	Walsh，1981
$b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})$		Barton et al.，1978
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1.1 ~ 1.7$	$b_{m}$ = 100~500 µm	Hakami et al.，1995
$b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}$		Renshaw et al.，1995
${b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)$	C为接触比	Zimmerman et al.，1996
$b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}$	< $b_{m}$ >为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度	Waite et al.，1999
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]$	$σ_{a p e r t}$ 为平均机械孔隙的标准偏差	Matsuki et al.，1999
$b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})$	$J R C_{m o b}$ 是JRC的变值， $u_{s}$ 是不超过峰值 $u_{s p}$ 剪切位移的75%	Olsson et al.，2001
$b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})$		Olsson et al.，2001
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})$	$σ_{s l o p e}$ 是断裂面局部斜率的标准偏差	Xiong et al.，2011
$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 $b_{h} = b_{m} {(1 - 2.25 \frac{σ_{E}}{b_{m}})}^{\frac{1}{3}}$	$d_{m c}$ 是最小闭合距离，而 $J R C_{a}$ 是上、下2个面平均结合粗糙系数	Rasouli et al.，2011
$b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25}}$ ，Re<1 $b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25} + (0.00006 + 0.004) Z_{2}^{2.25} (R e - 1)}$ ，Re≥1	$Z_{2}$ 是水头的第一偏差的均方根	Li et al.，2008
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (0.94 - 5.0 \frac{σ_{s}^{2}}{{b_{m}}^{2}})$	$σ_{s}$ 是剪切过程中机械孔隙的标准偏差	Xie et al.，2015
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{0.61912}$ ， $m = 0.6138$		张戈等，2019

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对比分析表1中的公式，除去几个引用JRC值进行计算的公式（JRC值使用二维粗糙曲线求解，不太适合本文研究数据，故包括JRC值的计算公式不在本文研究范围）之外，Louis（1969）的公式是相关研究中较早且被后续引用较多的，如：张有天（2005）提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见。因此，特将二者提出的公式进行计算对比。

Louis（1969）提出的立方定律修正公式中建议的粗糙度修正系数（C）为

C = 1 + 8.8 (Δ / 2 b_{m})^{1.5}

（7）

式中： $Δ / b_{m}$ 为相对起伏差。但是Louis并没有对 $Δ / b_{m}$ 进行探讨，张有天（2005）对其进行了详细概括。计算式为 $∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} |h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}|$ ，因n取值越大导致 $∆$ 越小，明显不合理，故统计 $h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}$ 的值求取方差 ${(σ_{h}^{∆})}^{2}$ ，方差越大表示表面越粗糙（Wang et al.，2020）。由于 $σ_{h}^{∆}$ 是裂隙范围内的统计值，因此更具有代表性（以下将 $σ_{h}^{∆}$ 记为 $σ_{s}$ ）。

另外，Zimmerman et al.（1996）、Xiong et al.（2011）和Matsuki et al.（1999）在三次方范围上提出立方定律修正公式，且都曾通过对局部立方定律的分析研究，讨论其中水力隙宽（ $b_{h}$ ，单位：mm）与机械隙宽（ $b_{m}$ ，单位：mm）之间的关系，从而提出各自推导的更加适用于实际的公式。其中，Zimmerman et al.（1996）和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有 $({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})$ 项系数不同，为观察其差异性，对二者一起进行计算。Matsuki et al.（1999）提出的公式作为表1中非整数幂次公式代表加入计算。最后将几个公式均表示成机械隙宽与水力隙宽的比值关系表达式，如表2所示。

表2 裂隙宽度与粗糙度的关系公式

Table 2 Relationship formula between fracture width and roughness

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

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设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即：

C = \frac{1}{A^{2}}

（8）

将各自的A式代入即可得到不同的关于 $C$ 的表达式。运用各个关于 $C$ 的表达式代入数值模型进行运算。本文选用表2中的推导式（共5个）代入式（8）中进行粗糙度修正系数的计算。

1.2 数值模拟法

为通过渗流场模拟计算各组粗糙度数据下的粗糙度修正系数，采用Comsol Multiphysics建立相应裂隙渗流模型。详细建模步骤如下：

（1）采用Comsol Multiphysics三维建模板块，设置好模型物理条件，如温度和压力设置为常温常压状态。

（2）渗透率模型采用立方定律、稳态，粗糙度修正系数公式同式（8）；再在组件中添加裂隙几何、材料（设置为水）和裂隙流组件。

（3）根据导入的裂隙面数据范围在“裂隙几何”板块调整裂隙流的研究范围；在裂隙流中添加2个水头，分别为入水端和出水端，裂隙的其他边设置为不透水水头，确定水流沿x方向，初始水头设置为0。模型水流示意图以及计算完成后的流场示意图如图1所示。

图1

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图1 水头水流方向示意图（a）和计算完成后的流场示意图（b）

Fig.1 Diagram of water flow direction （a） and flow field after calculation（b）

（4）在裂隙流模块中设置孔隙，其数据源于导入的隙宽数据。

（5）为便于数值计算，调整裂隙面和隙宽数据，使数据范围边缘与坐标轴平行。

（6）选择合适的网格大小进行网格构建分析。

（7）在“研究”设置中添加需要的表格、压力、数据集和派生值等，其中，派生值处添加粗糙度修正系数研究方法。

（8）建立好模型之后，将同组数据（裂隙面数据和对应的隙宽数据）导入建立的模型中进行计算，得出粗糙度修正系数值。

（9）对结果进行统计分析。

2 数据获取及处理方式

与人工制作样品相比，天然岩石裂隙由于受构造力和风化等影响而产生的粗糙程度更贴合实际。为此，本研究采用天然形成的岩石裂隙面作为研究对象。其中，一部分数据是通过扫描云南省个旧高松矿田的岩石样品而获得的，另一部分是网络公开的天然岩石裂隙数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）。

2.1 数据来源

本次现场勘查工作如图2（a）所示。扫描岩石裂隙的设备为高精度三维扫描仪TY-3Dscan，其工作图如图2（b）所示。扫描样品是从云南省个旧高松矿田山脉勘查时采集的天然岩石样品，样品所处岩层类型均为压剪型，岩石样品主要成分为灰岩。本次研究共选取9个样品，依次编号为S1~S9。部分样品（S1~S3、S6~S9）及扫描结果如图3所示。

图2

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图2 现场勘查（a）和3D扫描仪工作图（b）

Fig.2 Work diagram of site investigation（a） and 3D scanner（b）

图3

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图3 样品图（a1~g1）及其隙宽（a2~g2）、裂隙表面三维图（a3~g3）

Fig.3 Sample image（a1~g1） and their three-dimensional view of gap width（a2~g2） and fracture surface（a3~g3）

将扫描得到的裂隙面采用法向和切向位移法（Li et al.，2008）获得顶底面数据，计算隙宽，导出底面和隙宽的空间坐标数据。为方便计算分析并尽可能保留最大原始数据，采用能同时包含顶底2个面最多原始数据的矩形截取框截取隙宽和底面，得到样品的隙宽三维视图分别如图3（a2）~图3（g2）所示，底面的三维视图分别如图3（a3）~图3（g3）所示。

网络公开的高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Richard，2016；Richard et al.，2018）原始图像如图4（a）和图4（b）所示，共2种材料，均为张性裂隙，其中（a）为凝灰岩，记为S4；（b）为花岗岩，记为S5。将裂隙划分为顶、底2个面，2个面数据相减得到隙宽数据，最终全部导出相应的空间坐标数据。为方便计算分析并尽可能保留最大原始数据，采用能同时包含顶底2个面最多原始数据的矩形截取框截取隙宽和底面，得到隙宽及底面的三维视图分别如图4（c）~4（f）所示。

图4

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图4 高精度粗糙岩石裂隙CT扫描二维和三维图

Fig.4 High-precision two-dimensional and three-dimensional CT scanning images of rough rock fractures

2.2 计算分析方法

矩形截取框有长方形和正方形2种。前者由于长和宽的差异，或对试验结果造成干扰。经考量，决定采用正方形截取框，更有利于结果分析。为研究粗糙度修正系数的各向异性，使用正方形截取框从各样品的空间坐标数据中分别截取出裂隙表面数据和隙宽数据。截取数据的具体方法步骤如下：

（1）以第2.1小节中矩形框截取得到的图形中心点为基准点，按正方形截取框的最大尺寸，分别截取其10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%和100%的模型，用以分析讨论尺寸大小对粗糙度修正系数的影响。

（2）将同一尺寸截取框逆时针旋转，每间隔5°截取出一组裂隙面和隙宽数据样本，重复上述操作，直到矩形框旋转一周，截取模型操作结束。截取裂隙数据示意图如图5所示。

图5

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图5 截取裂隙数据示意图

注：按样本所能截取的最大正方形为最大尺寸（即截取框尺寸占比定为100%），逐渐减小截取框尺寸占比进行空间数据截取。每个尺寸截取框在截取时，从水平（0°）开始旋转，每旋转5°截取一次，直至旋转一周（360°）

Fig.5 Schematic diagram of intercept fracture data

（3）在每个样品各尺寸下截取出72个，即36组样品数据，全部尺寸截取后共获得720个，360组数据。实际进行粗糙度修正系数计算的样本数据共计1 080组数据。由于0°~180°与180°~360°的数据具有对称性，所以采用0°~180°的数据进行计算，绘图时利用对称性绘制360°范围。

3 计算结果与分析

3.1 尺寸效应结果与分析

选用表2中的各个公式以及数值模拟法（将数值模拟法表示为Num），分别计算上述9个样品的粗糙度修正系数，结果如图6所示。

图6

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图6 不同公式计算得到的粗糙度修正系数随尺寸变化曲线

Fig.6 Variation curves of roughness correction coefficient calculated by different formulas with size

由图6可知，在不同公式下，所有样品粗糙度修正系数均随着尺寸的变化而变化，只是变化范围和变化程度不同。图6（a）、图6（b）、图6（d）和图6（f）中所有样品均表现出较强的波动性，且最终均未达到平衡。由图6（c）可知，Eq-L公式计算得到的粗糙度修正系数结果在小尺度上有变化，后均趋于稳定，且整体波动范围不大，在0~0.1之间。由图6（e）可知，采用Eq-Zh公式计算，不同样品的粗糙度修正系数变化趋势各不相同，其中，S1、S2和S3曲线变化幅度较大，S4、S5、S6、S7、S8和S9曲线变化幅度较小，该趋势同其他几个公式的计算结果刚好相反。由于Eq-Zh公式建议系数小于1，导致其曲线变化趋势与其他公式的曲线走向相反，故该趋势体现的变化与其他几个大致相同。因此，观察分析图6，可以得出如下结论：

（1）Eq-L公式计算得到的各样品粗糙度修正系数随尺寸变化波动范围不大。针对不同岩石类型，Eq-Zh公式的计算结果变化趋势不同，或是由于其建议系数小于1而不适用于某类型岩石，故不再对这2个公式多加讨论。

（2）不同公式计算的结果均显示，粗糙度随着研究尺寸的变化而变化，存在尺寸效应。如Eq-L公式计算结果变化程度较低，Eq-Zi公式计算结果变化程度较高。但除了图6（e）外，其他各图所展示的粗糙度修正系数最终均趋于稳定，当尺寸足够大时，粗糙度或趋于某一定值，即粗糙度具有尺寸效应。

（3）无论哪种岩石类型，其不同尺寸下的粗糙度修正系数存在差异，除极个别数据之外，粗糙度修正系数大多在1.0~4.0之间。其中，S5的粗糙度修正系数变化剧烈程度最大，S1、S2和S3的粗糙度修正系数最快达到稳定。通过对比图3中样品的表面粗糙度三维图可以发现，S1、S2和S3的粗糙度变化程度没有其他几个样品大，所以随着尺寸的增大其表面粗糙度并没有太大波动，但是在一定范围内均展现出粗糙度随着尺寸变化而变化并趋于稳定；样品S5的底面高度在小于3 mm和大于10 mm的部分几乎各占一半，差距很大，所以随尺寸变化也较大。

（4）对于同种岩石类型，图6（a）（Eq-M）和图6（b）（Eq-X）2个公式计算结果更为稳定，图6（d）（Eq-Zi）、图6（e）（Eq-Zh）和图6（f）（Num）对尺寸响应敏感，曲线变化幅度大。

3.2 方向性计算结果分析与讨论

张有天（2005）提及的渗透椭圆图原理，通过椭圆图判断是否存在粗糙度修正系数张量。此外，前人在裂隙网络渗流研究中采用渗透系数椭圆绘制法进行渗透系数方向性判定。如Long et al.（1982）通过采用绘制渗透系数椭圆的方法，判断裂隙岩体是否可以使用等效连续介质来表征；刘日成等（2014）根据裂隙开口度与截取长度等的关系绘制等效渗透系数椭圆曲线，判断其是否满足使用等效连续介质的条件；Marcus（1962）根据渗透测量绘制椭球后，得出椭球的主轴最大方向指示着渗透方向。刘日成等（2014）还指出，椭圆曲线长短轴之差的大小以及曲线的光滑程度，均对判定方向性具有十分重要的意义。

受上述研究的启发，本文将数值方法所得粗糙度修正系数值，采用椭圆图形分析方法进行研究判断（由于公式法所用的是数据的平方值，无法判断方向性，故不采用）。若得出较好的椭圆曲线，则说明可以用张量形式表征修正系数。对S1~S9利用数值法计算的结果进行椭圆拟合，所得结果如图7所示。

图7

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图7 各样品粗糙度修正系数椭圆拟合极坐标图

注：（a）~（i）分别是S1~S9样品的粗糙度修正系数的椭圆拟合结果，所有岩石样品粗糙度修正系数均会随着方向的变化而变化

Fig.7 Polar coordinate diagram of the ellipse fitting of the roughness correction coefficient of each sample

椭圆的长短轴分别指示粗糙度修正系数的最大值和最小值，可根据两轴与水平轴夹角的大小差异判断其方向性（Long et al.，1982）。测量统计图6和图7的长短轴与水平轴的夹角，结果见表3。由表3可知：（1）各图形中长轴、短轴与水平线之间的夹角存在差异，即粗糙度修正系数存在各向异性；（2）不同类型岩石的粗糙度修正系数会随着方向的变化而变化；（3）粗糙度修正系数也体现岩石样品粗糙度的变化，同一样品不同方向的粗糙度也会有差异，导致不同方向的渗流速度存在差异。

表3 椭圆旋转角度

Table 3 Ellipse rotation angle

样品编号	偏转角度/（°）	长轴/mm	短轴/mm
S1	53.60	3.11	1.11
S2	-31.93	1.27	1.08
S3	-3.21	1.84	1.26
S4	43.76	1.91	1.70
S5	14.68	1.32	0.98
S6	12.55	1.95	1.36
S7	-16.66	2.86	1.56
S8	-15.65	3.24	2.08
S9	-31.01	5.79	2.10

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将每个夹角视为从水平方向旋转的角度，则可以用矩阵表示出旋转的角度。记旋转角为 $θ$ ，对应的旋转矩阵 $R$ （钟振等，2021）为

R = (\begin{matrix} c o s θ & s i n θ \\ - s i n θ & c o s θ \end{matrix})

（9）

根据渗透椭圆法，应用旋转矩阵求渗透张量的方法，对粗糙度修正系数进行矩阵求解（Lang et al.，2014；王报等，2017）。计算公式如下：

C_{a n} = R C_{d i g} R T

（10）

式中： $C_{a n}$ 为非对角阵的粗糙度修正系数张量矩阵； $C_{d i g}$ 为粗糙度修正系数的对角阵； $R$ 为旋转矩阵。由于本研究中绘制的椭圆在极坐标中主要为2个方向值，故 $C_{d i g}$ 表示为二维形式，有： $C_{d i g} = (\begin{matrix} c_{a} & 0 \\ 0 & c_{b} \end{matrix})$ ，其中a和b分别代表椭圆的长轴和短轴。则可以将 $C_{a n}$ 表示为 $C_{a n} = (\begin{matrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix})$ ，简单记为 $C_{a n} = C_{i j}$ 。根据图7，将表3中2组数据的最大尺寸下拟合椭圆的各角度数据代入式（10）进行计算，可得粗糙度修正系数张量计算结果，见表4。

表4 粗糙度修正系数张量计算结果

Table 4 Tensor calculation results of roughness correction coefficient

样品编号	C_an	C₁_j	C₂_j	样品编号	C_an	C₁_j	C₂_j	样品编号	C_an	C₁_j	C₂_j
S1	C_i₁	1.8126	-0.9559	S4	C_i₁	1.8080	-0.1038	S7	C_i₁	1.6668	-0.3571
S1	C_i₂	-0.9559	2.4045	S4	C_i₂	-0.1038	1.7990	S7	C_i₂	-0.3571	2.7532
S2	C_i₁	1.2188	0.0881	S5	C_i₁	0.1504	0.1504	S8	C_i₁	2.1644	-0.3013
S2	C_i₂	0.0881	1.1324	S5	C_i₂	1.2293	1.2293	S8	C_i₂	-0.3013	3.1556
S3	C_i₁	1.8145	0.1293	S6	C_i₁	1.9221	-0.1251	S9	C_i₁	4.8106	1.6293
S3	C_i₂	0.1293	1.2937	S6	C_i₂	-0.1251	1.3879	S9	C_i₂	1.6293	3.0794

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观察表4中数据， $C_{i j}$ 的绝对值大小在0~5之间，与表3的计算结果（1.0~4.0）大部分重合，即粗糙度系数矩阵计算结果与原结果相近；2种样品的粗糙度修正系数矩阵在次对角线上均具有对称性，尤其是花岗岩样品的粗糙度系数矩阵在各个方向均具有较好的对称性。综上可知，粗糙度修正系数具有各向异性，且具有对称性，能够用张量的形式表示。因粗糙度修正系数是反映裂隙粗糙度的参数，可见粗糙度也具有方向性，且存在对称性，这与岩石裂隙面的粗糙度取决于样本的大小或观测规模（Brown，1995）的认识相吻合。

若粗糙度能采用张量的形式表示，则可将裂隙粗糙面的粗糙度采用粗糙度修正系数张量或粗糙度张量表示，即将裂隙粗糙面几何进行数值化。在建立裂隙渗流的数值模型中，尤其是在3D打印模型时，只需考虑裂隙隙宽，而将裂隙粗糙度用粗糙度张量形式代入模型代替粗糙几何面进行渗透计算，能够使结果数值化，简化结果计算。此法也更利于三维层面的裂隙及裂隙网络的研究，有望成为裂隙渗流研究中考虑粗糙度影响的新方法，但该方法有待进一步验证。

4 结论验证

裂隙面粗糙度的尺寸效应和各向异性是学者们关注的焦点，采用的研究方法也逐渐多样化且富有创新性，且多数方法之间可以相互验证。陈世江等（2017）对前人研究进行了详细总结。现采用定量计算JRC值的方法（王珂等，2020）和分形维数法对本次研究样品的裂隙面粗糙度的各向异性及尺寸效应做进一步的验证。

4.1 JRC与拟合椭圆计算结果对比

根据定量化计算裂隙面粗糙度的方法，即式（11）和式（12），将前文研究所采用的各样品的裂隙面从不同方向取样，计算各样品裂隙面每个角度下的JRC值。

Z_{2 s} = \{\frac{1}{(N_{x} - 1) (N_{y} - 1)} • {[\sum_{i = 1}^{N_{x} - 1} \sum_{j = 1}^{N_{y} - 1} \frac{{(Z_{i + 1, j + 1} - Z_{i, j + 1})}^{2} + {(Z_{i + 1, j} - Z_{i, j})}^{2}}{2 Δ x^{2}} + \sum_{i = 1}^{N_{x} - 1} \sum_{j = 1}^{N_{y} - 1} \frac{{(Z_{i + 1, j + 1} - Z_{i + 1, j})}^{2} + {(Z_{i, j + 1} - Z_{i, j})}^{2}}{2 Δ y^{2}} +]}^{\frac{1}{2}}

（11）

J R C = 32.2 + 32.47 l g Z_{2 s}

（12）

选取2个天然岩石样品和网络公开的裂隙面数据，将其拟合椭圆的长轴和短轴比值与该样品相同角度长短轴方向上JRC值的比值进行对比，结果见表5。

表5 拟合椭圆长短轴比值与对应JRC值结果对比

Table 5 Comparison of the results of fitting ellipse long and short axes ratio and the corresponding JRC values

样品编号	拟合椭圆长短轴		拟合椭圆比值（短轴∶长轴）	相同角度JRC值		JRC比值
样品编号	短轴	长轴	拟合椭圆比值（短轴∶长轴）	短轴方向	长轴方向	JRC比值
S2	1.0794	1.2564	0.8591	8.0524	8.8738	0.9074
S5	1.7833	1.8894	1.0595	5.2042	5.3160	0.9790
S8	1.7585	1.8048	1.0263	15.8357	16.1432	0.9810
S9	1.9811	2.3723	0.8351	10.1867	11.3395	0.8983

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对比表5中数据可知，拟合椭圆比值与JRC比值相近，总体趋势一致，由于JRC值是采用裂隙单面进行计算，没有考虑裂隙隙宽，所以二者之间存在的差距符合实际情况。说明采用拟合椭圆得出裂隙具有各向异性的结论可靠。

4.2 分形维数法对尺寸效应和方向性的验证

分形维数是分形理论中度量岩石孔隙复杂性和无规则性的主要指标，同时也是反映孔隙分布的自相似程度的重要参数，不仅能够表征粗糙面起伏高低之间的比例大小，还能够充分地表示出岩石节理面粗糙和曲折特性（王刚等，2014）。裂隙面的分形维数与粗糙度和隙宽等因素一样，也对单裂隙渗流具有重要影响（鞠杨等，2013；覃源等，2020）。鞠扬等（2013）进一步证实了粗糙度和分形维数对于裂隙渗流的影响，提出了裂隙分形等效渗透系数和计算公式；通过对裂隙分形维数进行分析，可以得到关于裂隙孔径的诸多信息，如裂隙的孔隙结构和渗流方向等。

对裂隙表面和隙宽数据进行分形维数计算，结果见表6和图8。分析表6和图8得出如下结论：

表6 基于粗糙度修正系数的分形维数计算结果

Table 6 Calculation results of fractal dimension based on roughness correction coefficient

样品编号	不同尺寸下的分形维数
样品编号	10%	20%	30%	40%	50%	60%	70%	80%	90%	100%
S1-AP	2.1552	2.2319	2.3103	2.3594	2.3945	2.4137	2.4375	2.4416	2.4592	2.4759
S1-Sur	2.0949	2.1315	2.1057	2.0985	2.1143	2.1114	2.1003	2.0985	2.0908	2.2086
S2-AP	2.1919	2.2632	2.2870	2.3206	2.3223	2.3458	2.3647	2.3818	2.4056	2.4222
S2-Sur	2.0864	2.0748	2.0926	2.1026	2.0762	2.0632	2.0602	2.0600	2.0532	2.0515
S3-AP	2.2115	2.3295	2.3651	2.3832	2.3988	2.4132	2.4175	2.4239	2.4327	2.4157
S3-Sur	2.1055	2.1005	2.1138	2.0697	2.0762	2.0664	2.0683	2.0627	2.0681	2.0862
S4-AP	2.2344	2.3521	2.2300	2.2741	2.2747	2.2343	2.2412	2.2043	2.2032	2.2010
S4-Sur	2.1524	2.1358	2.1112	2.1299	2.1693	2.1643	2.1714	2.1899	2.1840	2.2084
S5-AP	2.2739	2.322	2.3264	2.3644	2.3517	2.3373	2.3075	2.3200	2.3256	2.3333
S5-Sur	2.1074	2.0665	2.0978	2.1478	2.1307	2.1429	2.1524	2.1477	2.1630	2.1537
S6-AP	2.1586	2.2672	2.3314	2.3708	2.4083	2.4290	2.4571	2.4767	2.4757	2.4688
S6-Sur	2.1512	2.1805	2.2040	2.2048	2.2311	2.2272	2.2203	2.2284	2.2247	2.2289
S7-AP	2.1673	2.2112	2.2773	2.3234	2.3618	2.3957	2.4171	2.3821	2.3815	2.4865
S7-Sur	2.1171	2.1256	2.1652	2.1938	2.2032	2.1875	2.1739	2.1792	2.1731	2.1796
S8-AP	2.1948	2.2350	2.2712	2.3056	2.3305	2.3209	2.3299	2.3499	2.3545	2.4317
S8-Sur	2.1800	2.1887	2.1927	2.1895	2.1691	2.1970	2.1613	2.1410	2.1393	2.1491
S9-AP	2.1448	2.2531	2.3078	2.3722	2.4237	2.4067	2.4252	2.4441	2.4608	2.3932
S9-Sur	2.0995	2.1497	2.1291	2.1475	2.1632	2.1658	2.1630	2.1621	2.1622	2.1919

注：表中“AP”代表“隙宽”，“Sur”代表“裂隙面”，样品编号如“S1-AP”代表样品S1的隙宽

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图8

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图8 各岩石裂隙面分形维数图

Fig.8 Fractal dimension diagram of various rock fracture surfaces

（1）各种类型裂隙面分形维数各不相同，同一材料的不同面分形维数也不相同，裂隙顶面的分形维数高于底面。根据顶底面分形差异得出本研究中花岗岩的粗糙度很大。

（2）同一面的分形维数随着观察尺寸的改变而改变，但随着尺寸的增大，分形维数曲线逐渐趋于平稳，如S3-AP、S4-AP、S5-AP、S2-Sur、S6-sur、S7-Sur和S8-Sur曲线具有明显的稳定趋势，这与Fardin et al.（2001）的研究结果相吻合。S1-AP虽然有上升的趋势，但是后期上升速度减缓，S5~S9的隙宽分形维数均在增加到一定值后开始减少，之后又出现反弹，对比图3中几个样品的三维粗糙图，发现可能是因为边缘部分的粗糙度又开始出现较大变化导致。右边样品S1裂隙表面分形维数出现同样的“反弹”现象，也是类似原因导致的。部分曲线未达到平缓状态（如Tuff-Sur），或许是因为截取样品的尺寸大小未充足，还未到达其趋于平缓的大小。Du et al.（2022）针对粗糙度不均一性的研究中指出，样品尺寸的大小会对结果产生较大的影响。

（3）自然粗糙节理的分形维数一般不会太高，本文分形维数结果是处于2.0~2.5之间的非整数，且当有新的研究区域时计算结果会发生变化，也说明研究样品表面粗糙度具有各向异性。

（4）由裂隙面分形维数的变化情况得出裂隙粗糙度具有尺寸效应和各向异性。

5 结论与启示

（1）本次研究所采用的所有岩石样品粗糙度修正系数均受到裂隙样品尺度的影响，粗糙度具有尺寸效应。粗糙度整体上均随着裂隙取样尺寸的改变而发生一定变化，更加肯定了裂隙粗糙面尺寸效应的存在。

（2）岩石裂隙面粗糙度存在各向异性，即具有方向性。极坐标系下粗糙度修正系数可以拟合为椭圆图形，体现粗糙度的各向异性，并初步提示粗糙度或可以使用张量形式表示。可以将粗糙度张量带入裂隙网络或三维裂隙模型中代替原先复杂的裂隙粗糙面，进而简化设计模型和计算。

（3）JRC值对比及分形维数的计算结果均验证了本次研究的可靠性。拟合椭圆长短轴比值与其对应角度的JRC值之比结果相近，验证粗糙度的各向异性以及椭圆拟合结果的可靠性；岩石样品分形维数随着研究尺寸而变化，证明岩石粗糙裂隙的尺寸效应；分形维数值在不断变化，部分结果呈现上升的趋势，说明岩石裂隙粗糙度具有各向异性。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2024/1005-2518/1005-2518-2024-32-2-290.shtml

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The shear strength of rock joints in theory and practice

1978

... 在裂隙渗流的研究中，前人从光滑平行板到粗糙裂隙面，用岩石裂隙粗糙度代表裂隙结构面的粗糙程度，解释岩石裂隙力学及渗流特性.在对裂隙渗流进行研究的过程中，为了反映粗糙度对岩石裂隙渗流的影响，在立方定律公式中加入了粗糙度修正系数C.不论是由Barton et al.（1978）提出的“Barton十条”，还是后续发展起来的分数维表征法（周创兵等，1996；吴继敏等，2003），不少研究人员给出了不同的修正立方定律和粗糙度修正系数值.单裂隙作为岩体裂隙网络的基本元素，其各个参数（如隙宽、粗糙度、充填物和裂隙面接触程度等）均直接影响着裂隙网络，进而影响整个裂隙岩体的渗透性（熊祥斌等，2009；鞠杨等，2013）.因此，作为可以表征裂隙粗糙度的系数，立方定律修正公式中的粗糙度修正系数不可或缺.不少学者给出了粗糙性的计算公式（王报等，2017；王媛等，2020），其中的粗糙度修正系数C多为常量，且各不相同. ...

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式	注释	文献来源
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 17$	$b_{m}$ 为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数	刘日成等，2014
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$		Louis，1969
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 20.5$		刘日成等，2014
$b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}$	$σ_{E}$ 为机械孔径上不同孔径的标准偏差	Patir，1978
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}$	在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）	Walsh，1981
$b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})$		Barton et al.，1978
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1.1 ~ 1.7$	$b_{m}$ = 100~500 µm	Hakami et al.，1995
$b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}$		Renshaw et al.，1995
${b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)$	C为接触比	Zimmerman et al.，1996
$b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}$	< $b_{m}$ >为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度	Waite et al.，1999
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]$	$σ_{a p e r t}$ 为平均机械孔隙的标准偏差	Matsuki et al.，1999
$b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})$	$J R C_{m o b}$ 是JRC的变值， $u_{s}$ 是不超过峰值 $u_{s p}$ 剪切位移的75%	Olsson et al.，2001
$b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})$		Olsson et al.，2001
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})$	$σ_{s l o p e}$ 是断裂面局部斜率的标准偏差	Xiong et al.，2011
$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ... Simple mathematical-model of a rough fracture 1 1995 ... 观察表4中数据， $C_{i j}$ 的绝对值大小在0~5之间，与表3的计算结果（1.0~4.0）大部分重合，即粗糙度系数矩阵计算结果与原结果相近；2种样品的粗糙度修正系数矩阵在次对角线上均具有对称性，尤其是花岗岩样品的粗糙度系数矩阵在各个方向均具有较好的对称性.综上可知，粗糙度修正系数具有各向异性，且具有对称性，能够用张量的形式表示.因粗糙度修正系数是反映裂隙粗糙度的参数，可见粗糙度也具有方向性，且存在对称性，这与岩石裂隙面的粗糙度取决于样本的大小或观测规模（Brown，1995）的认识相吻合. ... Roughness of fault surfaces overnine decades of length scales 1 2012 ... 裂隙对岩体渗透性起主导作用，裂隙渗流受到裂隙粗糙性、开度、充填物和裂隙网络展布等多种因素的影响.对于单条岩石裂隙，粗糙壁面会改变流体运移的直线路径，进而引发流线弯曲，影响裂隙渗透率（Lee et al.，2017）.不同类型岩石的裂隙粗糙度差异较大，渗流效率不同.陈辉辉等（2023）发现花岗岩裂隙宏观程度上的起伏粗糙度大于变质板岩宏观程度上的起伏粗糙度，当裂隙发生渗流时，流体损失自身动量较多，表明渗流在花岗岩中的发展相对较难.裂隙面粗糙度可以控制岩石的几何形状、力学和断层带的传输特性（Candela et al.，2012）.目前，对裂隙粗糙性的描述方法，归纳起来主要有三大类，即凸起高度表征法、节理粗糙度系数JRC 表征法和分数维表征法（王媛等，2020）.天然岩体裂隙网络中，粗糙度的增大会增加裂隙面的非均匀性，减弱裂隙的渗透性，然而由于裂隙面粗糙度对裂隙渗透性的影响机理尚不清楚，二者定量关系不明确，成为限制基岩裂隙水合理利用的重要因素之一. ... 2022 Research on seepage test model of rough rock fracture 2023 Review of research progresses of the quantifying joint roughness coefficient 2017 Characterization of joint roughness heterogeneity and its application in representative sample investigations 1 2022 ... （2）同一面的分形维数随着观察尺寸的改变而改变，但随着尺寸的增大，分形维数曲线逐渐趋于平稳，如S3-AP、S4-AP、S5-AP、S2-Sur、S6-sur、S7-Sur和S8-Sur曲线具有明显的稳定趋势，这与Fardin et al.（2001）的研究结果相吻合.S1-AP虽然有上升的趋势，但是后期上升速度减缓，S5~S9的隙宽分形维数均在增加到一定值后开始减少，之后又出现反弹，对比图3中几个样品的三维粗糙图，发现可能是因为边缘部分的粗糙度又开始出现较大变化导致.右边样品S1裂隙表面分形维数出现同样的“反弹”现象，也是类似原因导致的.部分曲线未达到平缓状态（如Tuff-Sur），或许是因为截取样品的尺寸大小未充足，还未到达其趋于平缓的大小.Du et al.（2022）针对粗糙度不均一性的研究中指出，样品尺寸的大小会对结果产生较大的影响. ... The scale dependence of rock joint surface roughness 1 2001 ... （2）同一面的分形维数随着观察尺寸的改变而改变，但随着尺寸的增大，分形维数曲线逐渐趋于平稳，如S3-AP、S4-AP、S5-AP、S2-Sur、S6-sur、S7-Sur和S8-Sur曲线具有明显的稳定趋势，这与Fardin et al.（2001）的研究结果相吻合.S1-AP虽然有上升的趋势，但是后期上升速度减缓，S5~S9的隙宽分形维数均在增加到一定值后开始减少，之后又出现反弹，对比图3中几个样品的三维粗糙图，发现可能是因为边缘部分的粗糙度又开始出现较大变化导致.右边样品S1裂隙表面分形维数出现同样的“反弹”现象，也是类似原因导致的.部分曲线未达到平缓状态（如Tuff-Sur），或许是因为截取样品的尺寸大小未充足，还未到达其趋于平缓的大小.Du et al.（2022）针对粗糙度不均一性的研究中指出，样品尺寸的大小会对结果产生较大的影响. ... Aperture measurements and flow experiments on a single natural fracture 1996 Experimental research on hydraulic behaviors in a single joint with various values of JRC 2010 New advances in experimental study on seepage characteristics of rock fractures 2008 Experimental study on the seepage mechanism of rough single fractured fluid in rock mass 2013 Three-dimensional measurement of fractures in heterogeneous materials using high-resolution X-ray computed tomography 1 2010 ... 对于单裂隙渗流规律的研究，一般有理论研究（蒋宇静等，2008）、试验研究（贺玉龙等，2010）和数值模拟（Ketcham et al.，2010）3种方式.本文以实际扫描的天然裂隙表面数据和高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）为样本，读取裂隙面空间坐标数据后，采用理论研究（公式法）和数值分析（数值模拟法）计算粗糙度修正系数值，分析修正系数是否存在方向性和尺度性，进而得出粗糙度的相关性质. ... Permeability tensor of three-dimensional fractured porous rock and a comparison to trace map predictions（Article） 2 2014 ... 钟振等（2021）采用数值方法构建了系列尺寸的粗糙单裂隙试样，深入研究粗糙度等对粗糙单裂隙渗透性尺寸依赖性的影响，得出单裂隙渗流具有尺寸效应，但由于该研究使用数值方法模拟生成粗糙裂隙网络，与天然岩石裂隙存在差距，且水头方向设置固定，未能研究其他角度方向的变化.Lang et al.（2014）采用张量的形式表示裂隙岩体等效渗透系数，分别得出二维和三维的渗透张量表示法.刘卫群等（2016）通过渗流模型研究，发现页岩裂隙3个方向上的渗流速率各不相同，垂直方向的渗流速率是水平方向的3倍左右，但模拟生成的裂隙与天然岩石裂隙之间存在差距. ... ... 根据渗透椭圆法，应用旋转矩阵求渗透张量的方法，对粗糙度修正系数进行矩阵求解（Lang et al.，2014；王报等，2017）.计算公式如下： ... The role of eddies in solute transport and recovery in rock fractures：Implication for groundwater remediation 1 2017 ... 裂隙对岩体渗透性起主导作用，裂隙渗流受到裂隙粗糙性、开度、充填物和裂隙网络展布等多种因素的影响.对于单条岩石裂隙，粗糙壁面会改变流体运移的直线路径，进而引发流线弯曲，影响裂隙渗透率（Lee et al.，2017）.不同类型岩石的裂隙粗糙度差异较大，渗流效率不同.陈辉辉等（2023）发现花岗岩裂隙宏观程度上的起伏粗糙度大于变质板岩宏观程度上的起伏粗糙度，当裂隙发生渗流时，流体损失自身动量较多，表明渗流在花岗岩中的发展相对较难.裂隙面粗糙度可以控制岩石的几何形状、力学和断层带的传输特性（Candela et al.，2012）.目前，对裂隙粗糙性的描述方法，归纳起来主要有三大类，即凸起高度表征法、节理粗糙度系数JRC 表征法和分数维表征法（王媛等，2020）.天然岩体裂隙网络中，粗糙度的增大会增加裂隙面的非均匀性，减弱裂隙的渗透性，然而由于裂隙面粗糙度对裂隙渗透性的影响机理尚不清楚，二者定量关系不明确，成为限制基岩裂隙水合理利用的重要因素之一. ... Experimental study of the hydro-mechanical behavior of rock joints using a parallel-plate model containing contact areas and artificial fractures 2 2008 ... $b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25} + (0.00006 + 0.004) Z_{2}^{2.25} (R e - 1)}$ ，Re≥1	$Z_{2}$ 是水头的第一偏差的均方根	Li et al.，2008
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (0.94 - 5.0 \frac{σ_{s}^{2}}{{b_{m}}^{2}})$	$σ_{s}$ 是剪切过程中机械孔隙的标准偏差	Xie et al.，2015
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{0.61912}$ ， $m = 0.6138$		张戈等，2019

对比分析表1中的公式，除去几个引用JRC值进行计算的公式（JRC值使用二维粗糙曲线求解，不太适合本文研究数据，故包括JRC值的计算公式不在本文研究范围）之外，Louis（1969）的公式是相关研究中较早且被后续引用较多的，如：张有天（2005）提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见.因此，特将二者提出的公式进行计算对比. ...

... 将扫描得到的裂隙面采用法向和切向位移法（Li et al.，2008）获得顶底面数据，计算隙宽，导出底面和隙宽的空间坐标数据.为方便计算分析并尽可能保留最大原始数据，采用能同时包含顶底2个面最多原始数据的矩形截取框截取隙宽和底面，得到样品的隙宽三维视图分别如图3（a2）~图3（g2）所示，底面的三维视图分别如图3（a3）~图3（g3）所示. ...

A numerical approach for assessing effects of shear on equivalent permeability and nonlinear flow characteristics of 2-D fracture networks

2018

... 诸多学者通过研究隙宽对渗流的影响，不仅给出了各自的立方定律修正公式，而且得出粗糙度修正系数公式，结合Liu et al.（2018）总结的公式加以整理，得到代表性经验公式（表1）. ...

Numerical calculation of directivity of equivalent permeability of fractured rock masses network

2014

Dual media model of shale layer with anisotropy involved and its simulation on gas migration

2016

Porous media equivalents for networks of discontinuous fractures

1982

... 张有天（2005）提及的渗透椭圆图原理，通过椭圆图判断是否存在粗糙度修正系数张量.此外，前人在裂隙网络渗流研究中采用渗透系数椭圆绘制法进行渗透系数方向性判定.如Long et al.（1982）通过采用绘制渗透系数椭圆的方法，判断裂隙岩体是否可以使用等效连续介质来表征；刘日成等（2014）根据裂隙开口度与截取长度等的关系绘制等效渗透系数椭圆曲线，判断其是否满足使用等效连续介质的条件；Marcus（1962）根据渗透测量绘制椭球后，得出椭球的主轴最大方向指示着渗透方向.刘日成等（2014）还指出，椭圆曲线长短轴之差的大小以及曲线的光滑程度，均对判定方向性具有十分重要的意义. ...

... 椭圆的长短轴分别指示粗糙度修正系数的最大值和最小值，可根据两轴与水平轴夹角的大小差异判断其方向性（Long et al.，1982）.测量统计图6和图7的长短轴与水平轴的夹角，结果见表3.由表3可知：（1）各图形中长轴、短轴与水平线之间的夹角存在差异，即粗糙度修正系数存在各向异性；（2）不同类型岩石的粗糙度修正系数会随着方向的变化而变化；（3）粗糙度修正系数也体现岩石样品粗糙度的变化，同一样品不同方向的粗糙度也会有差异，导致不同方向的渗流速度存在差异. ...

A Study of Groundwater Flow in Jointed Rock and Its Influence on The Stability of Rock Masses

1969

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

... 对比分析表1中的公式，除去几个引用JRC值进行计算的公式（JRC值使用二维粗糙曲线求解，不太适合本文研究数据，故包括JRC值的计算公式不在本文研究范围）之外，Louis（1969）的公式是相关研究中较早且被后续引用较多的，如：张有天（2005）提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见.因此，特将二者提出的公式进行计算对比. ...

... Louis（1969）提出的立方定律修正公式中建议的粗糙度修正系数（C）为 ...

... Relationship formula between fracture width and roughness

Table 2

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即： ...

The permeability of a sample of an anisotropic porous medium

1962

Size effect in flow conductance of a closed small-scale hydraulic fracture in granite

1999

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

... 另外，Zimmerman et al.（1996）、Xiong et al.（2011）和Matsuki et al.（1999）在三次方范围上提出立方定律修正公式，且都曾通过对局部立方定律的分析研究，讨论其中水力隙宽（

b_{h}

，单位：mm）与机械隙宽（

b_{m}

，单位：mm）之间的关系，从而提出各自推导的更加适用于实际的公式.其中，Zimmerman et al.（1996）和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有

({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})

项系数不同，为观察其差异性，对二者一起进行计算.Matsuki et al.（1999）提出的公式作为表1中非整数幂次公式代表加入计算.最后将几个公式均表示成机械隙宽与水力隙宽的比值关系表达式，如表2所示. ...

... 项系数不同，为观察其差异性，对二者一起进行计算.Matsuki et al.（1999）提出的公式作为表1中非整数幂次公式代表加入计算.最后将几个公式均表示成机械隙宽与水力隙宽的比值关系表达式，如表2所示. ...

... Relationship formula between fracture width and roughness

Table 2

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即： ...

An improved model for hydromechanical coupling during shearing of rock joints

2001

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

A numerical procedure for random generation of rough surfaces

1978

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

Simulating the influence of different joint roughness on single-fracture seepage

2020

Correlations developed for estimation of hydraulic parameters of rough fractures through the simulation of JRC flow channels

2011

...

b_{h} = b_{m} {(1 - 2.25 \frac{σ_{E}}{b_{m}})}^{\frac{1}{3}}

d_{m c}

是最小闭合距离，而

J R C_{a}

是上、下2个面平均结合粗糙系数

Rasouli et al.，2011

$b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25}}$ ，Re<1 ...

An experimentally verified criterion for propagation across unbounded frictional interfaces in brittle， linear elastic materials

1995

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

Fracture in tuff

2016

... 网络公开的高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Richard，2016；Richard et al.，2018）原始图像如图4（a）和图4（b）所示，共2种材料，均为张性裂隙，其中（a）为凝灰岩，记为S4；（b）为花岗岩，记为S5.将裂隙划分为顶、底2个面，2个面数据相减得到隙宽数据，最终全部导出相应的空间坐标数据.为方便计算分析并尽可能保留最大原始数据，采用能同时包含顶底2个面最多原始数据的矩形截取框截取隙宽和底面，得到隙宽及底面的三维视图分别如图4（c）~4（f）所示. ...

Fracture in granite

2018

The effect of surface geometry on fracture permeability：A case study using a sinusoidal fracture

1998

Effect of pore pressure and confining pressure on fracture permeability

1981

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式	注释	文献来源
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 17$	$b_{m}$ 为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数	刘日成等，2014
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$		Louis，1969
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 20.5$		刘日成等，2014
$b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}$	$σ_{E}$ 为机械孔径上不同孔径的标准偏差	Patir，1978
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}$	在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）	Walsh，1981
$b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})$		Barton et al.，1978
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1.1 ~ 1.7$	$b_{m}$ = 100~500 µm	Hakami et al.，1995
$b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}$		Renshaw et al.，1995
${b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)$	C为接触比	Zimmerman et al.，1996
$b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}$	< $b_{m}$ >为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度	Waite et al.，1999
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]$	$σ_{a p e r t}$ 为平均机械孔隙的标准偏差	Matsuki et al.，1999
$b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})$	$J R C_{m o b}$ 是JRC的变值， $u_{s}$ 是不超过峰值 $u_{s p}$ 剪切位移的75%	Olsson et al.，2001
$b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})$		Olsson et al.，2001
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})$	$σ_{s l o p e}$ 是断裂面局部斜率的标准偏差	Xiong et al.，2011
$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ... Determinateion on hydraulic aperture of single rough fractures based on standard curves of discrete joint roughness coefficien 2017 2014 Study on seepage characteristics of rough crack under coupling of stress-seepage erosion 3 2020 ... 对于单裂隙渗流规律的研究，一般有理论研究（蒋宇静等，2008）、试验研究（贺玉龙等，2010）和数值模拟（Ketcham et al.，2010）3种方式.本文以实际扫描的天然裂隙表面数据和高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）为样本，读取裂隙面空间坐标数据后，采用理论研究（公式法）和数值分析（数值模拟法）计算粗糙度修正系数值，分析修正系数是否存在方向性和尺度性，进而得出粗糙度的相关性质. ... ... 式中： $Δ / b_{m}$ 为相对起伏差.但是Louis并没有对 $Δ / b_{m}$ 进行探讨，张有天（2005）对其进行了详细概括.计算式为 $∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$ ，因n取值越大导致 $∆$ 越小，明显不合理，故统计 $h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}$ 的值求取方差 ${(σ_{h}^{∆})}^{2}$ ，方差越大表示表面越粗糙（Wang et al.，2020）.由于 $σ_{h}^{∆}$ 是裂隙范围内的统计值，因此更具有代表性（以下将 $σ_{h}^{∆}$ 记为 $σ_{s}$ ）. ... ... 与人工制作样品相比，天然岩石裂隙由于受构造力和风化等影响而产生的粗糙程度更贴合实际.为此，本研究采用天然形成的岩石裂隙面作为研究对象.其中，一部分数据是通过扫描云南省个旧高松矿田的岩石样品而获得的，另一部分是网络公开的天然岩石裂隙数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）. ... The complexity of nonlinear flow and non-fickian transport in fractures driven by three-dimensional recirculation zones 2020 Research on the behavior of fluid flow in a single fracture and its equivalent hydraulic aperture 2002 Joint roughness coefficients and their fractal dimension 2003 Numerical investigation of geometrical and hydraulic properties in a single rock fracture during shear displacement with the Navier-Stokes equations 1 2015 ... $b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25} + (0.00006 + 0.004) Z_{2}^{2.25} (R e - 1)}$ ，Re≥1	$Z_{2}$ 是水头的第一偏差的均方根	Li et al.，2008
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (0.94 - 5.0 \frac{σ_{s}^{2}}{{b_{m}}^{2}})$	$σ_{s}$ 是剪切过程中机械孔隙的标准偏差	Xie et al.，2015
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{0.61912}$ ， $m = 0.6138$		张戈等，2019

对比分析表1中的公式，除去几个引用JRC值进行计算的公式（JRC值使用二维粗糙曲线求解，不太适合本文研究数据，故包括JRC值的计算公式不在本文研究范围）之外，Louis（1969）的公式是相关研究中较早且被后续引用较多的，如：张有天（2005）提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见.因此，特将二者提出的公式进行计算对比. ...

Experimental and numerical study of the geometrical and hydraulic characteristics of a single rock fracture during shear

2011

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

b_{h}

，单位：mm）与机械隙宽（

b_{m}

，单位：mm）之间的关系，从而提出各自推导的更加适用于实际的公式.其中，Zimmerman et al.（1996）和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有

({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})

... 和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有

({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})

... Relationship formula between fracture width and roughness

Table 2

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即： ...

A review of steady state seepage in a single fracture of rock

2009

Numerical study on the mechanism of fluid flow through single rough fractures with different JRC

2019

2005

Study on size effect of permeability of single rough fracture and its corresponding influencing factors

2021

Relation between joint roughness coefficient and fractal dimension

1996

Hydraulic conductivity of rock fractures

1996

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式

注释

文献来源

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 17

b_{m}

为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数

刘日成等，2014

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 8.8

Louis，1969

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}

，

m = 20.5

刘日成等，2014

b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}

σ_{E}

为机械孔径上不同孔径的标准偏差

Patir，1978

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}

在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）

Walsh，1981

b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})

Barton et al.，1978

{b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}

，

C = 1.1 ~ 1.7

b_{m}

= 100~500 µm

Hakami et al.，1995

b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}

Renshaw et al.，1995

{b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)

C为接触比

Zimmerman et al.，1996

b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}

b_{m}

>为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度

Waite et al.，1999

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]

σ_{a p e r t}

为平均机械孔隙的标准偏差

Matsuki et al.，1999

b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})

J R C_{m o b}

是JRC的变值，

u_{s}

是不超过峰值

u_{s p}

剪切位移的75%

Olsson et al.，2001

b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})

{b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})

σ_{s l o p e}

是断裂面局部斜率的标准偏差

Xiong et al.，2011

$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ...

b_{h}

，单位：mm）与机械隙宽（

b_{m}

，单位：mm）之间的关系，从而提出各自推导的更加适用于实际的公式.其中，Zimmerman et al.（1996）和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有

({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})

... ，单位：mm）之间的关系，从而提出各自推导的更加适用于实际的公式.其中，Zimmerman et al.（1996）和Xiong et al.（2011）得出的最终关系式只有

({σ_{s}}^{2} / {b_{m}}^{2})

... Relationship formula between fracture width and roughness

Table 2

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即： ...

2022

... 对于单裂隙渗流规律的研究，一般有理论研究（蒋宇静等，2008）、试验研究（贺玉龙等，2010）和数值模拟（Ketcham et al.，2010）3种方式.本文以实际扫描的天然裂隙表面数据和高精度粗糙岩石裂隙CT扫描数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）为样本，读取裂隙面空间坐标数据后，采用理论研究（公式法）和数值分析（数值模拟法）计算粗糙度修正系数值，分析修正系数是否存在方向性和尺度性，进而得出粗糙度的相关性质. ...

... 与人工制作样品相比，天然岩石裂隙由于受构造力和风化等影响而产生的粗糙程度更贴合实际.为此，本研究采用天然形成的岩石裂隙面作为研究对象.其中，一部分数据是通过扫描云南省个旧高松矿田的岩石样品而获得的，另一部分是网络公开的天然岩石裂隙数据（Wang et al.，2020；陈刚等，2022）. ...

岩石粗糙裂隙渗流试验模型研究

2023

... 裂隙对岩体渗透性起主导作用，裂隙渗流受到裂隙粗糙性、开度、充填物和裂隙网络展布等多种因素的影响.对于单条岩石裂隙，粗糙壁面会改变流体运移的直线路径，进而引发流线弯曲，影响裂隙渗透率（Lee et al.，2017）.不同类型岩石的裂隙粗糙度差异较大，渗流效率不同.陈辉辉等（2023）发现花岗岩裂隙宏观程度上的起伏粗糙度大于变质板岩宏观程度上的起伏粗糙度，当裂隙发生渗流时，流体损失自身动量较多，表明渗流在花岗岩中的发展相对较难.裂隙面粗糙度可以控制岩石的几何形状、力学和断层带的传输特性（Candela et al.，2012）.目前，对裂隙粗糙性的描述方法，归纳起来主要有三大类，即凸起高度表征法、节理粗糙度系数JRC 表征法和分数维表征法（王媛等，2020）.天然岩体裂隙网络中，粗糙度的增大会增加裂隙面的非均匀性，减弱裂隙的渗透性，然而由于裂隙面粗糙度对裂隙渗透性的影响机理尚不清楚，二者定量关系不明确，成为限制基岩裂隙水合理利用的重要因素之一. ...

岩体结构面粗糙度系数定量表征研究进展

2017

... 裂隙面粗糙度的尺寸效应和各向异性是学者们关注的焦点，采用的研究方法也逐渐多样化且富有创新性，且多数方法之间可以相互验证.陈世江等（2017）对前人研究进行了详细总结.现采用定量计算JRC值的方法（王珂等，2020）和分形维数法对本次研究样品的裂隙面粗糙度的各向异性及尺寸效应做进一步的验证. ...

不同节理粗糙度系数单裂隙渗流特性试验研究

2010

岩石裂隙渗流特性试验研究的新进展

2008

岩体粗糙单裂隙流体渗流机制的实验研究

2013

... 分形维数是分形理论中度量岩石孔隙复杂性和无规则性的主要指标，同时也是反映孔隙分布的自相似程度的重要参数，不仅能够表征粗糙面起伏高低之间的比例大小，还能够充分地表示出岩石节理面粗糙和曲折特性（王刚等，2014）.裂隙面的分形维数与粗糙度和隙宽等因素一样，也对单裂隙渗流具有重要影响（鞠杨等，2013；覃源等，2020）.鞠扬等（2013）进一步证实了粗糙度和分形维数对于裂隙渗流的影响，提出了裂隙分形等效渗透系数和计算公式；通过对裂隙分形维数进行分析，可以得到关于裂隙孔径的诸多信息，如裂隙的孔隙结构和渗流方向等. ...

岩体裂隙网络等效渗透系数方向性的数值计算

2014

... Representative empirical relationship formulas between hydraulic gap width and mechanical gap width

Table 1

公式	注释	文献来源
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 17$	$b_{m}$ 为不连续表面粗糙度的量级，m为一个系数	刘日成等，2014
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$		Louis，1969
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 20.5$		刘日成等，2014
$b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}$	$σ_{E}$ 为机械孔径上不同孔径的标准偏差	Patir，1978
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}$	在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）	Walsh，1981
$b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})$		Barton et al.，1978
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1.1 ~ 1.7$	$b_{m}$ = 100~500 µm	Hakami et al.，1995
$b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}$		Renshaw et al.，1995
${b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)$	C为接触比	Zimmerman et al.，1996
$b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}$	< $b_{m}$ >为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度	Waite et al.，1999
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]$	$σ_{a p e r t}$ 为平均机械孔隙的标准偏差	Matsuki et al.，1999
$b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})$	$J R C_{m o b}$ 是JRC的变值， $u_{s}$ 是不超过峰值 $u_{s p}$ 剪切位移的75%	Olsson et al.，2001
$b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})$		Olsson et al.，2001
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})$	$σ_{s l o p e}$ 是断裂面局部斜率的标准偏差	Xiong et al.，2011
$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ... ... 刘日成等，2014
$b_{h} = b_{m} {[1 - 0.9 e x p (- 0.56 \frac{b_{m}}{σ_{E}})]}^{\frac{1}{3}}$	$σ_{E}$ 为机械孔径上不同孔径的标准偏差	Patir，1978
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} \frac{1 - C}{1 + C}$	在Zimmerman et al.（1996）的研究中C = 0.25 （1992）	Walsh，1981
$b_{h} = \frac{b_{m}}{J R C^{2.5}} ({b_{h}}^{2} = \frac{b_{m}}{C}, C = \frac{J R C^{5}}{e^{2}})$		Barton et al.，1978
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1.1 ~ 1.7$	$b_{m}$ = 100~500 µm	Hakami et al.，1995
$b_{h} = b_{m} {[1 + \frac{σ_{E}^{2}}{{b_{m}}^{2}}]}^{- \frac{1}{2}}$		Renshaw et al.，1995
${b_{h}}^{3} \approx {b_{m}}^{3} (1 - 1.5 \frac{σ_{a p e r t}^{2}}{{b_{m}}^{2}} + . . .) (1 - 2 c)$	C为接触比	Zimmerman et al.，1996
$b_{h} = b_{m} 〈b_{m}〉 / τ^{1 / 3}$	< $b_{m}$ >为真实孔隙的调和平均值，τ为曲折度	Waite et al.，1999
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} 1 - [\frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 b_{m} / σ_{a p e r t})}^{1.93}}]$	$σ_{a p e r t}$ 为平均机械孔隙的标准偏差	Matsuki et al.，1999
$b_{h} = \frac{{b_{m}}^{2}}{J R C^{2.5}} (u_{s} \leq 0.75 u_{s p})$	$J R C_{m o b}$ 是JRC的变值， $u_{s}$ 是不超过峰值 $u_{s p}$ 剪切位移的75%	Olsson et al.，2001
$b_{h} = {b_{m}}^{1 / 2} J R C_{m o b} (u_{s} \geq u_{s p})$		Olsson et al.，2001
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (1 - 1.0 \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}}) (1 - \frac{σ_{a p e r t}}{b_{m}} \frac{\sqrt[]{σ_{s l o p e}}}{10} \sqrt[]{R e})$	$σ_{s l o p e}$ 是断裂面局部斜率的标准偏差	Xiong et al.，2011
$b_{h} = b_{m} {[{(1 - 0.03 d_{m c}^{- 0.565})}^{J R C_{a}}]}^{\frac{1}{3}}$ 或 ... ... 张有天（2005）提及的渗透椭圆图原理，通过椭圆图判断是否存在粗糙度修正系数张量.此外，前人在裂隙网络渗流研究中采用渗透系数椭圆绘制法进行渗透系数方向性判定.如Long et al.（1982）通过采用绘制渗透系数椭圆的方法，判断裂隙岩体是否可以使用等效连续介质来表征；刘日成等（2014）根据裂隙开口度与截取长度等的关系绘制等效渗透系数椭圆曲线，判断其是否满足使用等效连续介质的条件；Marcus（1962）根据渗透测量绘制椭球后，得出椭球的主轴最大方向指示着渗透方向.刘日成等（2014）还指出，椭圆曲线长短轴之差的大小以及曲线的光滑程度，均对判定方向性具有十分重要的意义. ... ... 根据渗透测量绘制椭球后，得出椭球的主轴最大方向指示着渗透方向.刘日成等（2014）还指出，椭圆曲线长短轴之差的大小以及曲线的光滑程度，均对判定方向性具有十分重要的意义. ... 基于页岩储层各向异性的双重介质模型和渗流模拟 1 2016 ... 钟振等（2021）采用数值方法构建了系列尺寸的粗糙单裂隙试样，深入研究粗糙度等对粗糙单裂隙渗透性尺寸依赖性的影响，得出单裂隙渗流具有尺寸效应，但由于该研究使用数值方法模拟生成粗糙裂隙网络，与天然岩石裂隙存在差距，且水头方向设置固定，未能研究其他角度方向的变化.Lang et al.（2014）采用张量的形式表示裂隙岩体等效渗透系数，分别得出二维和三维的渗透张量表示法.刘卫群等（2016）通过渗流模型研究，发现页岩裂隙3个方向上的渗流速率各不相同，垂直方向的渗流速率是水平方向的3倍左右，但模拟生成的裂隙与天然岩石裂隙之间存在差距. ... 模拟不同节理粗糙度对单裂隙渗流的影响 1 2020 ... 分形维数是分形理论中度量岩石孔隙复杂性和无规则性的主要指标，同时也是反映孔隙分布的自相似程度的重要参数，不仅能够表征粗糙面起伏高低之间的比例大小，还能够充分地表示出岩石节理面粗糙和曲折特性（王刚等，2014）.裂隙面的分形维数与粗糙度和隙宽等因素一样，也对单裂隙渗流具有重要影响（鞠杨等，2013；覃源等，2020）.鞠扬等（2013）进一步证实了粗糙度和分形维数对于裂隙渗流的影响，提出了裂隙分形等效渗透系数和计算公式；通过对裂隙分形维数进行分析，可以得到关于裂隙孔径的诸多信息，如裂隙的孔隙结构和渗流方向等. ... 基于离散标准节理粗糙度系数曲线的粗糙单裂隙等效水力隙宽的确定 2 2017 ... 在裂隙渗流的研究中，前人从光滑平行板到粗糙裂隙面，用岩石裂隙粗糙度代表裂隙结构面的粗糙程度，解释岩石裂隙力学及渗流特性.在对裂隙渗流进行研究的过程中，为了反映粗糙度对岩石裂隙渗流的影响，在立方定律公式中加入了粗糙度修正系数C.不论是由Barton et al.（1978）提出的“Barton十条”，还是后续发展起来的分数维表征法（周创兵等，1996；吴继敏等，2003），不少研究人员给出了不同的修正立方定律和粗糙度修正系数值.单裂隙作为岩体裂隙网络的基本元素，其各个参数（如隙宽、粗糙度、充填物和裂隙面接触程度等）均直接影响着裂隙网络，进而影响整个裂隙岩体的渗透性（熊祥斌等，2009；鞠杨等，2013）.因此，作为可以表征裂隙粗糙度的系数，立方定律修正公式中的粗糙度修正系数不可或缺.不少学者给出了粗糙性的计算公式（王报等，2017；王媛等，2020），其中的粗糙度修正系数C多为常量，且各不相同. ... ... 根据渗透椭圆法，应用旋转矩阵求渗透张量的方法，对粗糙度修正系数进行矩阵求解（Lang et al.，2014；王报等，2017）.计算公式如下： ... 1 2014 ... 分形维数是分形理论中度量岩石孔隙复杂性和无规则性的主要指标，同时也是反映孔隙分布的自相似程度的重要参数，不仅能够表征粗糙面起伏高低之间的比例大小，还能够充分地表示出岩石节理面粗糙和曲折特性（王刚等，2014）.裂隙面的分形维数与粗糙度和隙宽等因素一样，也对单裂隙渗流具有重要影响（鞠杨等，2013；覃源等，2020）.鞠扬等（2013）进一步证实了粗糙度和分形维数对于裂隙渗流的影响，提出了裂隙分形等效渗透系数和计算公式；通过对裂隙分形维数进行分析，可以得到关于裂隙孔径的诸多信息，如裂隙的孔隙结构和渗流方向等. ... 应力—渗流侵蚀耦合作用下粗糙裂隙渗流特性研究 1 2020 ... 裂隙面粗糙度的尺寸效应和各向异性是学者们关注的焦点，采用的研究方法也逐渐多样化且富有创新性，且多数方法之间可以相互验证.陈世江等（2017）对前人研究进行了详细总结.现采用定量计算JRC值的方法（王珂等，2020）和分形维数法对本次研究样品的裂隙面粗糙度的各向异性及尺寸效应做进一步的验证. ... 单裂隙面渗流特性及等效水力隙宽 2002 裂隙粗糙度系数及其分数维研究 1 2003 ... 在裂隙渗流的研究中，前人从光滑平行板到粗糙裂隙面，用岩石裂隙粗糙度代表裂隙结构面的粗糙程度，解释岩石裂隙力学及渗流特性.在对裂隙渗流进行研究的过程中，为了反映粗糙度对岩石裂隙渗流的影响，在立方定律公式中加入了粗糙度修正系数C.不论是由Barton et al.（1978）提出的“Barton十条”，还是后续发展起来的分数维表征法（周创兵等，1996；吴继敏等，2003），不少研究人员给出了不同的修正立方定律和粗糙度修正系数值.单裂隙作为岩体裂隙网络的基本元素，其各个参数（如隙宽、粗糙度、充填物和裂隙面接触程度等）均直接影响着裂隙网络，进而影响整个裂隙岩体的渗透性（熊祥斌等，2009；鞠杨等，2013）.因此，作为可以表征裂隙粗糙度的系数，立方定律修正公式中的粗糙度修正系数不可或缺.不少学者给出了粗糙性的计算公式（王报等，2017；王媛等，2020），其中的粗糙度修正系数C多为常量，且各不相同. ... 岩石单裂隙稳态渗流研究进展 1 2009 ... 在裂隙渗流的研究中，前人从光滑平行板到粗糙裂隙面，用岩石裂隙粗糙度代表裂隙结构面的粗糙程度，解释岩石裂隙力学及渗流特性.在对裂隙渗流进行研究的过程中，为了反映粗糙度对岩石裂隙渗流的影响，在立方定律公式中加入了粗糙度修正系数C.不论是由Barton et al.（1978）提出的“Barton十条”，还是后续发展起来的分数维表征法（周创兵等，1996；吴继敏等，2003），不少研究人员给出了不同的修正立方定律和粗糙度修正系数值.单裂隙作为岩体裂隙网络的基本元素，其各个参数（如隙宽、粗糙度、充填物和裂隙面接触程度等）均直接影响着裂隙网络，进而影响整个裂隙岩体的渗透性（熊祥斌等，2009；鞠杨等，2013）.因此，作为可以表征裂隙粗糙度的系数，立方定律修正公式中的粗糙度修正系数不可或缺.不少学者给出了粗糙性的计算公式（王报等，2017；王媛等，2020），其中的粗糙度修正系数C多为常量，且各不相同. ... 不同JRC粗糙单裂隙的渗流机理数值模拟研究 1 2019 ... $b_{h} = \frac{b_{m}}{1 + Z_{2}^{2.25} + (0.00006 + 0.004) Z_{2}^{2.25} (R e - 1)}$ ，Re≥1	$Z_{2}$ 是水头的第一偏差的均方根	Li et al.，2008
${b_{h}}^{3} = {b_{m}}^{3} (0.94 - 5.0 \frac{σ_{s}^{2}}{{b_{m}}^{2}})$	$σ_{s}$ 是剪切过程中机械孔隙的标准偏差	Xie et al.，2015
${b_{h}}^{2} = \frac{{b_{m}}^{2}}{C}$ ， $C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{0.61912}$ ， $m = 0.6138$		张戈等，2019

对比分析表1中的公式，除去几个引用JRC值进行计算的公式（JRC值使用二维粗糙曲线求解，不太适合本文研究数据，故包括JRC值的计算公式不在本文研究范围）之外，Louis（1969）的公式是相关研究中较早且被后续引用较多的，如：张有天（2005）提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见.因此，特将二者提出的公式进行计算对比. ...

2005

... 岩石裂隙渗流的研究一般采用立方定律，不少学者给出各自的修正立方定律或局部立方定律，其中加入一个可以用粗糙度修正系数

C

来表征和计算裂隙的裂隙面粗糙度.如张有天（2005）给出如下计算公式： ...

... 提出的修正公式就是在其基础上对方差取值进行了深入探讨和修正，且张有天（2005）建议的m值小于1，这在同类型修正公式中很少见.因此，特将二者提出的公式进行计算对比. ...

... 式中：

Δ / b_{m}

为相对起伏差.但是Louis并没有对

Δ / b_{m}

进行探讨，张有天（2005）对其进行了详细概括.计算式为

∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} |h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}|

，因n取值越大导致

∆

越小，明显不合理，故统计

h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}

的值求取方差

{(σ_{h}^{∆})}^{2}

，方差越大表示表面越粗糙（Wang et al.，2020）.由于

σ_{h}^{∆}

是裂隙范围内的统计值，因此更具有代表性（以下将

σ_{h}^{∆}

记为

σ_{s}

）. ...

... Relationship formula between fracture width and roughness

Table 2

代表符号	公式	注释	文献来源
Eq-L	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}$ ， $m = 8.8$	Louis，1969
Eq-Zi	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.5 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$	$σ_{s}$ 趋于0时，比值 $b_{h}$ / $b_{m}$ 趋于1	Zimmerman et al.，1996
Eq-M	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - \frac{1.13}{1 + 0.191 {(2 (b_{m} / σ_{s 0}))}^{1.93}}}$	$σ_{s 0}$ 为初始孔径值的标准偏差	Matsuki et al.，1999
Eq-X	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \sqrt[3]{1 - 1.0 σ_{s}^{2} / {b_{m}}^{2}}$		Xiong et al.，2011
Eq-Zh	$\frac{b_{h}}{b_{m}} = \frac{1}{\sqrt[]{C}}$	$C = 1 + m {(\frac{∆}{2 b_{m}})}^{1.5}, ∆ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \|h_{i}^{∆} - h_{i - 1}^{∆}\|$	张有天，2005

设表2中各公式的右边部分均作为一个整体，用 $A$ 表示，又将这些公式分别结合式（6），可以得到不同的关于 $C$ 的表达式，即： ...

粗糙单裂隙渗透性尺寸效应及其影响因素研究

2021

... 钟振等（2021）采用数值方法构建了系列尺寸的粗糙单裂隙试样，深入研究粗糙度等对粗糙单裂隙渗透性尺寸依赖性的影响，得出单裂隙渗流具有尺寸效应，但由于该研究使用数值方法模拟生成粗糙裂隙网络，与天然岩石裂隙存在差距，且水头方向设置固定，未能研究其他角度方向的变化.Lang et al.（2014）采用张量的形式表示裂隙岩体等效渗透系数，分别得出二维和三维的渗透张量表示法.刘卫群等（2016）通过渗流模型研究，发现页岩裂隙3个方向上的渗流速率各不相同，垂直方向的渗流速率是水平方向的3倍左右，但模拟生成的裂隙与天然岩石裂隙之间存在差距. ...

... 将每个夹角视为从水平方向旋转的角度，则可以用矩阵表示出旋转的角度.记旋转角为

θ

，对应的旋转矩阵

R

（钟振等，2021）为 ...

节理面粗糙度系数与分形维数的关系

1996

〈

〉