基于SVR的PFC微观参数辅助标定方法研究

图1 参数标定流程

Fig.1 Parameter calibration process

1 PFC接触模型及微观参数

1.1 平行黏结模型

线性平行黏结模型（Linear Parallel Bond Model）常用来表征岩石材料的破坏过程，该模型描述了2个界面的行为：一个无限小的、线性弹性（不承受拉力）的摩擦界面来传递力；一个有限尺寸的、线性弹性的黏结界面来传递力和力矩，如图2所示。

图2

图2 线性平行黏结模型（Potyondy，2018）

Fig.2 Linear parallel bond model（Potyondy，2018）

使用线性平行黏结模型进行数值模拟时，需要分别标定平行黏结材料类参数和线性材料类参数。其中，平行黏结材料类包含线性组中有效模量（ $E^{*}$ ）、刚度比（ $κ^{*}$ ）和摩擦系数（ $μ$ ）共3个参数，以及平行黏结组中配置间隙（ $g_{i}$ ）、半径因子（ $\bar{λ}$ ）、黏结有效模量（ ${\bar{E}}^{*}$ ）、黏结刚度比（ ${\bar{κ}}^{*}$ ）、力矩贡献因子（ $\bar{β}$ ）、黏结拉伸强度（ ${\bar{σ}}_{c}$ ）、黏结内聚力（ $\bar{c}$ ）和黏结摩擦角（ $\bar{ϕ}$ ）共8个参数；线性材料类包含线性有效模量（ $E_{n}^{*}$ ）、线性刚度比（ $κ_{n}^{*}$ ）和线性摩擦系数（ $μ_{n}$ ）共3个参数（Potyondy，2018）。

这些参数累计14个，参考Potyondy et al.（2004）的研究，不同类组中3个有效模量、3个刚度比、2个摩擦系数可以设置为相同数值， $g_{i}$ 、 $\bar{λ}$ 和 $\bar{β}$ 因子分别为0.0、1.0和1.0，这样需要标定参数的数量可减少至6个，即 $E^{*}$ 、 $κ^{*}$ 、 $μ$ 、 ${\bar{σ}}_{c}$ 、 $\bar{c}$ 和 $\bar{ϕ}$ 。

1.2 数值模型建立

考虑到计算效率，本文模拟使用PFC^2D软件，通过单轴压缩试验标定岩石的弹性模量、泊松比和抗压强度，通过巴西劈裂试验标定岩石的抗拉强度。单轴压缩模型尺寸为50 mm×100 mm，加载板轴向应变率为0.025；巴西劈裂模型直径为50 mm，加载板轴向应变率为0.05。2个模型的最小颗粒直径为1 mm，最大颗粒直径为1.66 mm，材料密度为2 600 kg/m³，颗粒孔隙率为0.08，2个模型颗粒数分别约为3 250个和1 300个，模型如图3所示。

图3

图3 PFC^2D数值模型

Fig.3 PFC^2D numerical model

1.3 正交试验

正交试验是研究多因素多水平的一种设计方法，该方法只挑选部分有代表性的点进行试验，可以有效降低研究时间和成本。本次正交试验的设计参考黄宜胜等（2021）关于砂岩参数标定的研究，在不考虑最小粒子半径影响的情况下，考虑砂岩的参数取值范围最终确定为6因素4水平，正交试验因素和水平数据见表1。

表1 正交试验因素和水平数据

Table 1 Experimental factors and level data

水平	${\bar{E}}^{*}$ /GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c}$ /MPa	$\bar{c}$ /MPa	$\bar{ϕ}$
1	3	1	0.2	15	15	15
2	6	2	0.4	30	20	30
3	9	3	0.6	45	25	45
4	12	4	0.8	60	30	60

根据上述试验因素和水平数据建立L32.4.6正交表进行数值模拟，获得与微观参数相对应的宏观参数，分别是弹性模量（ $E$ ）、泊松比（ $ν$ ）、抗压强度（ $σ_{c}$ ）和抗拉强度（ $σ_{t}$ ），建立正交试验表（表2），后续将该表作为本文研究样本集。

表2 正交试验表

Table 2 Orthogonal experimental table

编号	${\bar{E}}^{*}$ /GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c}$ /MPa	$\bar{c}$ /MPa	$\bar{ϕ}$ /（°）	$E$ /GPa	$ν$	$σ_{c}$ /MPa	$σ_{t}$ /MPa	$σ_{c}$ / $σ_{t}$
1	3	1	0.2	15	15	15	4.82	0.169	22.40	5.47	4.1
2	3	1	0.4	45	30	45	4.94	0.146	52.67	11.85	4.4
3	3	2	0.2	45	25	60	4.10	0.305	42.37	5.92	7.2
4	3	2	0.4	15	20	30	4.23	0.268	27.57	5.28	5.2
5	3	3	0.6	60	15	30	3.85	0.324	36.57	7.61	4.8
6	3	3	0.8	30	30	60	4.00	0.313	35.51	7.79	4.6
7	3	4	0.6	60	25	45	3.63	0.399	43.90	7.62	5.8
8	3	4	0.8	60	20	15	3.69	0.384	52.92	10.90	4.9
9	6	1	0.6	60	20	45	9.33	0.143	35.84	5.66	6.3
10	6	1	0.8	30	25	15	9.48	0.128	38.53	6.78	5.7
11	6	2	0.6	30	30	30	7.76	0.271	41.94	8.26	5.1
12	6	2	0.8	60	15	60	7.90	0.250	23.96	3.86	6.2
13	6	3	0.2	15	20	60	6.47	0.381	18.64	3.48	5.4
14	6	3	0.4	45	25	30	6.82	0.366	48.67	9.92	4.9
15	6	4	0.2	45	30	15	6.01	0.438	52.30	10.76	4.9
16	6	4	0.4	15	15	45	6.28	0.404	19.93	3.61	5.5
17	9	1	0.2	60	25	30	12.38	0.173	37.31	5.99	6.2
18	9	1	0.4	30	20	60	12.89	0.149	24.73	4.72	5.2
19	9	2	0.2	30	15	45	10.51	0.305	21.80	4.93	4.4
20	9	2	0.4	60	30	15	10.93	0.275	47.84	11.88	4.0
21	9	3	0.6	15	25	15	10.15	0.338	16.06	3.61	4.5
22	9	3	0.8	45	20	45	10.20	0.336	32.68	6.74	4.9
23	9	4	0.6	45	15	60	9.35	0.381	21.76	3.36	6.5
24	9	4	0.8	15	30	30	9.01	0.378	18.62	3.55	5.3
25	12	1	0.6	15	30	60	16.00	0.152	19.95	5.62	3.6
26	12	1	0.8	45	15	30	16.38	0.133	26.66	4.66	5.7
27	12	2	0.6	45	20	15	13.77	0.252	34.41	4.83	7.1
28	12	2	0.8	15	25	45	14.17	0.243	20.61	3.77	5.5
29	12	3	0.2	60	30	45	11.38	0.364	47.45	9.02	5.3
30	12	3	0.4	30	15	15	11.92	0.313	24.45	4.70	5.2
31	12	4	0.2	30	20	30	10.42	0.421	27.92	5.23	5.3
32	12	4	0.4	60	25	60	10.99	0.410	31.41	5.02	6.3

由表2可知，根据微观参数模拟出的结果存在一点问题，即材料的单轴抗压强度约为抗拉强度的4~6倍，而通常二者之间相差一个数量级，这是由于平行黏结模型自身的局限性所导致的。根据蒋明镜等（2015）的描述，平行黏结模型是将颗粒之间的胶结关系简化为梁模型，该模型仅考虑胶结的抗拉和抗剪特性，能够单独模拟岩石材料的抗拉和单轴抗压破坏特性，但无法同时满足二者需求，即使如此，该模型仍是目前模拟岩石材料物理力学破坏特性的最有效且广泛使用的模型。

2 支持向量回归机参数设置

2.1 SVR模型

支持向量回归机（Support Vector Regression，SVR）是支持向量机（Support Vector Machines，SVM）的一种应用，是在统计学和机器学习中广泛使用的一种回归分析技术。与传统的回归分析模型寻求最小化预测值和实际值之间误差的平方和不同，SVR模型引进了不敏感损失函数（ $ε$ ），该损失函数定义了一个距离范围，当预测值与真实值之间的差距小于这一特定 $ε$ 值时，其误差可视作忽略不计，从而允许模型在该 $ε$ 范围内的任何偏差而不被惩罚，不同于SVM模型，SVR模型要求到超平面最远的样本点的“距离”最小，如图4所示。

图4

图4 SVR模型示意图

Fig.4 Schematic diagram of the SVR model

具体来说，SVR模型通过寻找一个函数［ $f (x)$ = $w x$ + $b$ ］，通常是非线性的，且将其映射到一个高维特征空间，以便在这个空间中构造一个最优的线性回归函数。这一过程涉及一个映射，通常是由核函数实现的，它能够处理原始数据不容易使用线性模型表示的情况。常用的核函数主要有线性核函数、多项式核函数、高斯核函数、拉普拉斯核函数和Sigmoid核函数。相较于其他回归模型，SVR模型在处理小样本、非线性和高维度数据问题中表现出诸多优势，尤其是其稳健性，使得模型对于异常值的敏感度较低，从而能够提供更为稳健的预测结果。

2.2 SVR模型参数设置

在模型训练过程中，需要确定几个关键参数，即：核函数、容错参数 $ε$ 和正则化参数C（控制泛化能力和训练误差之间的权衡）。

首先考虑到数据集较小，直接划分为训练集和测试集（通常按照8∶2划分），意味着无法充分利用所有数据，预测准确率依赖于模型数据量。本文采用K折交叉验证（K-Fold Cross Validation），其中K=5，K折交叉验证的过程涉及将原始数据集分割成K个大小相等的子集，通常称为“折”（folds）。K-fold交叉验证是一种用来优化超参数的常用方法，具体过程包括以下步骤：

（1）参数选择：首先为SVR模型选择一组超参数进行测试。本文选择优化的超参数为C、 $ε$ 和核函数。

（2）划分数据集：将数据集划分为K个大小相似的互斥子集（折）。随机分割，以确保子集的代表性和随机性。

（3）进行训练和验证：在每一轮中，选取一个子集作为测试集，其余的（K-1）个子集作为训练集。训练SVR模型，并记录模型在验证集上的性能。

（4）性能评估：重复上述过程K次，使用不同的折作为验证集，并计算其性能的平均值，分析平均均方误差（MSE），如图5所示。

图5

图5 K折交叉验证（K=5）

Fig.5 K-fold cross-validation （K=5）

（5）选择最佳参数：在尝试多组超参数之后，选择使得模型在验证集上表现最佳的超参数组合。

（6）最终模型训练：使用选定的最佳参数组合对整个训练数据集重新训练SVR模型。

通常交叉验证是配合网格搜索对不同参数组合的性能进行评估，本文参数采用以下取值：

（1）C：在对数尺度上等比分布，C=［0.1，1，10，100，1 000］；

（2） $ε$ ：在对数尺度上进行选择， $ε$ =［0.0001，0.001，0.01，0.1，1］；

（3）核函数：有4种核函数可供选择，分别是linear，rbf，poly，sigmoid。

2.3 SVR模型训练预测步骤

结合支持向量机模型的参数设置和K折交叉验证，整个模型训练预测步骤如下：

（1）导入数据集，转化为numpy数组，对数据进行标准化处理；

（2）设置SVR模型候选参数，参数如前文所述；

（3）训练模型，使用5折交叉验证，利用网格搜索（GridSearchCV函数）从SVR模型候选参数中寻找最优组合；

（4）预测，对输入的预测数据进行标准化、逆标准化处理。

3 基于SVR模型的微观参数辅助标定

用于检验SVR模型预测效果的测试数据收集自3个不同的岩石力学实验室（黄宜胜等，2021），涵盖岩样的单轴压缩和巴西劈裂测试结果，所有数据在模型训练前均经过标准化处理以消除数据尺度的影响，测试数据见表3。

表3 室内试验宏观参数

Table 3 Macroscopic parameters of indoor test

编号	$E$ /GPa	$ν$	$σ_{c}$ /MPa	$σ_{t}$ /MPa
1	8.40	0.290	29.8	2.4
2	8.87	0.221	26.2	2.4
3	16.71	0.270	47.3	9

3.1 第一组参数标定试验

使用SVR模型对表2样本数据进行训练后，对第一组（表3中编号1）宏观参数结果进行预测，再对预测后的结果进行数值模拟，获得弹性模量、泊松比、单轴抗压和抗拉强度，并与室内试验结果进行对比，误差在10%以内即可认为标定成功，否则将模拟结果（微观参数和其对应的宏观参数）加入数据集中继续训练再进行预测，直至获得理想结果，标定结果见表4。

表4 第一组参数标定结果

Table 4 Calibration results of the first set of parameters

次数	微观参数（预测）						宏观参数（数值模拟）					误差百分比/%
次数	${\bar{E}}^{*} /$ GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c} /$ MPa	$\bar{c} /$ MPa	$\bar{ϕ}$ /（°）	$E /$ GPa	$ν$	$σ_{c} /$ MPa	$σ_{t} /$ MPa	$σ_{c}$ / $σ_{t}$	$E$	$ν$	$σ_{c}$	$σ_{t}$
1	6.52	1.73	0.516	25.3	15.7	41.4	8.66	0.248	27.4	5.6	4.9	3.1	14.5	8.1	132
2	7.04	2.27	0.478	28.5	19.1	42.1	8.64	0.285	30.1	5.9	5.1	2.9	1.7	1	144
待标定参数							8.40	0.290	29.8	2.4	12.4

从第一组参数测试结果可知，当室内试验测得的抗拉强度不足单轴抗压强度的1/10时，预测参数模拟得到的抗拉强度和室内试验得到的抗拉强度差距较大（超过一倍），但模拟得到的压拉比约为5，这也验证了平行黏结模型的局限性，因此分析时忽略抗拉强度的误差。而弹性模量、泊松比和单轴抗压强度的预测效果较好，对于使用第1次预测出的微观参数进行模拟后所得到的宏观结果，除了泊松比外，其余2个参数误差均在10%以内。将该组参数加入数据集后重新预测，使用第2次预测出的微观参数进行模拟后所得到的宏观力学参数非常接近实验室测得的结果，第2次数值模拟应力—应变曲线如图6所示。

图6

图6 第一组预测参数PFC数值模拟结果

Fig.6 PFC numerical simulation results of the first set of prediction parameters

3.2 第二组参数标定试验

使用SVR模型训练后对第二组（表3中编号2）宏观参数结果进行预测。由于该组参数室内试验并没有测试岩石的抗拉强度，考虑到本文是对该标定方法的研究，因此可以预设一个目标抗拉强度进行验证。根据平行黏结模型的特性，假设该组参数的抗拉强度为单轴抗拉强度的1/5，设定 $σ_{t}$ =5.2 MPa，与第一次参数标定试验步骤相同，预测结果见表5。

表5 第二组参数标定结果

Table 5 Calibration results of the second set of parameters

次数	微观参数（预测）						宏观参数（数值模拟）					误差百分比/%
次数	${\bar{E}}^{*} /$ GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c} /$ MPa	$\bar{c} /$ MPa	$\bar{ϕ}$ /（°）	$E /$ GPa	$ν$	$σ_{c} /$ MPa	$σ_{t} /$ MPa	$σ_{c}$ / $σ_{t}$	$E$	$ν$	$σ_{c}$	$σ_{t}$
1	6.69	1.84	0.624	25.9	17.0	35.6	8.74	0.245	29.0	5.0	5.8	1.5	10.9	10.7	2.7
2	6.71	1.81	0.592	22.7	17.7	36.4	8.86	0.251	26.4	4.7	5.6	0.1	13.6	0.8	10.4
3	6.70	1.72	0.591	23.1	17.5	39.9	8.97	0.229	24.0	5.1	4.7	1.1	3.6	8.4	2.9
4	6.69	1.78	0.563	22.5	17.1	37.9	8.73	0.224	27.9	4.95	5.6	1.6	1.4	6.5	4.8
待标定参数							8.87	0.221	26.2	5.2	5.0

分析表5中第二组参数的标定结果，在进行第3次预测模拟后所得到的参数已经达到预期，在此基础上继续进行第4次预测模拟，所得到的参数仍符合预期，说明使用SVR模型辅助标定参数是有效的。此外，本次标定假设了一个符合平行黏结模型特性的抗拉强度（5.2 MPa），可以看出第3次预测的微观参数模拟获得的弹性模量、泊松比、单轴抗压强度和抗拉强度均达到预期，认为参数标定成功，第3次数值模拟单轴压缩试验应力—应变曲线和巴西劈裂应力峰值曲线如图7所示。

图7

图7 第二组预测参数PFC数值模拟结果

Fig.7 PFC numerical simulation results of the second set of prediction parameters

3.3 第三组参数标定试验

同理，对第三组（表3中编号3）宏观参数结果进行预测，预测结果见表6。从表6可以看出，第3次预测出的结果能够满足要求，继续进行第4次预测，得到的第4次预测参数也满足要求，认为参数标定成功，第3次使用PFC数值模拟的单轴压缩应力—应变试验和巴西劈裂试验结果如图8所示。

表6 第三组参数标定结果

Table 6 Calibration results of the third set of parameters

次数	微观参数（预测）						宏观参数（数值模拟）					误差百分比/%
次数	${\bar{E}}^{*} /$ GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c} /$ MPa	$\bar{c} /$ MPa	$\bar{ϕ}$ /（°）	$E /$ GPa	$ν$	$σ_{c} /$ MPa	$σ_{t} /$ MPa	$σ_{c}$ / $σ_{t}$	$E$	$ν$	$σ_{c}$	$σ_{t}$
1	12.6	2.11	0.526	57.1	24.3	31.8	14.4	0.272	43.4	8.0	5.4	13.8	0.7	8.2	10.1
2	13.0	2.26	0.503	59.4	26.4	32.0	14.4	0.285	46.5	10.1	4.6	13.8	5.6	1.7	11.1
3	13.5	2.25	0.480	56.2	27.9	27.0	15.3	0.290	49.3	9.8	5.0	8.4	7.4	4.2	9.1
4	14.2	2.14	0.495	61.9	26.5	30.5	15.9	0.279	50.3	9.2	5.5	4.8	3.3	6.3	2.3
待标定参数							16.7	0.270	47.3	9.0	5.3

图8

图8 第三组预测参数PFC数值模拟结果

Fig.8 PFC numerical simulation results of the third set of prediction parameters

3.4 小结

借助支持向量回归机（SVR）模型对颗粒流微观参数进行预测，通过正反演结合的方法并利用小样本数据实现对微观参数的快速标定；对收集到的3组实验室测得的宏观参数进行预测，3组参数在3次以内的试算就完成对微观参数的标定，继续增加一次预测，以验证预测的合理性。此外，通过对样本数据和第一组标定结果的分析，再次验证了线性平行黏结的局限性，即无法同时较好地模拟岩石的单轴抗压强度和抗拉强度。

4 基于BP神经网络模型的微观参数辅助标定

利用BP神经网络标定微观参数是当前的研究热点。BP神经网络，即反向传播神经网络，利用前馈结构对数据执行映射，并通过后向传播算法迭代调整权重以最小化输出误差。这种网络能逼近复杂函数，广泛应用于分类和回归任务，其优点是适应性强，应用范围宽；劣势包括急剧依赖样本（通常需要上千组数据），容易陷入局部最优，深层网络中存在梯度消失问题，容易过拟合，且训练耗时较长。作为对比，本文测试BP神经网络模型正反演辅助标定在小样本中的表现。

4.1 BP神经网络模型参数设置

本研究中BP神经网络模型采用TensorFlow2框架，采用Adam优化器提高计算效率，因数据集较小不需要太多训练时间，学习率为Adam默认值0.001，模型由3层全连接层构成，包含2个隐藏层，每个隐藏层有5个神经元，激活函数为ReLU，输入输出层神经元数量由本文研究参数确定，分别为4个和6个。同样采用5折交叉验证分析平均均方误差（MSE），以评估模型。

4.2 BP神经网络模型微观参数标定

考虑到平行黏结模型特性，第一组参数的抗拉强度无法进行预测，因此使用BP神经网络训练后对表3中编号2（第二组）的宏观参数结果进行预测。对预测得到的微观参数进行数值模拟，评估4个宏观参数的误差，误差大于10%则加入数据集重新预测。参数标定结果见表7。

表7 BP神经网络参数标定结果

Table 7 Calibration results of BP neural network parameters

次数	微观参数（预测）						宏观参数（数值模拟）					误差百分比/%
次数	${\bar{E}}^{*} /$ GPa	${\bar{κ}}^{*}$	$μ$	${\bar{σ}}_{c} /$ MPa	$\bar{c} /$ MPa	$\bar{ϕ}$ /（°）	$E /$ GPa	$ν$	$σ_{c} /$ MPa	$σ_{t} /$ MPa	$σ_{c}$ / $σ_{t}$	$E$	$ν$	$σ_{c}$	$σ_{t}$
1	8.03	2.26	0.511	36.5	21.6	38.5	9.62	0.302	38.1	8.7	4.4	8.5	36.7	45.4	66.5
2	6.46	1.47	0.553	41.5	18.5	49.6	8.14	0.218	33.0	5.6	5.9	3.0	1.4	26.0	6.5
3	6.24	1.86	0.660	41.1	19.3	53.6	8.43	0.253	34.4	6.2	5.6	5.0	14.5	31.3	19.6
4	6.12	1.50	0.532	41.0	20.3	56.9	8.51	0.216	31.5	5.8	5.4	4.0	0.5	20.2	11.1
5	6.82	1.92	0.659	44.6	16.6	59.6	9.15	0.256	26.8	4.5	6.0	3.2	15.8	2.3	13.5
6	6.81	1.67	0.602	41.0	18.9	52.4	9.21	0.229	30.5	5.8	5.3	3.8	3.6	16.4	11.9
7	5.85	1.63	0.581	42.6	16.6	55.5	8.11	0.225	27.0	4.8	5.6	8.6	1.8	3.1	6.9
8	6.35	1.62	0.637	46.5	18.0	55.9	8.61	0.216	27.7	5.0	5.5	5.7	2.9	2.3	4.6
待标定参数							8.87	0.221	26.2	5.2	5.0

由表7可知，对第7次预测得到的微观参数进行数值模拟，获得的宏观参数已达到预期，继续进行第8次预测，预测结果仍满足预期，认为应用BP神经网络模型可完成对PFC微观参数的标定，但标定效率不如SVR模型。以上结果符合2个模型的特点，即：SVR模型对样本的依赖相对较低，特别是在小样本或具有较高维度空间的数据上仍然可以比较好地工作，而BP神经网络通常需要大量数据来实现其强大的表征能力。

5 结论

以线性平行黏结本构模型为例，以提高微观参数标定效率为目的，基于正交试验以及PFC^2D岩石单轴压缩试验和巴西劈裂试验建立小样本，通过机器学习完成微观参数的标定工作，得到以下结论：

（1）对于少量数据所组成的样本，通过机器学习直接预测出的微观参数很难达到预期，但是以机器学习预测为反演，数值模拟为正演，利用正反演结合的方法进行参数标定，可以有效提高微观参数标定效率。

（2）通过对比SVR模型和BP神经网络模型，SVR模型在处理小样本、非线性和高维度数据时更有优势，在微观参数的标定工作上效率更高。

（3）针对参数较多且具有较强的非线性特征的宏微观参数标定，通过机器学习的方法来辅助标定参数相较于人工试算更具优势，包括不受经验性影响，具有较强的可重复性，效率更高，推广性更强。

http://www.goldsci.ac.cn/article/2024/1005-2518/1005-2518-2024-32-4-675.shtml

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