矿产资源开采和工程建设开挖形成了大量废弃松散渣土体，由其构筑的人工废料边坡在雨水侵蚀、地震活动和人类活动等影响下常处于欠稳定状态，威胁并阻碍了工程活动的进一步开展。为此，采用经济合理、技术可靠的边坡优化方案，是保障工程安全和堆填方量可行的重点（Li，2021；陈昌富等，2022）。因此，建立高效、准确和科学的边坡形态优化方法，对欠稳定人工边坡工程的治理具有重大的理论和现实意义。

在以往研究中，许多学者采用理论分析与数值模拟相结合的方法优化边坡形态（曹兰柱等，2018a，2018b；周永利等，2019）。近年来，人工智能、应用系统科学和模糊数学等新兴学科迅速发展，其在解决非线性复杂问题上表现出独特优势，为边坡形态优化提供了全新思路（黄爽等，2023；荣光旭等，2023；张化进等，2023）。机器学习技术为边坡角度优化提供了新的思路，能够有效处理非线性关系并提供概率解释的预测结果，从而更全面地指导边坡角度优化（刘开云等，2005；徐冲等，2010；Zevgolis et al.，2018）。将优化算法与机器学习相结合，应用于边坡稳定性分析和参数优化，在处理非线性关系时取得了良好的效果（张晓龙等，2017；方庆红等，2021）。乔木等（2023）和卢明明等（2024）通过多元线性回归和多目标决策模型，结合经济效益计算，协同优化矿山边坡的台阶宽度、坡面角和坡高。自然界中大多数边坡为不规则形态，其稳定性分析和优化是一个复杂的问题。基于非线性优化算法，上限分析法和下限分析法为不规则边坡形态优化提供了分析途径（Askari et al.，2012；Cheng et al.，2024）。

现有研究表明，人工智能技术在边坡形态优化问题上具有显著优势。尽管国内外学者在坡态控制参数对边坡稳定性和经济性的影响方面进行了广泛研究，但综合考虑坡态优化设计、边坡稳定性和边坡优化经济性的优化方法却鲜有报道。鉴于此，本文提出了一种基于Levenberg-Marquardt算法和光谱优化算法的智能优化方法（LM-LSO），旨在提高边坡形态优化的综合性和简洁性。

Levenberg-Marquardt算法（LM算法）是一种解决非线性最小二乘问题的数值优化算法（Levenberg，1944；Marquardt，1963）。该算法结合了梯度下降法和高斯—牛顿法的优点，旨在提高收敛速度和稳定性。LM算法在计算梯度时加入了阻尼因子，以实现控制参数更新的步长、避免过拟合以及提高模型的泛化能力，进而大幅提高处理非线性问题和大规模数据集时的稳定性和效率。LM算法基本原理和流程（图1）如下：

（1）初始化参数：首先初始化待优化的参数向量x，并设置初始的阻尼因子λ。

（2）计算目标函数和残差：根据具体问题，计算目标函数f（x）和残差r。目标函数通常为最小化函数，而残差则是目标函数f（x）与实际观测向量y之间的差值。残差计算公式为

（3）计算雅可比矩阵：计算目标函数f（x）对参数向量x的雅可比矩阵 J。雅可比矩阵反映了目标函数对参数的敏感度，是高斯—牛顿法中的关键部分。

（4）更新参数：使用式（2）更新参数x。

式中：x_k 为当前参数向量；x_k+1为更新后的参数向量； J 为雅可比矩阵；r为残差向量；λ为阻尼因子； I 为单位矩阵。

（5）调整阻尼因子λ：根据更新后的目标函数值，动态调整阻尼因子λ，若目标函数值减小，则减小λ；若目标函数值增大，则增大λ。

（6）收敛判断：重复以上步骤，直至满足收敛条件。

（7）输出结果：当算法收敛时，输出最优的参数向量x，即为优化后的结果。

光谱优化算法（Light Spectrum Optimizer，简称LSO）由Abdel-Basset于2022年9月提出（Abdel-Basset et al.，2022）。该算法通过模拟阳光穿过雨滴产生彩虹光谱的过程实现全局优化（图2）。在数学上，彩虹光谱的折射与反射定律由斯涅尔定律说明，表示为

式中：θ₁为入射角；θ₂为折射角；k₁为水的折射率；k₂为空气的折射率。

在LSO算法中，将斯涅尔定律以矢量的形式进行表达（图3）。入射光、折射光、反射光和法线均用矢量形式表示：

式中：L₁为折射光线；k为液滴的折射率；L₀为入射光线；n_A为入射光线的法线。

同时，水滴内部反射光线L₂和水滴至空气的折射光线L₃表示为

式中：n_B为水滴内反射光线的法线；n_C为折射光线L₃的法线。

LSO算法运用斯涅尔定律矢量形式，来模拟彩虹现象中的光线传播与反射，并以彩虹现象设计算法的搜索机制。为避免算法陷入局部最优解，加速算法收敛速率，LSO算法开发了探索机制和开发机制，从而实现全局最优解。LSO算法的探索机制通过模拟彩虹的形成过程，随机选择解并利用自适应控制因子来探索搜索空间；开发机制则通过模拟光的散射过程，利用概率控制来调整搜索方向。LSO算法采用3种散射机制，其中2种机制侧重于开发，而第3种散射机制则通过随机选择一个解来增加探索性。因此，LSO算法能够根据当前解与最优解之间的差异，来选择开发或探索的散射机制，从而实现自适应的平衡，其涉及的具体数学公式此处不再赘述。图4所示为LSO算法优化流程图，图中t为迭代次数，t_max为最大迭代次数。

LM-LSO智能优化方法结合LM算法和LSO的优点，具有收敛速度快、易上手、计算复杂度低和简单直观等优点。学习样本和测试样本的构建对优化算法的效果会产生直接影响，是进行坡态优化的前提。因此，该智能方法首先需要选取合适的坡态优化控制参数，通过简化毕肖普法和二维剖面面积之差分别计算稳定性系数F_s和挖方量V，以此来构建学习样本和测试样本；其次，采用LM算法对学习样本进行非线性拟合，并通过测试样本对拟合结果进行评价；最后，采用LSO算法对拟合结果进行全局优化，得出最优解。边坡坡态LM-LSO智能优化方法优化流程如图5所示。

某磷石膏堆场边坡与铁路相邻，其顶部台阶处已出现张拉裂缝。初步稳定性计算结果显示，该边坡在自重+暴雨工况下的稳定性系数为1.133。依据《磷石膏库安全技术规程》，边坡稳定性系数在自重+暴雨工况下应不低于1.2。因此，该边坡在自重+暴雨工况下处于欠稳定状态。为确保铁路在运营期间的安全性，该边坡亟需进行坡态优化，以提高其稳定性。

该堆场为一不规则四边形，最长边为670 m，最短边为300 m。堆场设计最大堆高为50 m，最大堆渣高度为38.5 m，设计堆存量约为450×10⁴ m³。依据《磷石膏库安全技术规程》，该磷石膏坝等级确定为3级。目前，堆场属于平地堆场类型，其最高边坡为八级放坡形式，每级边坡高为3~10 m，坡比为1.0∶1.5~1.0∶1.8，每级边坡预留2~10 m平台（图6）。堆场弃土属于Ⅱ级普通土，初始呈粉土状，略具黏性，遇水后固结（板结）变硬。本次边坡形态优化选择临近铁路侧的边坡剖面作为典型剖面（图7），通过优化坡态参数以提高该边坡的稳定性。通过前期室内物理力学试验和参数反演工作，获得边坡岩土体物理力学参数，如表1所示。

影响边坡稳定性的主要因素为边坡地层岩土物理力学参数、边坡形态几何参数和水文条件。本文的优化思路是通过优化欠稳定边坡几何形态，在满足规范要求的稳定性系数前提下，减少边坡挖方量。因此，优化模型的输入参数选取台阶高度h、台阶宽度l和台阶坡面角α，优化模型的输出参数选取边坡稳定性系数F_s和挖方量V（图8）。各边坡方案的稳定性系数采用简化毕肖普法进行计算。为简化运算，挖方量近似采用优化前边坡二维剖面面积与优化后边坡二维剖面面积之差表示，正值为挖方量，负值则为填方量。

样本构建是采用优化算法拟合的前提。本文以四川省某磷石膏堆场为实例，构建优化算法拟合样本。为了确保拟合结果更接近工程实际，台阶宽度、台阶高度和台阶坡面角根据工程实际情况和最新规范进行取值。

根据《水土保持工程设计规范》，该堆场边坡台阶宽度大于等于2 m，台阶高度范围为5~15 m，台阶坡面角为20°~34°（中华人民共和国住房和城乡建设部，2014）。原始边坡第一个台阶高度为8.2 m，坡角为29°。由于仅考虑挖方方案，因此台阶高度需小于等于8 m，坡角小于等于29°。根据上述原则，选取台阶宽度为2~4 m，台阶高度为5~8 m，台阶坡面角为20°~29°。在取值范围内，每个控制参数隔1个单位取一个数据，排列组合获得120种方案。在剔除填方方案后，最终获得76组样本数据。76组样本中随机选取60组作为学习样本，剩余16组作为测试样本。稳定性系数和挖方量计算结果如表2和表3所示，表中（2，5）表示该方案台阶宽度为2 m，台阶高度为5 m。

目标函数的构建是实施LM算法进行多元非线性拟合的先决条件，且对拟合结果的精确度具有决定性影响。因此，首要任务是确立自变量（h、l和α）与因变量（F_s和V）之间的最优函数关系。经过理论推导和广泛的数值试验，选取多项式回归作为拟合模型，并通过引入自变量的交叉乘积项，以刻画自变量与因变量之间的非线性相互作用。据此，目标函数的形式可确定为

式中：y为因变量，对应稳定性系数F_s和挖方量V；k₁~k₈为回归系数。

在进行参数估计之前，回归系数k₁~k₈需进行初始化。尽管LM算法对回归系数k₁~k₈的初始值具有一定的稳健性，然而，提供一个恰当的初始值依然是确保算法有效收敛的关键。在广泛的数值试验基础上，f（h，l，α） = F_s的回归系数k₁~k₈初始值设置为1，f（h，l，α）=V的回归系数k₁~k₈初始值设置为100，以促进后续的回归系数估计过程。在Matlab软件中，采用LM算法对式（7）进行非线性拟合，得出回归系数如表4所示。拟合曲线的拟合效果如图9所示，其中台阶宽度和坡角设定为横坐标，F_s和V为纵坐标。

为确保所建立拟合公式的稳健性并防止过度拟合现象，拟合公式的显著性和有效性评价显得至关重要。在评估拟合公式的质量时，常用的评价指标包括决定系数（R²）、均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）（郑可馨等，2023；周昌微等，2024）。决定系数（R²）反映了公式对变异性的解释程度，其值越接近于1，表明拟合效果越佳；均方误差（MSE）是残差平方和的平均值，其降低指示着拟合精度的提高；均方根误差（RMSE）作为均方误差（MSE）的平方根，以原始数据单位提供了误差的绝对度量，从而更直观地指示模型的预测准确性。3个评价指标计算公式为

式中：n为样本数量；Y_i 为第i个实际观测值；Y^i为回归模型对第i个观测值的预测值；Y¯ 为所有实际观测值的平均值。

拟合公式评价指标R²、MSE和RMSE的计算结果如表5所示。由表5可知，稳定性系数F_s的拟合公式R²接近于1，MSE和RMSE均较小，表明拟合效果良好；此外，挖方量V的拟合公式R²也接近于1。尽管挖方量的MSE较大，但需要注意的是，MSE并不能总是提供一个直观的误差大小。相比之下，RMSE因与原始数据具有相同的单位，在评估误差时提供了一个更直观的度量。鉴于挖方量数据范围和RMSE值，认为其拟合公式的拟合效果较好。综上所述，2个拟合公式均展示出良好的拟合效果，且在实际应用中具有较高的适用性。

此外，本研究采用16组独立的测试样本对所提出的拟合公式进行了验证，以全面评估其在未观测数据上的泛化性能。表6所示为16组测试样本的样本值和拟合值，表中（5，3，25）表示该方案台阶高度为5 m，台阶宽度为3 m，台阶坡面角为25°。同时，拟合公式对于未观测数据的拟合效果也采用评价指标R²、MSE和RMSE来评估。计算结果显示，测试样本中稳定性系数拟合公式的R²为0.9886，MSE值为0.0001，RMSE值为0.0065；挖方量拟合公式的R²为0.9904，MSE值为149.47，RMSE值为12.23。因此，2个拟合公式在未观测数据上展示出较好的泛化能力，表明其具有较好的泛化性能。

本研究的优化设计方案搜索以2个先前确定的拟合方程作为基础。其中，稳定性系数的拟合方程设定为约束条件，挖方量的拟合方程则作为优化的目标函数。在确保约束条件得到满足的同时，利用LSO算法来搜寻目标函数的全局最小值。为了处理优化设计中的约束问题，本研究运用了拒绝不可行解方法（Reject Infeasible Solutions Methods，RISM）。该方法在解决优化问题时，排除了不满足问题约束条件的解。在本研究中，稳定性系数小于1.2的解将生成一个较高的挖方量数值。因此，在搜索最小挖方量时，这些解将被剔除。

此外，为了减少算法结果的偶然性，本研究还选取了鲸鱼优化算法（WOA）、墨鱼群算法（SSA）、灰狼优化算法（GWO）和萤火虫群优化算法（GTO）4种优化算法与LSO算法进行比较。为了确保比较结果的公平性和准确性，每种算法均设定了相同的最大迭代次数和初始种群大小。具体而言，最大迭代次数设定为60 000次，而初始种群大小设为20个个体。最终优化结果如表7所示，由表7可知，LSO和GTO算法均达到相同的V_min值，即298.92 m²。相比之下，SSA、GWO和WOA算法的V_min值略高，其中WOA算法获得的V_min值最大，为299.45 m²。此外，5种算法的迭代曲线（图10）进一步证实了LSO算法在收敛速度上的优势，相比之下其表现最为出色。基于上述分析结果，本研究推荐的最优坡态优化设计方案为：台阶高度（h）为6.38 m，台阶宽度（l）为4 m，台阶坡角（α）为25.11°和最小挖方量（V_min）为298.92 m²。

（1）本研究提出了一种基于LM算法和LSO的边坡形态智能优化方法（LM-LSO），该方法能够快速且高效地优化边坡形态参数。

（2）通过极限平衡法构建学习样本和测试样本，采用多项式回归模型和LM算法，并引入自变量之间的交叉乘积项来刻画非线性关系，对学习样本进行非线性拟合。根据上述方法得出的拟合方程具有较高的适用性。

（3）在构建优化函数的过程中，引入拒绝不可行解方法来处理稳定性系数的约束问题。在满足相关规范的前提下，运用LSO算法搜索得到最终的优化方案和最小挖方量。采用该优化函数搜索出的优化方案既考虑了边坡工程施工的经济性，又考虑了相关规范对边坡稳定性的要求，具有实际工程意义。